【数学】2020届一轮复习人教B版曲线与方程作业 4页

2020 届一轮复习人教 B 版 曲线与方程 作业 1.下列命题正确的是(　　) A.方程 푥 푦 - 2=1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距是 2 的直线 B.△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线 AO 的方程是 x=0 C.到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y=5 D.曲线 2x2-3y2-2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0 解析:选项 A 中直线不过(0,2)点;选项 B 中中线 AO 是线段;选项 C 中轨迹方程应是 y=±5.故选项 A,B,C 都错误,选 D. 答案:D 2.已知 P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)=0 上的一点,P2(x2,y2)是直线 l 外一点,则方程 f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0 表示的直线 l'与直 线 l 的位置关系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.重合 C.垂直 D.斜交 解析:∵点 P1(x1,y1)在直线 l:f(x,y)=0 上, ∴f(x1,y1)=0. ∴f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即 l'为 f(x,y)=-f(x2,y2). 又∵点 P2(x2,y2)在直线 l 外,则 f(x2,y2)=k≠0. ∴l'为 f(x,y)=-k,即 f(x,y)+k=0. 答案:A 3.▱ABCD 的顶点 A,C 的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点 D 在直线 3x-y+1=0 上移动,则顶点 B 满足的方程为(　　) A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0 C.3x-y-12=0 D.3x-y-9=0 解析:设 AC,BD 交于点 P,∵点 A,C 的坐标分别为(3,-1),(2,-3),∴P 点坐标为(5 2, - 2). 设 B 为(x,y),则 D 为(5-x,-4-y), ∵点 D 在直线 3x-y+1=0 上, ∴15-3x+4+y+1=0,即 3x-y-20=0. 答案:A 4.方程 4x2-y2+4x+2y=0 表示的曲线是(　　) A.一个点 B.两条互相平行的直线 C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不垂直的直线 解析:∵4x2-y2+4x+2y=0, ∴(2x+1)2-(y-1)2=0,∴2x+1=±(y-1), ∴2x+y=0 或 2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直. 答案:D 5.已知 A(-1,0),B(1,0),且푀퐴·푀퐵=0,则动点 M 的轨迹方程是(　　) A.x2+y2=1 B.x2+y2=2 C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±2) 解析:设 M(x,y),则푀퐴=(-1-x,-y),푀퐵=(1-x,-y), 由푀퐴·푀퐵=0,得(-1-x)·(1-x)+y2=0, 即 x2+y2=1. 答案:A 6.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 满足的方程的曲线所围成的图形的面积为(　　) A.π B.4π C.8π D.9π 解析:设 P 为(x,y),由|PA|=2|PB|,得 (푥 + 2)2 + 푦2=2 (푥 - 1)2 + 푦2,即(x-2)2+y2=4, ∴点 P 满足的方程的曲线是以 2 为半径的圆,其面积为 4π. 答案:B 7.已知 0≤α<2π,点 P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3 上,则 α 的值为　　　　. 解析:(cos α-2)2+sin2α=3,得 cos α= 1 2, 所以 α= π 3或 5π 3 . 答案: π 3或 5π 3 8.导学号 90074081 已知☉O 的方程是 x2+y2-2=0,☉O'的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向☉O 和☉O'所引的切线长 相等,则动点 P 的轨迹方程是　　　　. 解析:由☉O:x2+y2=2,☉O':(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点 P 向☉O 和☉O'所引的切线与☉O 和☉O'的切点分别为 T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO'|2-6,∴|PO|2-2=|PO'|2-6.设 P(x,y),即得 x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即 x= 3 2. 答案:x= 3 2 9. 如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解圆 F1:(x+5)2+y2=1,圆心 F1(-5,0),半径 r1=1. 圆 F2:(x-5)2+y2=42,圆心 F2(5,0),半径 r2=4. 设动圆 M 的半径为 R, 则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|. ∴点 M 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的左支,且 a= 3 2,c=5,于是 b2=c2-a2= 91 4 . ∴动圆圆心 M 的轨迹方程为 푥2 9 4 ― 푦2 91 4 =1(푥 ≤ - 3 2). 10.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,l1 交 x 轴于点 A,l2 交 y 轴于点 B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解法一如图,设点 M 的坐标为(x,y). ∵M 为线段 AB 的中点, ∴点 A 的坐标为(2x,0),点 B 的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1,l2 过点 P(2,4), ∴PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1. 而 kPA= 4 - 0 2 - 2푥 = 2 1 - 푥(x≠1),kPB= 4 - 2푦 2 - 0 =2-y, ∴ 2 1 - 푥· 2 - 푦 1 =-1(x≠1). 整理,得 x+2y-5=0(x≠1). ∵当 x=1 时,A,B 的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段 AB 的中点坐标是(1,2),也满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0. 解法二如图,设 M 的坐标为(x,y),则 A,B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接 PM. ∵l1⊥l2, ∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= (푥 - 2)2 + (푦 - 4)2, |AB|= (2푥)2 + (2푦)2, ∴2 (푥 - 2)2 + (푦 - 4)2 = 4푥2 + 4푦2, 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程. 解法三如图,设点 M 的坐标为(x,y),连接 PM,OM.由 l1⊥l2,知 A,O,B,P 四点共圆,AB 为圆的直径,M 为圆心,则有 |OM|=|MP|. ∴ 푥2 + 푦2 = (푥 - 2)2 + (푦 - 4)2. 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程.