2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-5 直线与圆锥曲线（理科） 52页

第5节 直线与圆锥曲线 题型124 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎1.(2013重庆理21）‎ 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.若，求圆的标准方程.‎ ‎2．(2013湖南理21）‎ 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点，相交于点.以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在的直线记为.‎ ‎（1）若，证明；；‎ ‎（2）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程.‎ ‎3.（2013江西理20）‎ ‎ 如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎ (2) 是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记 的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎4.（2014 辽宁理 10）已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎5.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知双曲线的两条渐近线分别为，.‎ ‎ （1）求双曲线的离心率；‎ ‎ （2）如图所示，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎6.（2014 天津理 18）（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎7.（2014 湖北理 21）（满分14分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹为的方程；‎ ‎（2）设斜率为的直线过定点.求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.‎ ‎8.（2015北京理19）已知椭圆的离心率为，点和 点都在椭圆上，直线交轴于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表）；‎ ‎（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点.问：轴上是否存 在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎8. 解析 （1）因为，所以，‎ 又点在椭圆：上，则，，‎ 因此椭圆的方程为，直线的方程：，‎ 令，可得，所以点的坐标是.‎ ‎（2）点与关于轴对称，所以，直线的方程：，‎ 令，所以可得，则，因为，‎ 所以，所以，即，‎ 因为，又点在椭圆上，‎ 所以，即，所以，得.‎ ‎9.（2015福建理18）已知椭圆过点，且离心率 ‎．‎ ‎(1)求椭圆的方程； ‎ ‎(2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为 直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎9.分析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．‎ 解析 解法一：（1）由已知得，解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设点，，的中点为．由，‎ 得，所以，，‎ 从而，‎ 所以，‎ ‎，‎ 故 ‎，所以．‎ 故点在以为直径的圆外．‎ 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）设点，，则，．‎ 由，得，‎ 所以，，‎ 从而 ‎，‎ 所以．又，不共线，所以为锐角．‎ 故点在以为直径的圆外．‎ ‎10.（2015全国I理20）在直角坐标系中，曲线与直线 ‎ 交于，两点.‎ ‎（1）当时，分别求在点和处的切线方程；‎ ‎（2）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.‎ ‎10.解析 （1）由题意知，时，联立，解得，．‎ 又，在点处，切线方程为，即，‎ 在点处，，切线方程为，即．‎ 故所求切线方程为和．‎ ‎（2）存在符合题意的点，证明如下：‎ 设点为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．联立方程，得，故，，‎ 从而．‎ 当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，‎ 故，所以点符合题意．‎ ‎11.（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，‎ 点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，‎ ‎.‎ ‎（1）求直线的斜率；‎ ‎（2）求椭圆的方程；‎ ‎（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的 取值范围.‎ ‎11．分析 (1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆 心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值； (2)由(1)设椭圆方程为，‎ 直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；‎ ‎(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的 范围，即可求直线的斜率的取值范围.‎ 解析 (1)由已知有，又由，可得，，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由已知有，解得.‎ ‎(2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，‎ 消去，整理得，解得或，因为点在第一像限，‎ 可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为.‎ ‎(3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，‎ 与椭圆方程联立，消去，‎ 整理得，又由已知，得，‎ 解得或，‎ 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，‎ 整理可得.‎ ①当时，有，因此，于是，‎ 得；‎ ②当时，有，因此，于是，‎ 得 综上所述，直线的斜率的取值范围是.