2013-2017高考数学分类汇编-文科 第六章 数列 第1节 等差数列与等比数列 18页

第六章 ‎ 数列 第1节 等差数列与等比数列 题型70 等差、等比数列的通项及基本量的求解 ‎1. (2013安徽文7）设为等差数列的前项和，，，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 借助等差数列前项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到的值.‎ 解析 由等差数列性质及前项和公式，得，所以.‎ 又，所以公差，所以.故选A.‎ 2. ‎（2013辽宁文14）已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方 ‎ 程的两个根，则 .‎ 2. 解析：因为，是方程的两个根，且数列是递增的等比数列，所 ‎ 以，，，所以.‎ ‎3. （2013四川文16）在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和.‎ ‎3．分析 由已知列出两个含和的方程并求解，再借助等比数列求和公式得．‎ 解析 设该数列的公比为．‎ 由已知，得所以解得（舍去）‎ 故首项，公比.所以数列的前项和.‎ ‎4. （2013山东文20）设等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，，求数列的前项和．‎ ‎4.分析 （1）由于已知是等差数列，因此可考虑用基本量表示已知等式，进而求 出的通项公式.（2）先求出，进而求出的通项公式，再用错位相减法求的 前项和.‎ 解析 （1）设等差数列的前项为，公差为.‎ 由，，得 解得因此.‎ ‎（2）由已知，‎ 当时，；‎ 当时，.所以.‎ 由（1）知，所以.‎ 所以.‎ ‎.‎ 两式相减，得，所以.‎ ‎5.（2013浙江19）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列. ‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求 ‎ 5.分析 （1）用把表示出来，利用成等比数列列方程即可解出，‎ ‎ 进而根据等差数列的通项公式写出.（2）根据（1）及确定数列的通项公式，确定 ‎ ‎ 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对的取值范围进行分类讨论.‎ 解析（1）由题意得，，由，为公差为的等差数列得，‎ ‎，解得或.所以或.（2）设数列的前项和为.‎ 因为，由（1）得，，所以当时，‎ ‎；‎ 当时，.‎ 综上所述，‎ ‎6.（2014重庆文2）在等差数列中，，则（ ）.‎ ‎ ‎ ‎7.（2014江苏7）在各项均为正数的等比数列中，，，则的值是 ．‎ ‎8.（2014新课标Ⅰ文17）（本小题满分12分）‎ 已知是递增的等差数列，，是方程的根.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎9. （2014山东文19）（本小题满分12分）‎ 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，记，求.‎ ‎10.（2014福建文17）（本小题满分12分）‎ 在等比数列中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎11.（2014浙江文19）已知等差数列的公差，设的前项和为，，.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）求的值，使得.‎ ‎12.（2015北京文5）执行如果所示的程序框图，输出的值为（ ）.‎ A.3 B. 4 ‎ C.5 D.6‎ ‎12.解析 解法一:执行程序框图，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 输出.故选B.‎ 解法二：由算法图知是一个以3为首项，为公比的等比数列，即，解得.‎ ‎13.（2015全国文7）已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎13.解析 解法一：由，，知，‎ 解得.所以.故选B.‎ 解法二：由，即，可得.‎ 又公差，所以，即，解得.‎ 则.故选B.‎ ‎14.（2015全国1文13）在数列中，，为的前n项和.若，则 .‎ ‎14.解析 由，得，即数列是公比为的等比数列.‎ ‎，得.‎ ‎15.（2015全国Ⅱ文9）已知等比数列满足，，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎15.解析 由等比数列的性质得，即，则 .所以有，‎ 所以.故 .故选C.‎ ‎16.（2015陕西文13）中位数为的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的 首项为________.‎ ‎16.解析 若这组数有个，则，，又，‎ 所以；若这组数有个，则，，‎ 又，所以.‎ ‎17.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和.若，，则的值是 .‎ ‎17.20解析 设公差为，则由题意可得，解得，则.‎ ‎18.（2016全国甲文17）等差数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和，其中表示不超过的最大整数，如，.‎ ‎18.解析 （1），解得，所以（）.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎19.（2017江苏9）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则 ．‎ ‎19.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得．‎ 又，得，所以．故填． ‎ 解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即 ‎．下同解法一．‎ ‎20.（2017全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并判断，，是否成等差数列.‎ ‎20.解析 （1）由题意设等比数列的首项为，公比为，‎ 则，从而，即，‎ 整理得，因此，所以，‎ 数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因此 ‎．‎ 所以，，成等差数列．‎ ‎21.（2017全国2文17）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎21.解析 (1)设的公差为，的公比为.‎ 由等差数列、等比数列的通项公式可得，解得，‎ 故的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)及已知得，解得或.‎ 所以或. ‎ ‎22.（2017北京文15）已知等差数列和等比数列满足，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求和：．‎ ‎22解析 （1）设的公差为， ，所以，所以.‎ （2） 设的公比为，=，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.‎ 题型71 等差、等比数列的求和问题的拓展 ‎1.（2013广东文11） 设数列是首项为，公比为的等比数列，则 ．‎ ‎1.分析 由首项和公比写出等比数列的前项，然后代入代数式求值.也 可以构造新数列，利用其前项和公式求解.‎ 解析 方法一：.‎ 方法二：因为，数列是首项为，公比为的等比数列，故所求代数式的值为.‎ ‎2.