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- 2021-07-01 发布
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第4讲 二次函数性质的再研究与幂函数
一、选择题
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ).
A.y=(x∈R,且x≠0) B.y=x(x∈R)
C.y=x(x∈R) D.y=-x3(x∈R)
解析 对于f(x)=-x3,∵f(-x)=-(-x)3=-(-x3)=-f(x),∴f(x)=-x3是奇函数,又∵y=x3在R上是增函数,∴y=-x3在R上是减函数.
答案 D
2.已知幂函数y=f(x)的图像经过点,则f(2)=( )
A. B.4
C. D.
解析 设f(x)=xα,因为图像过点,代入解析式得:α=-,∴f(2)=2-=.
答案 C
3.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为 ( ).
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
解析 f(a)=g(b)⇔ea-1=-b2+4b-3⇔ea=-b2+4b-2成立,故-b2+4b-2>0,解得2-0,a(a-4)>0,a>4,由于a为正整数,即a的最小值为5.
答案 C
二、填空题
7.对于函数y=x2,y=x有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内都单调递增;③它们的图像关于直线y=x对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图像都是抛物线型.
其中正确的有________.
解析 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较.
答案 ①②⑤⑥
8.若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满足的条件是________.
解析 由已知得⇒
答案 a>0,ac=4
9.方程x2-mx+1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m的取值范围是________.
解析 ∵∴m=β+.
∵β∈(1,2)且函数m=β+在(1,2)上是增函数,
∴1+1<m<2+,即m∈.
答案
10.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:
①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,
则m的取值范围是________.
解析 当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-40,求实数a的取值范围.
解 不等式ax2-2x+2>0等价于a>,
设g(x)=,x∈(1,4),则
g′(x)=
==,
当10,当2,
因此实数a的取值范围是.
14.已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.
解 (1)∵f(2)0,解得-10满足题设,由(1)知
g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].
∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取得.而-g(-1)=-(2-3q)=≥0,∴g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.
解得q=2,∴存在q=2满足题意.