重庆一中2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 含解析 9页

‎2019-2020学年重庆一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（9月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 两条直线和之间的距离为 A. B. C. D. ‎ 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. ‎ 3. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则 A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ 4. 已知点在圆外，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 5. 直线与椭圆的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随着m的取值变化而变化 6. 方程表示的曲线是 A. 一个点 B. 两个点 C. 两条直线 D. 两条射线 7. 若双曲线的渐近线与圆没有公共点，则C的离心率的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 8. 直线与椭圆相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为 A. B. C. D. ‎ 9. 已知，，从点射出的光线经x轴反射到时直线AB上，又经过直线AB反射回到时P点，则光线所经过的路程为 A. B. ‎6 ‎C. D. ‎ 10. 设椭圆与双曲线有公共的焦点，，点P是与的一个公共点，则的值为 A. B. C. D. ‎ 11. 已知为奇函数，当时，为偶函数，当时，，若对任意实数a，不等式恒成立，则实数b的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 12. 已知F为椭圆C：的左焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小值为 A. 4 B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为______．‎ 14. 已知点是抛物线C：上一点，F是C的焦点，则______．‎ 15. 设为锐角，若，则______．‎ 16. 在中，角A为钝角，，，AD为BC边上的高，已知，则y的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 17. 设的三个内角分别为A，B，向量与共线． Ⅰ求角C的大小； Ⅱ设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，试判断的形状． ‎ 1. 已知圆和相交于A，B两点． 求直线AB的方程，并求出； 在直线AB上取点P，过P作圆的切线为切点，使得，求点P的坐标． ‎ 2. 已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，且的周长为． 求双曲线C的方程； 已知直线，点P是双曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． ‎ 3. 设椭圆的左右焦点分别为，，在椭圆L上的点满足，且，，成等差数列． 求椭圆L的方程； 过点A作两条倾斜角互补的直线，，它们与椭圆L的另一个交点分别为B，C，试问直线BC的斜率是否是定值？若是，求出该斜率；若不是，请说明理由． ‎ 4. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的一个动点，点Q在直线AB上，满足为坐标原点． 求点Q的轨迹方程； 求四边形OAPB的面积S的最大值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：直线方程转换为， 所以两平行线间的距离， 故选：A． 直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：抛物线的方程化为：，可得， 准线方程为． 故选：D． 抛物线的方程化为：，可得，即可得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，各项都是正数的数列是等比数列， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B． 各项都是正数的数列是等比数列，，所以，进而得到数列的通项公式，即可求出． 本题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，对数运算等，比较基础． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：圆，配方为：． 解得． 可得圆心，半径． 点在圆外， ． 解得． 故选：B． 圆，配方为：解得m范围．可得圆心，半径由于点在圆外，可得，即可得出． 本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、不等式的解法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由线，得， 联立，解得． 直线过定点， 代入，有． 点在椭圆的内部， 则直线与椭圆的位置关系是相交． 故选：C ‎． 由直线系方程求出直线所过定点，判断定点在椭圆内部，可得直线与椭圆相交． 本题考查直线系方程的应用，考查直线与椭圆的位置关系的判定，是基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意方程可化为或， 即或． 方程表示的曲线是两条射线． 故选：D． 将方程等价变形，即可得出结论． 本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 7.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用． 【解答】 解：双曲线渐近线为与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即 ，， ． 故选A． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力，属于基础题． 直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出A，B坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可． 【解答】 解：由，得：； 设，， 可得， 可得． 设弦AB的中点为， 可得， 可得， 故选：D． