【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题作业 6页

课时跟踪检测（三十四） 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．(2018·江阴期中)不等式组所表示的平面区域的面积是________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中△ABC所示．‎ 由得即A(－1,1)．‎ 由得即B(3,5)．‎ 由得即C(3，－3)．‎ 则BC＝5－(－3)＝8，点A到直线x＝3的距离d＝3－(－1)＝4，‎ 故S△ABC＝×8×4＝16.‎ 答案：16‎ ‎2．(2018·南京、盐城一模)已知实数x，y满足则目标函数z＝x－y的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线y＝x，则当目标函数y＝x－z过点C(1,4)时，zmin＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎3．(2019·泰州中学高三学情调研)已知点P(x，y)满足则z＝的最大值为________．‎ 解析：作出满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．z＝表示过平面区域的点(x，y)与(0,0)的直线的斜率，由图知当直线过点A时斜率最大，由得A(1,3)，显然直线过点A(1,3)时，z取得最大值，zmax＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2019·四川德阳月考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最大值为________．‎ 解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分，‎ 由解得则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x＋.‎ 由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23.‎ 答案：23‎ ‎5．(2018·昆山期中)若点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为直线y＝－2x＋2下方的点的坐标满足不等式y＜－2x＋2，又点(a,1)在直线y＝－2x＋2的下方，所以1＜－2a＋2，解得a＜.‎ 答案： ‎6．(2018·昆明七校调研)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．‎ 解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.‎ 答案：－8‎ 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2018·苏州期末)已知实数x，y满足则目标函数z＝2x－y的最大值是________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 作出直线2x－y＝0，平移直线2x－y＝0，当直线过点A时，z＝2x－y取得最大值，‎ 联立得A(3,1)，所以zmax＝5.‎ 答案：5‎ ‎2．(2019·宿迁调研)已知点P(x，y)在不等式组所表示的平面区域内运动，则 的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.的几何意义是可行域内的点与坐标原点O的距离，由图知，点O(0,0)到直线x＋2y－2＝0的距离是的最小值，其最小值为＝.‎ 答案： ‎3．(2018·徐州二模)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中△ABC所示，解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，又直线y＝kx＋过点C且把△ABC的面积平分，所以直线y＝kx＋过AB的中点D，所以k＝＝.‎ 答案： ‎4．(2018·湖南东部六校联考)实数x，y满足(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a＝______.‎ 解析：如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝.‎ 答案： ‎5．(2019·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如表：‎ 维生素A(单位/kg)‎ 维生素B(单位/kg)‎ 甲 ‎3‎ ‎5‎ 乙 ‎4‎ ‎2‎ 分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A，B的含量分别不低于100,120单位，则混合物质量的最小值为________kg.‎ 解析：由题意，设混合物中甲为x kg，乙为y kg，混合物为z＝x＋y，‎ 则得约束条件作出其平面区域如图所示，‎ 平移直线x＋y＝0，可知当直线经过点A时，z取得最小值．‎ 由解得x＝20，y＝10，即A(20,10)，所以zmin＝x＋y＝30.‎ 答案：30‎ ‎6．已知实数x，y满足约束条件则z＝5－(x2＋y2)的最大值为________．‎ 解析：作出满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，求目标函数z＝5－(x2＋y2)的最大值，即求的最小值．由几何意义知就是求可行域内的点P(x，y)到原点距离的最小值．易知点O到直线x＋y－3＝0的距离最短，为，所以zmax＝5－2＝.‎ 答案： ‎7．(2019·靖江模拟)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，将z＝y－ax化为y＝ax＋z，z相当于直线y＝ax＋z的纵截距，‎ 由题意可得，当y＝ax＋z与2x－y＋2＝0或与x＋y－2＝0平行时符合题意，故a＝2或－1.‎ 答案：2或－1‎ ‎8．(2018·启东中学测试)已知变量x，y满足约束条件若≤恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，表示区域内的点(x，y)与定点A(2,0)连线的斜率k，由图易知BC与y轴重合时，|k|≤kAC＝，此时a＝0，当BC向右移动时，|k|≤kAC＜，此时a≤1，综上，a∈[0,1]．‎ 答案：[0,1]‎ ‎9．已知x，y满足条件 ‎(1)求u＝x－2y的最大值和最小值；‎ ‎(2)求z＝的最大值和最小值．‎ 解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ ‎(1)由得点B的坐标为(－1，－6)，‎ 由得点C的坐标为(－3,2)，‎ 平移直线u＝x－2y可知，直线过C点时，z取最小值，过B点时，z取最大值．‎ 所以umin＝－3－2×2＝－7，umax＝－1－2×(－6)＝11.‎ ‎(2)z＝＝，求z的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x，y)与点(－5,0)连线斜率k的最大值和最小值．设点M的坐标为(－5,0)，‎ 由(1)知点B的坐标为(－1，－6)，点C的坐标为(－3,2)，‎ 所以kmax＝kMC＝＝1，‎ kmin＝kMB＝＝－，‎ 所以的最大值是1，最小值是－.‎ ‎10．(2019·苏北四市调研)已知x，y满足约束条件求：‎ ‎(1)z＝x＋2y－4的最大值；‎ ‎(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；‎ ‎(3)z＝的取值范围．‎ 解：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，并求出顶点坐标分别为A(3,1)，B(1,3)，C(7，9)．‎ ‎(1)作出直线x＋2y＝0，平移该直线，当直线经过点C时，‎ z取得最大值，zmax＝7＋2×9－4＝21.‎ ‎(2)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，‎ 由图知点M到直线x－y＋2＝0的距离的平方为所求z的最小值，‎ 所以zmin＝2＝.‎ ‎(3)z＝＝2·的几何意义是可行域内的动点P(x，y)与定点D连线斜率的2倍．‎ 由图象可知，kDB＝，kDA＝，‎ 即≤k≤，‎ 所以≤z≤，‎ 故z的取值范围是.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·无锡期末)已知变量x，y满足目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为________．‎ 解析：作出不等式组满足的可行域如图中阴影部分所示，‎ 作出直线3x＋y＝0，平移该直线，当直线经过点A时，z取得最小值．‎ 联立解得A(2，－1)，代入y＝2x－c，得c＝5.‎ 答案：5‎ ‎2．(2018·南通调研)已知变量x，y满足若z＝x2＋y2，则z的取值范围是________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 联立得C(1,1)．‎ 联立得B(5,2)．‎ z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝，dmax＝OB＝，故z的取值范围是[2,29]．‎ 答案：[2,29]‎ ‎3．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？‎ 解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，‎ 则 目标函数为z＝3x＋2y，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．‎ 把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．‎ 由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．‎ 由得A，所以zmin＝3×＋2×3＝.‎ 所以当使用甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)时，费用最省．‎