‎ ‎12.（2016四川理20）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.‎ ‎（1）求椭圆的方程及点的坐标；‎ ‎（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值.‎ ‎12.解析 (1)由已知，，则椭圆的方程为.‎ 有方程组 得.①‎ 方程①的判别式为，由，得，此方程①的解为，‎ 所以椭圆的方程为.点坐标为.‎ ‎(2)由已知可设直线的方程为，‎ 有方程组，可得.‎ 所以点坐标为，.设点，的坐标分别为，‎ ‎.‎ 由方程组可得 ②‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ 由②得，.‎ 所以 ，同理，‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数，使得.‎ ‎13.（2017江苏17）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标．‎ ‎13.解析 （1）设椭圆的半焦距为，由题意，解得，因此 ‎，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由（1）知，．设，因为点为第一象限的点，故．‎ 当时，与相交于，与题设不符．‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为．‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程为 ① ‎ 直线的方程为 ②‎ 联立①②，解得，所以．‎ 因为点在椭圆上，由对称性得，即或．‎ 又点在椭圆上，故．‎ 由，解得；由，无解．‎ 因此点的坐标为．‎ ‎14.（2017北京理18）已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点.‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：为线段的中点.‎ ‎14.解析 （1）由抛物线过点，得.所以抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.‎ ‎（2）解法一：由题意，设直线的方程为，与抛物线的交点为，.由，得.则，.‎ 因为点的坐标为，所以直线的方程为，点的坐标为.‎ 因为直线的方程为，所以点的坐标为.‎ 因为 ‎，所以.‎ 故为线段的中点.‎ 解法二：要证为的中点，且相同，只需证，等式两边同时除以，则有.因为 ‎.又，所以等式成立，即为的中点.‎ 题型125 弦长与面积问题 ‎1.（2013浙江理21）如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求面积取最大值时直线的方程.‎ ‎ ‎ ‎2.(2013全国新课标卷理20）‎ 平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形的最大值.‎ ‎3（2013广东理20）‎ 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为.设 为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎(3) 当点在直线上移动时，求的最小值.‎ ‎4．（2013四川理20） ‎ 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．‎ ‎5（2013湖北理21）‎ ‎ 如图，已知椭圆与 的中心坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，（），过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为 记， 和的面积分别为和．‎ ‎(1) 当直线与轴重合时，若，求的值；‎ ‎(2) 当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由．‎ 第21题图 ‎6.(2013福建理18）‎ 如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，‎ 点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为 和，连接，过作轴的垂线与 交于点．‎ （1） 求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；‎ （2） 过点作直线与抛物线交于不同的两点， 若与的面积之比为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，求直线的方程．‎ ‎7.（2014 新课标2理20）（本小题满分12分）‎ 设分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直.直线与的另一个交点为.‎ ‎ （1）若直线的斜率为，求的离心率；‎ ‎ （2）若直线在轴上的截距为，且，求.‎ ‎8.（2014 新课标1理20） （本小题满分12分）‎ 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.‎ ‎9.（2014 山东理 21）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，当点的横坐标为时，为正三角形.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ （i）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎10.（2014 湖南理 21） 如图所示，为坐标原点，椭圆 的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为,已知，且.‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）过点作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.‎ ‎11.（2014 安徽理 19）（本小题满分13分)‎ 如图所示，已知两条抛物线：和：，过原点的两条直线和，与，分别交于，两点，与，分别交于，两点.‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎ （2）过原点作直线（异于，）与，分别交于，两点.记与的面积分别为与，求的值.‎ ‎12.（2015湖北理21）一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ 第21题图1‎ 第21题图2‎ x D O M N y ‎12．