【数学】2020届一轮复习浙江专版9-4二项式定理作业 6页

课时跟踪检测（五十四） 二项式定理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2018·温州模拟)在9的展开式中，常数项是(　　)‎ A．C　　　　　　　　 　B．－C C．8C D．－8C 解析：选D　9展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r(－2x)r＝C(－2)rx，令＝0，解得r＝3.所以常数项是－8C.‎ ‎2．(2019·杭州名校协作体联考)(1－x)4展开式中x2的系数为(　　)‎ A．16 B．12‎ C．8 D．4‎ 解析：选C　(1－x)4展开式的通项公式为Tr＋1＝C4(－1)rxr.所以(1－x)4展开式中x2的系数为C(－1)3＋2C(－1)2＝8.‎ ‎3．(2019·丽水模拟)若7展开式中含x的项的系数为280，则a＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D. 解析：选C　该二项式展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r·r＝C(－1)ra－rx7－2r.令7－2r＝1，解得r＝3.所以－Ca－3＝280，解得a－3＝－8，所以a＝－.‎ ‎4．(2019·绿色联盟适应性考试)若(x＋1)6的展开式中常数项为60，则实数a的值是________．‎ 解析：6展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6－rr＝C6－r(－a)rx6－，‎ 令6－＝0，得r＝4；‎ 令6－＝－1，得r＝(舍去)．‎ 所以(x＋1)6的展开式中常数项为 C2(－a)4＝a4＝60，‎ 解得a＝±2.‎ 答案：±2‎ ‎5．(2019·绍兴质检)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a2＋a4＝________.‎ 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35；‎ 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，‎ 所以a0＋a2＋a4＝＝121.‎ 答案：121‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2019·武汉调研)n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项是(　　 )‎ A．－270 B．270‎ C．－90 D．90‎ 解析：选C　在n的展开式中，令x＝1，可得n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1 024＝210，解得n＝5，‎ 故5展开式的通项公式为Tr＋1＝C·35－r·(－1)r·x.‎ 令＝0，得r＝3，故展开式中的常数项为－32C＝－90.‎ ‎2．(2019·金华十校联考)在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是(　　 )‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选B　由题意得，该二项展开式的通项Tr＋1＝C·(－1)rxr，‎ ‎∴该项的系数ar＝(－1)r·C，‎ ‎∵2a2＋an－5＝0，‎ ‎∴2(－1)2C＋(－1)n－5C＝0，‎ 即2C＋(－1)n－5·C＝0，‎ ‎∴n－5为奇数，‎ ‎∴2C＝C＝C，‎ ‎∴2×＝，‎ ‎∴(n－2)(n－3)(n－4)＝120，解得n＝8.‎ ‎3．(2019·湖州五校高三模拟)已知f(x)＝(x－1)3(x－2)4＝x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a6＝(　　)‎ A．11 B．－11‎ C．24 D．－24‎ 解析：选B　由a6x6＝Cx2(－1)1·Cx4(－2)0＋Cx3·(－1)0·Cx3(－2)1＝－11x6，故a6＝－11.‎ ‎4．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于(　　)‎ A．32 B．－1‎ C．10 D．1‎ 解析：选C　在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.故选C.‎ ‎5．(2019·杭州高级中学月考)已知函数f(x)＝－x3＋2f′(2)x，n＝f′(2)，则二项式n的展开式中的常数项是(　　 )‎ A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 解析：选C　根据题意，f′(x)＝－3x2＋2f′(2)，‎ 令x＝2，得f′(2)＝－12＋2f′(2)，所以n＝f′(2)＝12，‎ 则12的二项展开式为Tr＋1＝Cx12－rr＝C·2r·x12－r，‎ 令12－r＝0，得r＝8，此时为展开式的第9项．‎ ‎6．(2019·杭师大附中模拟)已知(1＋2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n＝________；(1＋2x)n展开式中常数项为________．‎ 解析：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，即C最大，所以n＝6.(1＋2x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C2rxr.所以常数项为1＋C22＝61.‎ 答案：6　61‎ ‎7．(2019·义乌期末)若(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn, 且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，则n的值为________；a2＝________.‎ 解析：令x＝1，得2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝126，解得n＝6.所以a2＝C ＋C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＋15＝35.‎ 答案：6　35‎ ‎8．(2019·湖南东部六校联考)若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．‎ 解析：令x＝1，得n的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝128＝27，故n＝7.则二项式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·(－x－)r＝(－1)r·37－rCx，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是(－1)6·37－6C＝21.‎ 答案：21‎ ‎9．已知函数f(x)＝(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n(n≥3)．‎ ‎(1)求展开式中x2的系数；‎ ‎(2)求展开式中系数之和．‎ 解：(1)展开式中x2的系数为C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋…＋C ‎＝C＋C＋…＋C ‎＝…＝C＝＝.‎ ‎(2)展开式中的系数之和为 f(1)＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.‎ ‎10．已知n的展开式中，前三项系数成等差数列．‎ ‎(1)求n；‎ ‎(2)求第三项的二项式系数及项的系数；‎ ‎(3)求含x项的系数．‎ 解：(1)∵前三项系数1，C，C成等差数列．‎ ‎∴2·C＝1＋C，‎ 即n2－9n＋8＝0.‎ ‎∴n＝8或n＝1(舍)．‎ ‎(2)由n＝8知其通项为Tr＋1＝C·()8－r·r＝r·C·x4－r，r＝0,1，…，8.‎ ‎∴第三项的二项式系数为C＝28.‎ 第三项的系数为2·C＝7.‎ ‎(3)令4－r＝1，得r＝4，‎ ‎∴含x项的系数为4·C＝.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2019·浙江考前冲刺卷)若(x＋1)a的展开式中所有项的系数和为192，则a＝________，展开式中的常数项为________．‎ 解析：(x＋1)a的展开式中所有项的系数和为192，令x＝1，则×(1＋1)a＝192，解得a＝6，因为·(x＋1)6＝(x＋1)6＝(1＋x)6＋(1＋x)6，其中(1＋x)6的展开式中的常数项为Cx＝12，(1＋x)6的展开式中的常数项为Cx2＝15，所以(x＋1)6的展开式中的常数项为12＋15＝27.‎ 答案：6　27‎ ‎2．(2019·浙江考前冲刺卷)若对任意实数x，有x5＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝________，＝________.‎ 解析：x5＝(x－3＋3)5的展开式的通项Tr＋1＝C5(x－3)5－r3r，令5－r＝3，则r＝2，得a3＝C×32＝90.将x＝4代入原等式中，得45＝a0＋a1×(4－3)＋a2×(4－3)2＋a3×(4－3)3＋a4×(4－3)4＋a5×(4－3)5，即45＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5　①，将x＝2代入原等式中，得25＝a0＋a1×(2－3)＋a2×(2－3)2＋a3×(2－3)3＋a4×(2－3)4＋a5×(2－3)5，即25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3＋a5)　②，由①②可得＝＝.‎ 答案：90　 ‎3．已知二项式n，‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)由题意可得C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，‎ 解得n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，‎ ‎∴T4的系数为C·4·23＝，‎ T5的系数为C·3·24＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，‎ ‎∴T8的系数为C·7·27＝3 432.‎ ‎(2)由题意可得C＋C＋C＝79，整理得n2＋n－156＝0.‎ 解得n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴ 解得9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