【数学】2020届一轮复习人教B版参数方程与普通方程的互化作业 4页

‎2020届一轮复习人教B版 参数方程与普通方程的互化 作业 ‎1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)‎ A．y＝x－2　　　　　　　 B．y＝x＋2‎ C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)‎ 解析：选C　方程可化为y＝x－2，x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.‎ ‎2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．直线 B．圆 C．线段 D．射线 解析：选C　x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，‎ ‎∴x＋y＝1(x∈[0,1])为线段．‎ ‎3．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析：选B　将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.‎ ‎4．已知曲线C：(t为参数)，A(－1,0)，B(1,0)，若曲线C上存在点P满足·＝0，则实数a的取值范围为(　　) ‎ A. B．[－1,1]‎ C．[－，] D．[－2,2]‎ 解析：选C　设P(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)，点P满足·＝0，‎ ‎∴P的轨迹方程是x2＋y2＝1，表示圆心为(0,0)，半径为1的圆．曲线C：(t为参数)化成普通方程为x－y＋a＝0，由题意知，圆心(0,0)到直线x－y＋a＝0的距离d＝≤1，∴－≤a≤.‎ ‎5．将下列参数方程化为普通方程：‎ ‎(1)(θ为参数，a、b为常数，且a＞b＞0)；‎ ‎(2)(t为参数，p为正常数)．‎ ‎【解】　(1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得＋＝1，‎ 这是一个长轴长为2a，短轴长为2b，中心在原点的椭圆．‎ ‎(2)由已知t＝，代入x＝‎2pt2得·2p＝x，‎ 即y2＝2px，‎ 这是一条抛物线．‎ ‎6．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，求r的值．‎ ‎【解】　由得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，由题意得r＝＝.‎ ‎7．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，求常数k的值．‎ ‎【解】　将化为普通方程为 y＝－x＋，斜率k1＝－，‎ 当k≠0时，直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－，‎ 由k1k2＝(－)×(－)＝－1得k＝－6；‎ 当k＝0时，直线y＝－x＋与直线4x＝1不垂直．综上可知，k＝－6.‎ ‎8．过椭圆＋＝1内一定点P(1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．‎ ‎【解】　设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y＝k(x－1)，代入方程＋＝1，得(9k2＋4)x2－18k2x＋9k2－36＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝，‎ 所以∴＝－k，‎ 即k＝－，代入y＝k(x－1)中，得4x2＋9y2－4x＝0，即＋＝1.①‎ 当AB⊥Ox轴时，线段AB的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为＋＝1.点M的轨迹是以O、P为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆．‎ ‎9．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，α∈R)，点M(5,4)在该曲线上，‎ ‎(1)求常数a；‎ ‎(2)求曲线C的普通方程．‎ ‎【解】　(1)由题意，可知故 所以a＝1.‎ ‎(2)由已知及(1)得，‎ 曲线C的方程为 由①得t＝，代入②得y＝()2，‎ 即(x－1)2＝4y为所求．‎ ‎10．已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1：ρcos＝2与曲线C2：(t∈R)交于A、B两点．求证：OA⊥OB.‎ ‎【导学号：98990031】‎ ‎【证明】　曲线C1的直角坐标方程为x－y＝4，曲线C2的直角坐标方程是抛物线y2＝4x.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两个方程联立，消去x，‎ 得y2－4y－16＝0⇒y1y2＝－16，y1＋y2＝4.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝(y1＋4)(y2＋4)＋y1y2＝2y1y2＋4(y1＋y2)＋16＝0，∴·＝0，∴OA⊥OB.‎ ‎11．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹．‎ ‎【解】　设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，则 ‎①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2(y′＋)，‎ ‎∴所求点P的轨迹方程为x2＝2(y＋)(|x|≤，|y|≤)．它是顶点为(0，－)，开口向上的抛物线的一部分．‎ ‎[能力提升]‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，求圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝2.若直线l与圆C相切，求r的值．‎ ‎【解】　将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得：x－y－4＝0，‎ 将圆C的参数方程化为普通方程得：(x＋1)2＋y2＝r2，‎ 由题设知：圆心C(－1,0)到直线l的距离为r，即r＝＝，‎ 即r的值为.‎