解析（1）设点，，依题意，‎ ‎，且，‎ 所以，且 即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，‎ 即所求的曲线的方程为 ‎（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ ‎（ii）当直线的斜率存在时，设直线，‎ 由消去，可得.‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由可得；同理可得.‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎. ②‎ 将①代入②得，. ‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时，的最小值为8.‎ 综合（i）（ii）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. ‎ ‎13.（2015江苏18）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的 离心率为，且右焦点到直线（其中）的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．‎ ‎13.解析 （1）由题意得，故，即，‎ 从而，，，故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）解法一（正设斜率）：若的斜率不存在时，则方程为，此时，易知此时，不满足题意；‎ 当的斜率为时，此时亦不满足题意；‎ 因此斜率存在且不为，不妨设斜率为，则方程，‎ 不妨设，，‎ 联立直线与椭圆，‎ 即，‎ 因为点在椭圆内，故恒成立，‎ 所以，故 ‎，‎ 又，，‎ 故，‎ 因为，故，‎ 即，即，‎ 整理得，即，即，‎ 解得，从而直线方程为或．‎ 解法二（反设）：由题意，直线的斜率必不为，故设直线方程为，‎ 不妨设，，‎ 与椭圆联立，整理得，‎ 因为点在椭圆内，故恒成立，故，‎ 因此 ‎，‎ 则点的纵坐标为，‎ 于是点的横坐标为，‎ 又，故，‎ 所以，‎ 因为可得，‎ 化简得，即，‎ 化简得，计算得，‎ 从而直线方程为或．‎ ‎14.（2016浙江理19（1））如图所示，设椭圆.求直线被椭圆截得的线段长（用， 表示）；‎ ‎14.解析 （1）设直线被椭圆截得的线段为，联立方程，‎ 得，解得，．‎ 因此．‎ ‎15.（2016江苏‎21 C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长．‎ ‎15. 解析 解法一（求点）：直线方程化为普通方程为，‎ 椭圆方程化为普通方程为，‎ 联立，解得或，‎ 因此．‎ 解法二（弦长）：直线方程化为普通方程为，‎ 椭圆方程化为普通方程为，不妨设，，‎ 联立得，消得，恒成立，‎ 故，所以．‎ 解法三（几何意义）：椭圆方程化为普通方程为，‎ 直线恒过点，该点在椭圆上，将直线的参数方程代入椭圆的 普通方程，得，整理得，故，，‎ 因此．‎ ‎16.（2016全国乙理20）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.‎ ‎ 16.解析 (1)如图所示，圆的圆心为，半径，‎ 因为，所以.又因为，所以，‎ 于是 ，所以.故为定值.‎ 又，点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 由，，得.故点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）因为直线与轴不重合，故可设的方程为，‎ 过且与垂直的直线方程为.‎ 由，得.‎ 设，，则，.‎ 得.‎ 由，得.‎ 设，，则，.‎ 得.‎ 四边形的面积.‎ 因为，所以，故. ‎ 即四边形面积的取值范围是.‎ ‎17.（2016全国甲理20）已知椭圆:的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，.‎ ‎（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围.‎ ‎17.解析（1）解法一：当时，由于，根据对称性可知，所以 ，‎ 得，所以.‎ 又，所以，所以.‎ 解法二：设点，且交轴于点. 因为，且，‎ 所以， .由，得.‎ 又，所以，解之得或.‎ 所以 ，所以.‎ ‎（2）解法一：设直线，，.‎ 则，，所以.‎ 同理.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 解法二：设直线AM的方程为，联立并整理得，，‎ 解得或，所以，‎ 所以.‎ 因为，所以，整理得，．‎ 因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得，解得．‎ ‎18.（2016山东理21）平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点. （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎（i）求证：点在定直线上;‎ ‎（ii）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标.‎ ‎18.解析（1）由题意知，可得：.‎ 因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）（i）设，由可得，所以直线的斜率为，‎ 因此直线的方程为，即.‎ 设，联立方程 得，‎ 由，得，且，因此，‎ 将其代入得，因为，所以直线方程为.‎ 联立方程，得点的纵坐标为，即点在定直线上. ‎ ‎（ii）由（i）知直线方程为，令得，所以，‎ 又，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 当，即时，取得最大值，此时，满足，‎ 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.‎ ‎19.（20 1 7天津理19）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎19.解析 (1)依题意设点，由题意知，且.‎ 由对称性知抛物线的准线方程为，则，解得，，，‎ 于是.从而椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎(2)由于准线的方程为，依题意设()，则.因为，‎ 则，得直线的方程为 ①‎ 将①式代入中化简得.设点，由韦达定理得，则，即，则，于是得直线方程为.‎ 令，解得，即.则，‎ 于是，化简得，即得.代入①式化简得直线方程为，或.‎ ‎20.（2017山东理21）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图所示，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为，.求的最大值，并求取得最大值时，直线的斜率.‎ ‎20.解析 （1）由题意知 ，，所以 ，，因此椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点，联立方程消去整理得，‎ 由题意知，且，，‎ 所以，‎ 由题意可知圆的半径.