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- 2021-07-01 发布
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考点测试 36 基本不等式
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值 5分，中等难度
考纲研读
1．了解基本不等式的证明过程
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
一、基础小题
1．“a>0且 b>0”是“
a＋b
2
≥ ab”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a>0且 b>0⇒a＋b
2
≥ ab，但
a＋b
2
≥ ab⇒/ a>0且 b>0，只能推出 a≥0
且 b≥0．
2．已知 02)在 x＝a处取最小值，则 a等于( )
A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵ x＞ 2，∴ x－ 2＞ 0，∴ f(x)＝ x＋ 1
x－2
＝ (x－ 2)＋ 1
x－2
＋
2≥2 x－2· 1
x－2
＋2＝2＋2＝4，当且仅当 x－2＝ 1
x－2
，即(x－2)2＝1 时等号
成立，解得 x＝1或 3．又∵x＞2，∴x＝3，即 a等于 3时，函数 f(x)在 x＝3 处
取得最小值，故选 C．
4．函数 f(x)＝x＋1
x
(x<0)的值域为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝－
－x－1
x ≤－2 －x· 1
－x
＝－2，当且仅当－x＝ 1
－x
，即 x
＝－1时，等号成立．
5．设 00，∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋2－x
2
＝
2，当且仅当 x＝2－x，即 x＝1时取等号．
6．函数 y＝x2＋2x＋2
x＋1
(x>－1)的图象的最低点的坐标是( )
A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2)
答案 D
解析 y＝x＋12＋1
x＋1
＝(x＋1)＋ 1
x＋1
≥2，当 x＝0时取最小值．
7．设 00，即 ab>a，
D错误．故选 B．
8．已知 a>0，b>0，a，b的等比中项是 1，且 m＝b＋1
a
，n＝a＋1
b
，则 m＋n
的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由题意知 ab＝1，∴m＝b＋1
a
＝2b，n＝a＋1
b
＝2a，∴m＋n＝2(a＋
b)≥4 ab＝4，当且仅当 a＝b＝1时取等号．
9．若 2x＋2y＝1，则 x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵1＝2x＋2y≥2 2x·2y＝2 2x＋y当且仅当 2x＝2y＝1
2
，即 x＝y＝－1时
等号成立，∴ 2x＋y≤1
2
，∴2x＋y≤1
4
，得 x＋y≤－2．
10．下列函数中，最小值为 4的是( )
A．y＝
x2＋9
x2＋5
B．y＝sinx＋ 4
sinx
(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋4logx3
答案 C
解析 对于 A，因为 x2＋5≥ 5，所以 y＝ x2＋5＋ 4
x2＋5
的最小值不是 4，
所以不满足题意；对于 B，令 sinx＝t∈(0，1]，则 y＝t＋4
t
，y′＝1－4
t2
＜0，因
此函数 y＝t＋4
t
在(0，1]上单调递减，所以 y≥5，所以不满足题意；对于 C，
y≥2 ex·4e－x＝4，当且仅当 ex＝4e－x，即 x＝ln 2时取等号，故满足题意；对于 D，
当 x∈(0，1)时，log3x，logx3<0，所以不满足题意．
11．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元．若每批生产
x件，则平均存储时间为
x
8
天，且每件产品每天的存储费用为 1元．为使平均到
每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
答案 B
解析 若每批生产 x件产品，则每件产品的生产准备费用是
800
x
元，存储费
用是
x
8
元，
总的费用 y＝800
x
＋
x
8
≥2 800
x
·x
8
＝20，
当且仅当
800
x
＝
x
8
时取等号，得 x＝80(件)．故选 B．
12．设 M＝
1
a
－1 1
b
－1 1
c
－1
，且 a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，则 M
的取值范围是________．
答案 [8，＋∞)
解析 M＝
b＋c
a
·a＋c
b
·a＋b
c
≥
2 bc·2 ac·2 ab
abc
＝8，当且仅当 a＝b＝c＝1
3
时取
等号．
二、高考小题
13．(2017·天津高考)已知函数 f(x)＝
x2－x＋3，x≤1，
x＋2
x
，x＞1.
