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- 2021-07-01 发布
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基础过关
第2课时 等差数列
1.等差数列的定义: - =d(d为常数).
2.等差数列的通项公式:
⑴ an=a1+ ×d
⑵ an=am+ ×d
3.等差数列的前n项和公式:
Sn= = .
4.等差中项:如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b= .
5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是:
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p, q∈R)
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn
(a, b∈R)
6.等差数列{an}的两个重要性质:
⑴ m, n, p, q∈N*,若m+n=p+q,则 .
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列.
典型例题
例1. 在等差数列{an}中,
(1)已知a15=10,a45=90,求a60;
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;
(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
解:(1)方法一:
∴a60=a1+59d=130.
方法二:,由an=am+(n-m)da60=a45+(60-45)d=90+15×=130.
(2)不妨设Sn=An2+Bn,
∴
∴Sn=2n2-17n
∴S28=2×282-17×28=1092
(3)∵S6=S5+a6=5+10=15,
又S6=
∴15=即a1=-5
而d=
∴a8=a6+2 d=16
S8=
变式训练1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10= .
解:∵d=a6-a5=-5,
∴a4+a5+…+a10=
例2. 已知数列{an}满足a1=2a,an=2a-(n≥2).其中a是不为0的常数,令bn=.
⑴ 求证:数列{bn}是等差数列.
⑵ 求数列{an}的通项公式.
解:∵ ⑴ an=2a- (n≥2)
∴ bn= (n≥2)
∴ bn-bn-1= (n≥2)
∴ 数列{bn}是公差为的等差数列.
⑵ ∵ b1==
故由⑴得:bn=+(n-1)×=
即:= 得:an=a(1+)
变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足,且,
(1)判断是何种数列,并给出证明;
(2)若,求数列的前n项和
解:1),即 为等差数列。
(2)。
例3. 已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}前n项和。求Tn.
解:设{an}首项为a1公差为d,由
∴ Sn=
∴ ∴Tn=
变式训练3.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是 ( )
A. B. C. D.
解:B 解析:。
例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案:一是每年年末加1000美元;二是每半年结束时加300美元.问:
⑴ 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多?
⑵ 如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元?
⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.
问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?
解:⑴ 设工作年数为n(n∈N*),第一种方案总共加的工资为S1,第二种方案总共加的工资为S2.则:
S1=1000×1+1000×2+1000×3+…+1000n
=500(n+1)n
S2=300×1+300×2+300×3+…+300×2n
=300(2n+1)n
由S2>S1,即:300(2n+1)n>500(n+1)n
解得:n>2
∴ 从第3年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多.
⑵ 当n=10时,由⑴得:S1=500×10×11=55000
S2=300×10×21=63000
∴ S2-S1=8000
∴ 在该公司干10年,选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元.
⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元.
则=an(2n+1) n∈N*
∴ a>=250+≥250+
=
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,
中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.
到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.
由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.
到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
归纳小结
1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).
2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.
3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d的等差数列进行求和.
4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.