‎ 由题设知，所以，因此直线的方程为.‎ 联立方程，解得，因此 .‎ 由题意可知 ，而.‎ 令，则，因此 ，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，‎ 因此，所以的最大值为.‎ 综上所述，的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.‎ 题型126 中点弦问题 ‎ ‎1.（2014 湖南理 21） 如图所示，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为,已知，且.‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）过点作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值.‎ ‎2.（2014 大纲理 21）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，且四点在同一圆上，求的方程.‎ ‎3.（2015全国II理20）已知椭圆，直线不过原点且不平行 于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.‎ ‎（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2） 若过点,延长线段与交于点，四边形能否平行四边行？若 能，求此时的斜率，若不能，说明理由.‎ ‎3. 分析（1）求解斜率的有关问题时，要注意斜率是否存在，然后用斜率的求解方法及直线与圆锥曲线的关系来进行求解. ‎ ‎（2）存在性探究问题的解答不妨设存在，然后进行计算求解.注意分类讨论思想的应用和计算的正确性.‎ 解析 （1） 根据题意，因为直线不平行于坐标轴，则斜率必然存在，‎ 故设直线为，则，，．‎ 将代入得，，‎ 故，．‎ 于是直线的斜率，即．‎ 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）不妨设四边形能为平行四边形．‎ 因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，且．‎ 由(1)得的方程为．设点的横坐标为．由 得，即．‎ 将点的坐标代入直线的方程得，因此．‎ 四边形为平行四边形，当且仅当线段与线段互相平分，‎ 即．于是．‎ 解得，．‎ 因为，，，‎ 所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ 命题意图 解析几何的考查的方向主要体现在对直线和圆锥曲线方程的计算上，，特别是对存在性问题的探究和计算能力的考查，在方法上相对固定，计算难度比较大.‎ ‎4.（2015陕西理20）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）如图，是圆：‎ 的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆 的方程．‎ ‎4．解析 （1）解法一: 由面积法可知，‎ 所以. ‎ 解法二: 直线经过 两点，‎ 由截距式得直线方程为，‎ 由点到直线的距离，‎ 解法三: 过点的直线方程为，‎ 则原点到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率.‎ ‎ (2)由题意知，是弦的中点，且.‎ 设则，① ，②‎ ①-②得，.‎ 因此方程为.‎ 所以，.‎ 所以 ‎5.（2015浙江理19）已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎5．解析（1）设：，设 的中点．‎ 由．‎ 所以，所以 代入直线方程得，. ‎ 代入解得, 或.‎ 评注 本题还可利用点差法来求解.‎ ‎（2）令，则 ‎，‎ 又到直线的距离.‎ 所以，‎ 当且仅当，即时取等号.‎ 所以△的面积的最大值为.‎ ‎6.（2016江苏22）如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．‎ ‎（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．‎ ①求证：线段上的中点坐标为；②求的取值范围．‎ ‎6.解析 （1）因为，所以与轴的交点坐标为，‎ 即抛物线的焦点为，所以，故．‎ ‎（2）解法一：①设点，，‎ 则由，得，故，‎ 又因为关于直线对称，所以，即，‎ 所以，又因为中点一定在直线上，‎ 所以，故线段上的中点坐标为；‎ ②因为中点坐标为，‎ 所以，即，‎ 所以，即关于的二次方程有两个不等根，‎ 因此，解得．‎ 解法二：设点，，，线段的中点，‎ 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，‎ 于是直线的斜率为，则可设其方程为．‎ ‎①由消去得，（*）‎ 因为 和是抛物线上的相异两点，所以，‎ 从而，化简得．‎ 方程（*）的两根为，从而．‎ 因为在直线上，所以．‎ 因此，线段的中点坐标为．‎ ‎②因为在直线上，‎ 所以，即．‎ 由①知，于是，所以 因此的取值范围为．‎ 题型127 平面向量在解析几何中的应用 ‎1．(2013湖南理21）‎ 过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点，相交于点.以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在的直线记为.‎ ‎（1）若，证明；；‎ ‎（2）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程.‎ ‎2.(2013安徽理18）‎ 设椭圆的焦点在轴上.‎ ‎（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且.证明：当变化时，点在某定直线上.‎ ‎ 3.(2013天津理18）‎ ‎ 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 设， 分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点． ‎ 若，求的值．‎ ‎4. (2013安徽理13）已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得为直角，则的取值范围为 .‎ ‎5.（2014 重庆理 21）如图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.‎ （1） 求该椭圆的标准方程；‎ （2） 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..‎ ‎6.（2014 天津理 18）（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.‎ ‎7.（2014 陕西理 20）（本小题满分13分）‎ 如图所示，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.