2020年佛山市普通高中教学质量检测（一）理数试题 4页

高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 1 页 共 4 页 2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改 动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．在复平面内，复数 5i 1+ 2i 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合  2 2 0A x x x    ，  | | 1B x x  ，则 A B I （ ） A． ( 2, 1)  B． ( 1,1) C． (0,1) D． (1,2) 3．已知 ,x y R ，且 0x y  ，则（ ） A． cos cos 0x y  B． cos cos 0x y  C． ln ln 0x y  D． ln ln 0x y  4．函数 ( )f x 的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 exy  关于 y 轴对称，则 ( )f x  （ ） A． 1e x  B． 1e x  C． 1ex D． 1ex 5．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一 个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”，我们用白色代表挖去的 面积，那么黑三角形为剩下的面积（我 们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在 如图第 3 个大正三角形中随机取点，则 落在黑色区域的概率为（ ） A． 3 5 B． 9 16 C． 7 16 D． 2 5 6．已知等比数列 na 满足 1 2 36a a  ， 1 3 24a a  ，则使得 1 2 na a aL 取得最大值的 n 为（ ） A．3 B． 4 C．5 D． 6 7．已知 为锐角， 3cos 5   ，则 πtan =4 2     （ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 D．3 2020 年 1 月 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 2 页 共 4 页 8．已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ，O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线C 的两条渐近线交于 ,A B 两点，若 △OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ） A． 2 2 13 x y  B． 2 2 13 yx   C． 2 2 112 4 x y  D． 2 2 14 12 x y  9．地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力于发展风力发 电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在 2014 年累计装机容量 就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动 中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图． 根据以上信息，正确的统计结论是（ ） A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B．10 年来全球新增装机容量连年攀升 C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 10．已知函数 1( ) 2 12 1xf x x   ，且 2( ) (2 ) 3f a f a  ，则 a 的取值范围是（ ） A． ( , 3) (1, )  U B． ( , 2) (0, )  U C． ( 2,0) D． ( 1,3) 11．已知函数 ( ) sin sin(π )f x x x  ，现给出如下结论： ① ( )f x 是奇函数； ② ( )f x 是周期函数； ③ ( )f x 在区间 (0, π) 上有三个零点； ④ ( )f x 的最大值为 2 ． 其中正确结论的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 12．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱长为 4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱 1 1 1, ,AA BB CC 分别交于点 , ,M N Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ） A．3 B． 10 C． 17 D．3 2 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 3 页 共 4 页 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选 考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答） 14．在△ ABC 中， 2AB  ， 3AC  ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP BC  uuur uuur ． 15．函数 ( ) lnf x x 和 2( )g x ax x  的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则这条切线方程为 ． 16．在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线C 上任意一点 P ， P 到直线 1 0x   的距离与该点到点O 的距离 之和等于 2 ，则曲线C 与 y 轴的交点坐标是 ；设点 5 ,04A    ，则| | | |PO PA 的最小值 为 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分) 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景 区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持 续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合 影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需 支付 20 元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游 客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费 与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能 性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游 客是否购买照片相互独立． （1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？ （2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？ 18．(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ．已知 πsin sin( )3a B b A  ． （1）求 A ； （2） D 是线段 BC 上的点，若 2AD BD  ， 3CD  ，求△ ADC 的面积． 19．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，点 31, 2A     在椭圆C 上，直线 1l 过椭圆C 的右焦 点与上顶点，动直线 2 :l y kx 与椭圆C 交于 ,M N 两点，交 1l 于 P 点． （1）求椭圆C 的方程； （2）已知O 为坐标原点，若点 P 满足 1 4OP MN ，求此时 MN 的长度． 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 4 页 共 4 页 20．(本小题满分 12 分) 如图，三棱锥 P ABC 中，平面 PAB  平面 ABC ，PA PB ， 90APB ACB     ，点 ,E F 分 别是棱 ,AB PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心． （1）证明： / /GF 平面 PAC ； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60 ，求二面角 B AP C  的余弦值． 21．(本小题满分12分) 已知函数 ( ) 1 2sin , 0f x x x x    ． （1）求 ( )f x 的最小值； （2）证明： 2( ) e xf x  ． 请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号． 22．(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 24 4 x m y m     ( m 为参数)． （1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线； （2）已知倾斜角互补的两条直线 1l ， 2l ，其中 1l 与C 交于 A ， B 两点， 2l 与C 交于 M ， N 两点， 1l 与 2l 交于点  0 0,P x y ，求证： PA PB PM PN   ． 23．(本小题满分 10 分)[选修 4 5 :不等式选讲] 已知函数 ( ) 1f x x a x    ． （1）若 ( ) 2f a  ，求 a 的取值范围； （2）当 [ , ]x a a k  时，函数 ( )f x 的值域为[1,3]，求 k 的值．