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：直线AB的方程为：． 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，则，， 联立解得，． ， 光线所经过的路程． 故选：D ‎． 直线AB的方程为：点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，可得，， 联立解得a，可得光线所经过的路程 本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由椭圆方程可知：，， 由双曲线性质可得：，故， 不妨设P在第一象限， 由椭圆定义可知：， 由双曲线的定义可知：， ，，又， ． 故选：A． 根据焦点坐标得出双曲线方程，求出的边长，利用余弦定理计算的值． 本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理，属于中档题． 11.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当为奇函数，当时，， 当时，， 为偶函数，当时，， 当时，， 分别画出黑色所示，的图象红色所示 对任意实数a，不等式恒成立， 结合图象可得b的范围为 故选：B． 分别求函数，的解析式，并画出图象，结合图象可得b的范围． 本题考查了函数的奇偶性和函数图象的画法和函数图象的应用，属于中档题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，面积公式的应用，考查换元法与设而不求法的运用，属于中档题．  先计算斜率为0时对应的四边形的面积，再设斜率为k，利用弦长公式计算，，得出四边形的面积关于k的函数，利用换元法求出面积的最小值得出结论．【解答】 解：椭圆的左焦点为． 当直线斜率为0时，直线的方程为， 或当直线斜率为0时，直线的方程为， 把代入椭圆方程得， 四边形ADBE 的面积为． 当直线有斜率且斜率不为0时，设直线的方程为， 直线的方程为． 联立方程组，消元得：， 设，，则，， ， 用替换k可得， 四边形ADBE的面积为， 令，则， 当即时，S取得最小值． 综上，四边形ABDE的面积的最小值为． 故选C． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为， 把点P坐标代入可得：，解得． 要求的直线方程为：， 故答案为：， 设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为，把点P坐标代入可得：，解得m． 本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14.【答案】5 ‎ ‎【解析】解：点是抛物线C：上一点， 可得，解得， 由抛物线的定义可得：． 所以． 故答案为：5． 求出P的坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：为锐角， ． 又， ， ， 故答案为： 同角三角函数的基本关系取得，再利用二倍角公式求得的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设， 由题意可知，， 由，可得， ，，， ， ， ， ， 为钝角， ， ， 解可得， 故答案为： 设，结合向量加法的几何意义可表示，从而可得，然后结合，及向量数量积的运算及行政科求 ，由A为钝角，可知，解不等式可求 本题主要考查了平面向量加法，减法的几何意义，共线定理及向量数量积的运算性质，数量积的运算公式及分离常数求解变量范围，属于知识的综合应用． 17.【答案】本题满分为12分 解：Ⅰ与共线， 分 解得：， ，， 解得   分 Ⅱ由已知 根据余弦定理可得：，分 联立解得：，， 解得：，， 所以为等边三角形，分 ‎ ‎【解析】Ⅰ由向量与共线，可得，解得，结合范围，可求C的值． Ⅱ由已知 根据余弦定理可得，，解得：，，可得为等边三角形． 本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查． 18.【答案】解：由两圆方程相减即得方程为，此为公共弦AB所在的直线方程； 圆心，半径； 到直线AB的距离为， 公共弦长； 在直线AB上取点P，过P作圆的切线为切点，使得， 则圆的标准方程为，则圆心，半径， ，， ， 设， 则， 则，即， 得或， 此时点P的坐标为或． ‎ ‎【解析】利用两圆方程作差得到公共弦方程，结合弦长公式进行计算即可． 求出圆的标准方程，利用切线长公式建立方程进行求解即可． 本题主要考查圆与圆关系的应用，以及公共弦，切线长公式的应用，求出圆的标准方程，以及建立方程关系是解决本题的关键． 19.‎ ‎【答案】解：由题得，所以，，又，所以，，， 因为的周长为， 所以， 又因为， 得， 即，解得，， 所以曲线C的方程为：． 设与直线平行且与C相切的直线方程为， 由得，则，解得． 因为，所以当时d取最小值为 ‎ ‎【解析】根据题意可得，，根据周长可得，结合，求得解得，，所以曲线C的方程为：． 求出与l平行且与C相切的直线，利用平行直线间距离公式可得最小值． 本题考查双曲线标准表达式求法，点到直线距离求法等，属于中档题． 20.【答案】解：由，，成等差数列，得， 即， 又， ，即， 联立，解得，． ． 椭圆L的方程为； 取，得，， 直线，的倾斜角互补，直线，的斜率互为相反数． 可设直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得， 设，，点在椭圆上， ，， ， 又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数，在上式中以代替k，可得， ， 直线BC的斜率． 故直线BC的斜率为，是定值． ‎ ‎【解析】由已知，，成等差数列，，由结合焦半径公式可得，进一步求得，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求； 由求得A点坐标，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立求得B的坐标，同理求解C的坐标，再由斜率公式可得直线BC的斜率为，是定值． 本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线经过定点问题、椭圆的标准方程及其性质、考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.【答案】解：设，； 由有：； 又点P在椭圆C上，则，即； 所以点Q的轨迹方程：； 设，，由有； 有：； 则，； 又直线l与椭圆 有公共点； 所以  有： ，即； 设 ‎ ‎； 当时，即 时，有最大值4； 故S有最大值12． ‎ ‎【解析】由条件用Q点坐标表示出P点坐标，再代入椭圆方程得到Q点的轨迹方程； 由Q的轨迹与直线l有交点，求出k，m的不等关系，由有，求出的表达式，用k，m的不等关系来求其最大值． 本题考查轨迹方程的求法，多边形的面积，直线与椭圆的位置关系，考查了相关点法求轨迹，转化的思想，属于难题． ‎