‎ （1） 求的值；‎ （2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.‎ ‎8.（2015全国I理5）已知是双曲线上的一点，，是的 两个焦点，若，则的取值范围是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎8.解析 由题可得，，且，即，‎ 所以，‎ 解得．故选A．‎ ‎9.（2015湖南理20）已知抛物线的焦点F也是椭圆 ‎ 的一个焦点，与的公共弦的长为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与 同向.‎ ‎（ⅰ）若，求直线的斜率.‎ ‎（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形.‎ ‎9. 解析 (1) 由知其焦点的坐标为（0，1），因为也是椭圆的一个焦点，所以 ①‎ 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，‎ 且的方程为，由此易知与的公共点坐标为，‎ 所以 ②‎ 联立① ②得，故的方程为.‎ ‎(2) 如图所示，设，，，. ‎ ‎ ()因与同向，且 ，‎ 所以 ，从而 ，即，‎ 于是. ③‎ 设直线的斜率为，则的方程为.‎ 由 得，而是这个方程的两根，‎ 所以 ④‎ 由 得，‎ 而是这个方程的两根，‎ 所以 ⑤‎ 将④ ⑤代入③得 ，即，‎ 所以 ，解得 ，即直线的斜率为.‎ ‎()由 得 ，所以在点处的切线方程为，‎ 即.‎ 令得，即，所以，‎ 而，于是，‎ 因此是锐角，从而是钝角. ‎ 故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.‎ ‎10. (2015山东理20)平面直角坐标系中，已知椭圆的离心 率为，左、右焦点分别是. 以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径 的圆相交，且交点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2） 设椭圆，为椭圆上任意一点. 过点的直线交椭 圆于两点，射线交椭圆于点.‎ ‎（i）求的值；‎ ‎（ii）求△面积的最大值.‎ ‎10.解析 （1）由题意知，则．又，，可得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）知椭圆的方程为．‎ ‎（ⅰ）设，，由题意知．因为，‎ 又，即，所以，即．‎ ‎（ⅱ）设，．将代入椭圆的方程，‎ 可得，由，‎ 可得 ①‎ 则有，，所以．‎ 因为直线与轴的交点坐标为，所以的面积 ‎．‎ 设．将代入椭圆的方程，‎ 可得，‎ 由，可得 ②‎ 由①②可知，因此，故，‎ 当且仅当，即时取得最大值．‎ 由（ⅰ）知，面积为，所以面积的最大值为．‎ ‎11.（2016四川理8）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11.解析 设，，（不妨设），‎ 则，.‎ 因为，所以，所以，‎ 所以（当且仅当时，即时取“” ），所以.故选C.‎ ‎12.（2016上海理21）双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．‎ ‎（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率．‎ ‎ 12.解析 （1）由已知，，不妨取，则，‎ 由题意，又，，‎ 所以，即，解得，‎ 因此渐近线方程为．‎ ‎（2）若，则双曲线为，所以，，‎ 解法一：不妨设的中点为，由得，即．‎ 设，，联立直线与双曲线方程，‎ 消得，‎ 所以，且，‎ 故，因此，‎ 即，所以，整理得，‎ 即，所以直线的斜率为．‎ 解法二：设，，则，，‎ 所以，，‎ 又 （*）‎ 因为，所以，‎ 代入（*）式得，‎ 直线的斜率存在，故，所以，‎ 设直线为，代入，‎ 得，‎ 所以，且，‎ ‎，故，即，所以直线的斜率为．‎ ‎13.（2016天津理19）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线斜率的取值范围.‎ ‎ 13.解析 （1）由，即，可得.‎ 又，所以，因此，所以椭圆的方程为 ‎（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为.‎ 设，由方程组，消去，‎ 整理得.‎ 解得或.由题意得，从而.‎ 由（1）知，，设，有，.‎ 由，得，所以，解得.‎ 因此直线的方程为.‎ 设，由方程组，消去，解得.‎ 在中，由，得，即，‎ 化简得，即，解得或.‎ 所以直线的斜率的取值范围为.‎ ‎14．（2107全国3卷理科20）已知抛物线，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．‎ ‎（1）求证：坐标原点在圆上；‎ ‎（2）设圆过点，求直线与圆的方程．‎ ‎14．解析 （1）显然当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．‎ 设，，，联立，得，‎ 恒大于，，．‎ ‎，所以，即点在圆上．‎ ‎（2）若圆过点，则，即，即，即，化简得，解得或.‎ ‎①当时，，设圆心为，‎ 则，，半径，‎ 则圆.‎ ‎②当时，，设圆心为，‎ ‎，，半径，则圆.‎ 题型128 定点问题——暂无 ‎1. (2013安徽理18）‎ 设椭圆的焦点在轴上.‎ ‎（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，并且.证明：当变化时，点在某定直线上.‎ ‎2. (2013陕西理20）‎ 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为。‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点.‎ ‎3.（2014 辽宁理 20） （本小题满分12分 ）圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为.‎ ‎ （1）求的方程；‎ ‎ （2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与 交于，两点，若以线段为直径的圆过点，求的方程.‎ ‎4.（2017全国2卷理科20）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点在直线上，且.求证：过点且垂直于的直线过的左焦点. ‎ ‎4．解析 （1）设点，易知，，又，‎ 所以点.又在椭圆上，所以，即．‎ ‎（2）由题知，设，，则，，，，，由，得.又由（1）知，所以，从而，即.又过点存在唯一直线的垂直于，所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点.‎ ‎5.（2107全国1卷理科20）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点.‎ ‎5. 