[首发]湖南省衡阳县2018-2019学年高二下学期六科联赛数学（理）试题 9页

‎ ‎ ‎2019年衡阳县高二六科联赛 理科数学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设，则（ ）‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为，若，，则等差数列的公差（ ）‎ A.2 B. C.3 D.4‎ ‎4.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，谷约为（ ）‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.454石 ‎5.下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在中，，，，点D为边上一点，且D为边上靠近C的三等分点，则（ ）‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎7.己知某几何体三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是边长为2的正方形，则该几何体外接球的体积是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若，，，，则，，大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若，则实数m的值为（ ）‎ A. B.3 C.2 D.‎ ‎11.已知函数，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数在恒有，其中为函数的导数，若，为锐角三角形的两个内角，则（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，则与的夹角等于___________.‎ ‎14.已知的展开式中含有项的系数是54，则______________.‎ ‎15.已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是___________（填写正确命题对应的序号）.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.‎ ‎16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形的中心为O，，，为圆 ‎ ‎ O上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥，当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为______________.‎ 三、解答题，本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（12分）在中，内角所对的边分别为，，，.‎ ‎（1）求边a的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18.（12分）在四棱锥中，，.‎ ‎（1）若点E为的中点，求证：平面；‎ ‎（2）当平面平面时，求二面角的余弦值.‎ ‎19.（12分）已知椭圆经过点，且右焦点.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆E交于A，B两点，当最大时，求直线的方程.‎ ‎20.（12分）己知函数，在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎ ‎ ‎（3）若在区间内，恒有成立，求k的取值范围.‎ ‎21.（12分）某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度，在某年的连续6个月内，月份和关注人数（单位：百）（）数据做了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎17.5‎ ‎35‎ ‎36.5‎ ‎（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并建立y关于x的回归方程；‎ ‎（2）经统计，调查材料费用v（单位：百元）与调查人数满足函数关系，求材料费用的最小值，并预测此时的调查人数；‎ ‎（3）现从这6个月中，随机抽取3个月份，求关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望.‎ 参考公式：相关系数，若，则y与x的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎ ‎ 已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（t为参数）.‎ ‎（1）求的参数方程和的普通方程；‎ ‎（2）设点P在上，点Q在上，求的最小值.‎ ‎23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 己知函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为n，正数a，b满足，求的最小值.‎ 参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C B A A D C B B C B 二、填空题 ‎13. 14. 4 15.③ 16.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）由，得，‎ 因为，由，得，∴，‎ 由余弦定理，得，‎ 解得或（舍），∴.----------------------------------------------------6分 ‎（2）由，得，∴，，‎ ‎∴.----------------------------------------12分 ‎18.【解析】（1）取的中点为，连结，.‎ ‎ ‎ 由已知得，为等边三角形，.‎ ‎∵，，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 又∵平面，平面，∴平面.‎ ‎∵为的中点，为的中点，∴.‎ 又∵平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，∴平面平面.‎ ‎∵平面，∴平面.--------------------------------------------------------5分 ‎（2）连结，交于点，连结，由对称性知，‎ 为的中点，且，.‎ ‎∵平面平面，，‎ ‎∴平面，，.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.‎ 则，，.‎ 易知平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，则，，∴，‎ ‎ ‎ ‎∵，，∴.‎ 令，得，，∴，‎ ‎∴.‎ 设二面角的大小为，则.-----------------------------------------------12分 ‎19.【解析】（1）设椭圆的左焦点，则，‎ 又，所以椭圆的方程为.------------------------------4分 ‎（2）由，设，，‎ 由，且，，‎ ‎.-------------------8分 设，则，，‎ 当，即时，有最大值，此时.----------------12分 ‎20.【解析】（1）由题意，，则，‎ ‎∵在点处的切线方程为，∴切线斜率为，则，‎ 得，将代入方程，得：，解得，‎ ‎∴，将代入得，故.-----------4分 ‎（2）依题意知函数的定义域是，且，‎ 令得，，令得，，‎ 故的单调增区间为，单调减区间为.-----------------------7分 ‎ ‎ ‎（3）由，在区间内恒成立，‎ 设，则，‎ ‎∵在内，单调递减，在内，单调递增，‎ ‎∴的最小值为，∴.------------------------------------12分 ‎21.【解析】（1），∴，‎ 又∵，，‎ ‎∴相关系数，‎ 由于关于的相关系数，‎ 这说明关于的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合与的关系；‎ 又，且，‎ ‎∴，∴回归方程为.---------------------------------5分 ‎ ‎（2），即调查材料最低成本为1800元，此时，‎ 所以.-------------------------------------------------------------------------------------------8分 ‎（3）可能的取值为0，1，2，3，‎ 且；；；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.---------------------------------------12分 ‎22.【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），-----------------------3分 曲线的普通方程为.-----------------------------------------------------------5分 ‎（2）设，‎ 点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，‎ 因为，其中，‎ 当时，的最小值为1，此时.-----------------------------------10分 ‎23.【解析】（1）根据题意，函数，.‎ 若，则有或，解得，‎ 故原不等式的解集为.----------------------------5分 ‎（2）函数，‎ 分析可得的最小值为4，即；‎ 则正数，满足，即，.‎ 即的最小值为2.-------------------------------------------------------------------10分