2020届高三数学（文）“大题精练”1 19页

‎2020届高三数学（文）“大题精练”1‎ ‎17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.‎ ‎（1）求的大小；（2）求的面积.‎ ‎18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.‎ 表1：男生 时长 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 表2：女生 时长 人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.‎ 每周运动的时长小于15小时 每周运动的时长不小于15小时 总计 男生 女生 总计 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面 ‎ ‎ ‎ ‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.‎ 第 19 页 共 19 页 ‎21.已知函数，且.‎ ‎（1）求的最小值； （2）证明：存在唯一极大值点，且.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎23．选修4－5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.‎ 第 19 页 共 19 页 ‎2020届高三数学（文）“大题精练”1（答案解析）‎ ‎17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.‎ ‎（1）求的大小；（2）求的面积.‎ ‎【解】（1）因为，所以点在线段上，且，故，①‎ 记，则，.‎ 因为，即，即，‎ 结合①式，得，可得.‎ 因为，所以，所以；‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得，‎ 即，解得.‎ 故.‎ ‎18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.‎ 表1：男生 第 19 页 共 19 页 时长 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 表2：女生 时长 人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；‎ ‎（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.‎ 每周运动的时长小于15小时 每周运动的时长不小于15小时 总计 男生 女生 总计 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎【解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个 第 19 页 共 19 页 基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；‎ ‎（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.‎ 可得下列列联表：‎ 每周运动的时长小于15小时 每周运动的时长不小于15小时 总计 男生 ‎26‎ ‎14‎ ‎40‎ 女生 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 总计 ‎42‎ ‎38‎ ‎80‎ ‎，‎ 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.‎ ‎19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面 ‎ ‎ ‎ ‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）证明：由题意，易得，∴即，‎ 又∵平面平面，交线为∴平面∴‎ 又∵∴平面 ‎（2）取中点，连接，∵∴，‎ 又∵平面平面，交线为∴平面 ‎∵为的中点，为的中点 ‎∴‎ ‎20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.‎ ‎【解】（1）直线的方程为，则直线的斜率.‎ 第 19 页 共 19 页 所以：，即，，椭圆方程为：；‎ ‎（2）①当不存在时，，，‎ 因为，所以.‎ ‎②当存在时，设，，：，‎ 联立得：.‎ 所以，，又已知左顶点为，‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以.综上得证.‎ ‎21.已知函数，且.‎ ‎（1）求的最小值； （2）证明：存在唯一极大值点，且.‎ ‎【解】（1），令，解得.，，为减函数，‎ 第 19 页 共 19 页 ‎，，为增函数.‎ ‎（2），构造函数，则，‎ 令，.故当时，，当时，，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ 结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 故在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 故存在唯一极大值点，因为，所以，‎ 故 ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）由直线的参数方程可知：，直线的倾斜角为；‎ 第 19 页 共 19 页 将圆的极坐标方程，化简得，两边乘得，，将，，。‎ 带入并化简整理可得圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）圆的参数方程为，，设，‎ ‎=，由可得，‎ ‎，即.‎ ‎23．选修4－5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1），由得：或或 解得；由，或或解得.‎ 故不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意可得等价于，由（1）知的解集为.‎ 因为对恒成立，所以，‎ 第 19 页 共 19 页 所以解得，所以a的取值范围为.‎ ‎17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.‎ ‎（1）求的大小；（2）求的面积.‎ ‎【解】（1）因为，所以点在线段上，且，故，①‎ 记，则，.‎ 因为，即，即，‎ 结合①式，得，可得.‎ 因为，所以，所以；‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得，‎ 即，解得.‎ 故.‎ ‎18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照 第 19 页 共 19 页 共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.‎ 表1：男生 时长 人数 ‎2‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 表2：女生 时长 人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；‎ ‎（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.‎ 每周运动的时长小于15小时 每周运动的时长不小于15小时 总计 男生 女生 总计 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ 第 19 页 共 19 页 ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎【解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个 基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；‎ ‎（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.‎ 可得下列列联表：‎ 每周运动的时长小于15小时 每周运动的时长不小于15小时 总计 男生 ‎26‎ ‎14‎ ‎40‎ 女生 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 总计 ‎42‎ ‎38‎ ‎80‎ ‎，‎ 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.‎ ‎19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面 ‎ ‎ ‎ ‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）证明：由题意，易得，∴即，‎ 又∵平面平面，交线为∴平面∴‎ 又∵∴平面 ‎（2）取中点，连接，∵∴，‎ 又∵平面平面，交线为∴平面 ‎∵为的中点，为的中点 ‎∴‎ ‎20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.‎ 第 19 页 共 19 页 ‎【解】（1）直线的方程为，则直线的斜率.‎ 所以：，即，，椭圆方程为：；‎ ‎（2）①当不存在时，，，‎ 因为，所以.‎ ‎②当存在时，设，，：，‎ 联立得：.‎ 所以，，又已知左顶点为，‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以.综上得证.‎ ‎21.已知函数，且.‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（1）求的最小值； （2）证明：存在唯一极大值点，且.‎ ‎【解】（1），令，解得.，，为减函数，‎ ‎，，为增函数.‎ ‎（2），构造函数，则，‎ 令，.故当时，，当时，，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，，‎ 结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，‎ 当时，，当时，，当时，，‎ 故在单调递增，在单调递减，在单调递增，‎ 故存在唯一极大值点，因为，所以，‎ 故 ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；‎ 第 19 页 共 19 页 ‎（2）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎【解】（1）由直线的参数方程可知：，直线的倾斜角为；‎ 将圆的极坐标方程，化简得，两边乘得，，将，，。‎ 带入并化简整理可得圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）圆的参数方程为，，设，‎ ‎=，由可得，‎ ‎，即.‎ ‎23．选修4－5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解】（1），由得：或或 解得；由，或或解得.‎ 第 19 页 共 19 页 故不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意可得等价于，由（1）知的解集为.‎ 因为对恒成立，所以，‎ 所以解得，所以a的取值范围为.‎ 第 19 页 共 19 页