解析 （1）根据椭圆对称性，必过，，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过 三点.将代入椭圆方程得，解得，‎ ‎，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）当斜率不存在时，设，‎ ‎，得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，‎ 故不满足．‎ 当斜率存在时，设，，联立，‎ 消去整理得，，，‎ 则 ‎，又，此时，存在使得成立．‎ 所以直线的方程为.‎ 当时，，所以过定点．‎ 题型129 定值问题 ‎1.（2013山东理22）椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线，人斜率分别为，，若，试证明为定值，并求出这个定值.‎ ‎2.（2014 江西理 20）（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，已知双曲线：的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，，（为坐标原点）.‎ ‎ （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）过上一点的直线：与直线相交于点，与直线相交于点.证明:点在上移动时，恒为定值，并求此定值.‎ ‎3.（2014 北京理 19）（本小题14分）‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点.若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎4.（2015四川理20）如图所示，椭圆：的离心率是，过点 的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的 线段长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？‎ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎4.分析 （1）根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，，，‎ 将这个点的坐标代入椭圆的方程，得.再根据离心率得，‎ 又，三者联立，解方程组即可得，进而得椭圆的方程为 ‎；（2）先利用与轴平行和垂直这两种特殊情况找出点的坐标为.‎ 接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有 ‎.设，，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点关于轴对称的点，这样将问题转化为证 三点共线.‎ 解析 （1）由已知点在椭圆上.‎ 所以，解得，.所以椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点.‎ 如果存在定点满足条件，则，即.‎ 所以点在轴上，可设点的坐标为.‎ 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点.‎ 则，，由，‎ 有，解得或.‎ 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为.‎ 下面证明：对任意的直线，均有.‎ 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，的坐标分别为，.‎ 联立，得.‎ 其判别式，，‎ 所以，.‎ 因此.‎ 易知，点关于轴对称的点的坐标为.‎ 又，，‎ 所以，即三点共线.‎ 所以.‎ 故存在与点不同的定点，使得恒成立.‎ ‎ 5.（2016北京理19）已知椭圆的离心率为，，‎ ‎，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值.‎ ‎5.解析 可先作出本题的图形：‎ ‎（1）由题设，可得 解得.所以椭圆的方程是.‎ ‎（2）解法一：设椭圆上一点，则.‎ ‎(i) 当时，直线. ‎ 令，得.所以.‎ 直线.令，得，所以.‎ 所以 将代入上式得，故为定值.‎ ‎(ii) 当时，，，，所以.‎ 综上所述，为定值.‎ 解法二：可设，再求得，‎ 所以 ‎.‎ 评注 同第（2）问的解法，还可证得以下结论：‎ 若点在椭圆上，椭圆的右顶点、上顶点分别是，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则.‎ 题型130 最值问题——暂无 ‎1.（2013广东理20）‎ 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为 设 为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎(3) 当点在直线上移动时，求的最小值.‎ ‎2.（2014 浙江理 21）(本题满分15分)‎ 如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.‎ （1） 已知直线的斜率为，用表示点的坐标；‎ （2） 若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.‎ ‎3.（2014 福建理 9）设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.（2014 山东理 21）（本小题满分14分）‎ ‎ 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，当点的横坐标为时，为正三角形.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线，且和有且只有一个公共点，‎ ‎ （i）证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ （ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎5.（2014 四川理 20）已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点.‎ ‎（i）证明：平分线段（其中为坐标原点）；‎ ‎（ii）当最小时，求点的坐标.‎ ‎6. （2107浙江21）如图所示，已知抛物线.点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为.‎ ‎（1）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎6.解析 （1）设直线的斜率为，已知，，则.‎ 因为，所以，所以直线斜率的取值范围是.‎ ‎（2）因为直线，且，所以直线的方程为，联立直线与的方程，解得点的横坐标是.‎ 因为，，，所以，‎ 令，‎ 因为，当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值.‎