设 a∈R，若关于 x的不等式 f(x)≥x
2
＋a在 R 上恒成立，则 a的取值范围是
( )
A．－
47
16
，2 B．－
47
16
，
39
16
C．[－2 3，2] D．－2 3，39
16
答案 A
解析 ①当 x≤1 时，关于 x的不等式 f(x)≥x
2
＋a在 R 上恒成立等价于－x2
＋x－3≤x
2
＋a≤x2－x＋3在 R 上恒成立，即有－x2＋1
2
x－3≤a≤x2－3
2
x＋3在 R
上恒成立．由 y＝－x2＋1
2
x－3图象的对称轴为 x＝1
4
1
4
＜1，可得在 x＝1
4
处取得最
大值－
47
16
；由 y＝x2－3
2
x＋3图象的对称轴为 x＝3
4
3
4
＜1，可得在 x＝3
4
处取得最小
值
39
16
，则－
47
16
≤a≤39
16
．
②当 x>1时，关于 x的不等式 f(x)≥x
2
＋a在 R 上恒成立等价于－x＋2
x
≤
x
2
＋
a≤x＋2
x
在 R 上恒成立，即有－
3
2
x＋2
x
≤a≤x
2
＋
2
x
在 R 上恒成立，由于 x>1，所以
－
3
2
x＋2
x
≤－2 3x
2
·2
x
＝－2 3，当且仅当 x＝ 2
3
时取得最大值－2 3；因为 x>1，
所以
1
2
x＋2
x
≥2 1
2
x·2
x
＝2，当且仅当 x＝2时取得最小值 2，则－2 3≤a≤2．
由①②可得－
47
16
≤a≤2．故选 A．
14．(2018·天津高考)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋ 1
8b
的最小值为
________．
答案
1
4
解析 由已知，得 2a＋1
8b
＝2a＋2－3b≥2 2a·2－3b＝2 2a－3b＝2 2－6＝
1
4
，当且
仅当 2a＝2－3b时等号成立，由 a＝－3b，a－3b＋6＝0，得 a＝－3，b＝1，故当
a＝－3，b＝1时，2a＋ 1
8b
取得最小值
1
4
．
15．(2015·重庆高考)设 a，b>0，a＋b＝5，则 a＋1＋ b＋3的最大值为
________．
答案 3 2
解析 令 t＝ a＋1＋ b＋3，
则 t2＝( a＋1＋ b＋3)2
＝a＋1＋b＋3＋2 a＋1· b＋3
≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
当且仅当 a＋1＝b＋3时，
即 a＝7
2
，b＝3
2
时，等号成立，
所以 t的最大值为 3 2．
16．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买 x吨，运费
为 6万元/次，一年的总存储费用为 4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之
和最小，则 x的值是________．
答案 30
解析 设总费用为 y万元，则 y＝600
x
×6＋4x＝4x＋900
x
≥240，当且仅当 x
＝
900
x
，即 x＝30时，等号成立．
17．(2017·天津高考)若 a，b∈R，ab>0，则
a4＋4b4＋1
ab
的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当 a2＝2b2 时“＝”成立)，∴
a4＋4b4＋1
ab
≥
4a2b2＋1
ab
＝4ab＋ 1
ab
，由于 ab＞0，∴4ab＋ 1
ab
≥2 4ab· 1
ab
＝4当且
仅当 4ab＝ 1
ab
时“＝”成立，故当且仅当
a2＝2b2，
4ab＝ 1
ab
时，
a4＋4b4＋1
ab
的最小值
为 4．
三、模拟小题
18．(2018·廊坊一模)已知 m>0，n>0，2m＋n＝1，则
1
4m
＋
2
n
的最小值为( )
A．4 B．2 2 C．9
2
D．16
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，2m＋n＝1，则
1
4m
＋
2
n
＝(2m＋n)· 1
4m
＋
2
n
＝
5
2
＋
n
4m
＋
4m
n
≥
5
2
＋2 n
4m
·4m
n
＝
9
2
，当且仅当 n＝2
3
，m＝1
6
时取等号．故选 C．
19．(2018·山东日照模拟)若实数 x，y满足 xy>0，则
x
x＋y
＋
2y
x＋2y
的最大值为
( )
A．2－ 2 B．2＋ 2
C．4＋2 2 D．4－2 2
答案 D
解析
x
x＋y
＋
2y
x＋2y
＝
x
x＋y
＋
x＋2y－x
x＋2y
＝1＋ x
x＋y
－
x
x＋2y
＝1＋ xy
x＋yx＋2y
＝1＋ xy
x2＋3xy＋2y2
＝1＋
1
3＋x
y
＋
2y
x
，因为 xy>0，所以
x
y
>0，y
x
>0．由基本不等式可
知
x
y
＋
2y
x
≥2 2，当且仅当 x＝ 2y时等号成立，所以 1＋
1
3＋x
y
＋
2y
x
≤1＋ 1
3＋2 2
＝
4－2 2．
20．(2018·四川资阳诊断)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，则 a＋2b的最小
值为( )
