【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第五章24平面向量的数量积作业 7页

‎【课时训练】平面向量的数量积 一、选择题 ‎1．(2018北师大附中模拟)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－1‎ C．x＝5 D．x＝0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由a·b＝0可求得x＝0.‎ ‎2．(2018杭州模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|·cos 60°＝4＋4＋2×2×2×＝12，‎ ‎∴|a＋b|＝2.‎ ‎3．(2018山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　　)‎ A．－ B．－ C． D． ‎【答案】D ‎【解析】∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，‎ ‎∴sin〈a，b〉＝＝.‎ ‎4．(2018北京昌平第二次统考)如图，在△ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·＝(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎【解析】若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝ ·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.故选B.‎ ‎5．(2018驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】因为(－)·(＋－2)＝0，‎ 所以·(＋)＝0.因为－＝，‎ 所以(－)·(＋)＝0，即||＝||.‎ 所以△ABC是等腰三角形．故选C.‎ ‎6．(2018南宁二次适应性测试)线段AD，BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC，AC边上的高，则·＝(　　)‎ A．－ B． C．－ D． ‎【答案】A ‎【解析】由等边三角形的性质，得||＝||＝，〈，〉＝120°，所以·＝||·||cos〈，〉＝××＝－.故选A.‎ ‎7．(2018陕西宝鸡三模)若△ABC外接圆的圆心为O，半径为4，＋2＋2＝0，则在方向上的投影为(　　)‎ A．4 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，OD，则由平面向量的加法的几何意义，得＋＝2.‎ 又由条件，得＋＝－＝，‎ 所以2＝，即4＝.所以A，O，D共线．‎ 所以OA⊥BC.所以CD为在方向上的投影．‎ 因为||＝||＝4，所以||＝3.‎ 所以||＝ ＝.‎ 二、填空题 ‎8．(2018德州模拟)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)的值为________．‎ ‎【答案】－4‎ ‎【解析】由题意，得AP＝2，PM＝1，所以·(＋)＝·2＝2×2×1×cos 180°＝－4.‎ ‎9．(2018烟台模拟)已知O是边长为1的正三角形ABC的中心，则(＋)·(＋)＝________.‎ ‎【答案】－ ‎【解析】由题意知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，且OA＝OB＝OC＝，所以·＝·＝·＝×cos 120°＝－.故(＋)·(＋)＝＋·＋·＋·＝－.‎ ‎10．(2018荆州二检)在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S∈，则与夹角的取值范围是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由三角形面积公式及已知条件，知 ≤S△ABC＝AB·BCsin B≤，‎ 所以≤AB·BCsin B≤3.①‎ 由·＝3，知AB·BCcos(π－B)＝3，所以AB·BC＝－.‎ 代入①，得≤－≤3，所以－1≤tan B≤－.所以≤B≤.‎ 而与的夹角为π－B，其取值范围为.‎ ‎11．(2018江西白鹭洲中学期末)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由题意可建立如图所示的坐标系，‎ 可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则·＋·＝·(＋)＝22＝4.‎ ‎12．(2018安徽黄山二模)在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．‎ ‎【答案】垂心 ‎【解析】∵·＝·，∴·(－)＝0.∴·＝0，‎ ‎∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．‎ 同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．‎ ‎13．(2019武汉调研)如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则·＝________.‎ ‎【答案】26‎ ‎【解析】解法一：因为·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||·||·cos 180°＋||·||cos 60°＋||·||·cos 60°＋||·||·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.‎ 解法二：以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则M(－2,0)，N(2,0)，C(－3,3)，D(3,3)，所以＝(－1,3)，＝(1,3)，·＝－1＋27＝26.‎ 三、解答题 ‎14．(2018陕西模拟)已知|a|＝4，|b|＝3，(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ；‎ ‎(2)求|a＋b|；‎ ‎(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ ‎【解】(1)因为(‎2a－3b)·(‎2a＋b)＝61，所以4|a|2－‎4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，所以64－‎4a·b－27＝61.所以a·b＝－6.‎ 所以cos θ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝π.‎ ‎(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋‎2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.‎ ‎(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝||||·sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