A．5＋2 2 B．8 2
C．5 D．9
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴a＝ b
b－2
>0，解得 b>2，即 b－2>0，
则 a＋2b＝ b
b－2
＋2b＝1＋ 2
b－2
＋2(b－2)＋4≥5＋2 2
b－2
·2b－2＝9，当且仅
当 b＝3，a＝3时等号成立，其最小值为 9．
21．(2018·江西九校联考)若正实数 x，y满足(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，则 x
＋
1
2y
的最大值为( )
A．－1＋3 2
2
B．1
C．1＋3 3
2
D．3 2
2
答案 A
解析 由(2xy－1)2＝(5y＋2)·(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy
－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得 2x－1
y
2＋2＋2
y
2＝9，又 2x－1
y
2＋2＋2
y
2≥
2x－1
y
＋2＋2
y
2
2
＝
2x＋1
y
＋22
2
，当且仅当 2x－1
y
＝2＋2
y
时等号成立，所以 2x＋1
y
＋22≤18，得 2x＋
1
y
≤3 2－2，所以 x＋ 1
2y
≤
3 2－2
2
，所以 x＋ 1
2y
的最大值为－1＋3 2
2
．故选 A．
22．(2018·南昌摸底)已知函数 y＝x＋ m
x－2
(x>2)的最小值为 6，则正数 m的
值为________．
答案 4
解析 由 x>2，知 x－2>0，又 m>0，则 y＝(x－2)＋ m
x－2
＋2≥2 x－2 m
x－2
＋2＝2 m＋2，取等号的条件为 x－2＝ m
x－2
．从而依题意可知 2 m＋2＝6，解
得 m＝4．
23．(2018·邯郸模拟)设 x>0，y>0，且 x－1
y
2＝
16y
x
，则当 x＋1
y
取最小值时，
x2＋1
y2
＝________．
答案 12
解析 ∵x>0，y>0，∴当 x＋1
y
取最小值时，x＋1
y
2取得最小值，∵x＋1
y
2＝x2
＋
1
y2
＋
2x
y
，又 x－1
y
2＝
16y
x
，∴x2＋1
y2
＝
2x
y
＋
16y
x
，∴x＋1
y
2＝
4x
y
＋
16y
x
≥2 4x
y
·16y
x
＝
16，∴x＋1
y
≥4，当且仅当
4x
y
＝
16y
x
，即 x＝2y时取等号，∴当 x＋1
y
取最小值时，
x＝2y，x2＋1
y2
＋
2x
y
＝16，∴x2＋1
y2
＋
2×2y
y
＝16，∴x2＋1
y2
＝16－4＝12．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2018·河北唐山模拟)已知 x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y．
(1)求1
x
＋
1
y
的最小值；
(2)是否存在 x，y满足(x＋1)(y＋1)＝5？并说明理由．
解 (1)因为
1
x
＋
1
y
＝
x＋y
xy
＝
x2＋y2
xy
≥
2xy
xy
＝2，当且仅当 x＝y＝1时，等号成立，
所以
1
x
＋
1
y
的最小值为 2．
(2)不存在．理由如下：
因为 x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又 x，y∈(0，＋∞)，所
以 x＋y≤2．从而有(x＋1)(y＋1)≤x＋1＋y＋1
2
2≤4，因此不存在 x，y满足(x
＋1)(y＋1)＝5．
2．(2018·河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km宽的
沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的
输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增
压站的费用为 400万元，铺设距离为 x km的相邻两增压站之间的输油管道的费
用为 x2＋x万元．设余下工程的总费用为 y万元．
(1)试将 y表示成 x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使 y最小，其最小值为多少？
解 (1)设需要修建 k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即 k＝240
x
－1．
所以 y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400
240
x
－1
＋
240
x
(x2＋x)
＝
96000
x
＋240x－160．
因为 x表示相邻两增压站之间的距离，则 00，即 30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，
解得 3
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