（2015安徽理13） 已知在数列中，，，则数列的 前9项和等于 .‎ ‎2.解析 由题意可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以.又满足上式，所以，‎ 所以.所以.‎ 题型72 等差、等比数列的性质及其应用 ‎1. （2013辽宁文4 ）下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ 数列是递增数列； 数列是递增数列；‎ 数列是递增数列；数列是递增数列；‎ 其中的真命题为 A. B. C. D. ‎ ‎1.分析 根据等差数列的性质判定.‎ 解析 因为，所以，所以是真命题．因为，但是的符号不知道，所以是假命题.同理是假命题．‎ 由，所以是真命题．故选D.‎ 2. ‎（2013江西文12）某住宅小区计划植树不少于棵，若第一天植棵，以后每天植树 ‎ 的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数（）等于 .‎ ‎2.解析 每天植树的棵数构成以为首项，为公比的等比数列，其前项和 ‎.由，得.由于，‎ 则，即.‎ 3. ‎（2013江苏14） 在正项等比数列中，，，则满足 ‎ 的最大正整数的值为 .‎ 3. 分析 首先由已知条件求出的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的 ‎ 两边求出，用表示，得到关于的不等式，然后对不等式进行转化，求得的取值范围并 ‎ ‎ 进行估算和验证，从而得到的最大值.‎ 解析 设的公比为，则由已知可得解得 于是，.‎ 由可得，整理得.‎ 由可得，即，‎ 解得，即，可以验证当时满足，时不满足，故的最大值为12.‎ ‎4.(2013重庆文12） 若成等差数列，则 .‎ ‎4.分析 利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解.‎ 解析 由题意得该等差数列的公差，所以.‎ ‎5. (2013陕西文17）设表示数列的前项和.‎ ‎（1）若是等差数列，推导的计算公式；‎ ‎（2）若，且对所有正整数，有.判断是否为等比数列，并证明你的结论.‎ ‎5.分析 利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行.‎ 解析 （1）方法一：设的公差为，则 ‎.‎ 又，所以，所以 ‎．‎ 方法二：设的公差为，则 ‎．‎ 又,‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）是等比数列.证明如下：‎ 因为，所以．‎ 因为，，所以当时，有.‎ 因此，是首项为且公比为的等比数列．‎ ‎6.（2014辽宁文9）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.（2014陕西文8）原命题为“若，则为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）. ‎ A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 ‎8. （2014广东文13）等比数列的各项均为正数，且，则 ‎ ‎________.‎ ‎9.（2014江西文13）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围是 .‎ ‎10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）‎ 的内角所对的边分别为.‎ ‎（1）若成等差数列，求证：；‎ ‎（2）若成等比数列，且，求的值. ‎ ‎11.（2015广东文13）若三个正数，，成等比数列，其中，，‎ 则 ．‎ ‎11.解析 因为三个正数，，成等比数列，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎12.（2015全国Ⅱ文5） 设是等差数列的前项和，若，则（ ）.‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.解析 由已知，则，.‎ 又因为 .故选A.‎ ‎13.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．‎ ‎（1）证明：等差数列是“数列”；‎ ‎（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．‎ ‎13.解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，‎ 从而当时，‎ ‎，，‎ 所以，因此等差数列是“数列”．‎ ‎（2）由数列既是“数列”，又是“数列”，‎ 因此，当时， ①‎ 当时， ②‎ 由①知， ③‎ ‎ ④‎ 将③④代入②，得，其中，‎ 所以是等差数列，设其公差为．‎ 在①中，取，则，所以，‎ 在①中，取，则，所以，从而数列是等差数列．‎ 评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．‎ ‎（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列．‎ ‎（1）若数列是“型”数列，且，，求；‎ ‎（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列．‎ 解析 （1）由题意得，成等比数列，‎ 且公比，所以．‎ ‎（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， ‎ 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；‎ 成等比数列，设公比为；‎ 成等比数列，设公比为； ‎ 则，，，‎ 所以，不妨令，则． ‎ 所以，，‎ 所以，‎ 综上，从而是等比数列．‎ 题型73 判断或证明数列是等差、等比数列 ‎1.（2014江苏20）设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．‎ ‎（1）若数列的前项和 ，求证：是“数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若 是“数列”，求的值；‎ ‎（3）求证：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．‎ ‎2.（2015广东文19）设数列的前项和为，．已知，，，‎ 且当时，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证：为等比数列；‎ ‎（3）求数列的通项公式．‎ ‎2.解析 （1）当时，，‎ 即，解得.‎ ‎（2）因为（），‎ 所以（），‎ 即（），亦即，‎ 则.‎ 当时，，满足上式.‎ 故数列是以为首项，公比为的等比数列.‎ ‎（3）由（2）可得，即，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，即，‎ 所以数列的通项公式是.‎ ‎3.（2015湖南文19）设数列的前项和为，已知，，‎ 且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求.‎ ‎3.解析（1）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，‎ 又，所以，故对一切，.‎ ‎（2）由（I）知，，所以，于是数列是首项，公比为的等比数列，数列是首项，公比为的等比数列，所以，‎ 于是 ‎，‎ 从而，‎ 综上所述，.‎ ‎4.（2015湖南文21）函数，记为的从小到大的第个极值点.‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）若对一切恒成立，求的取值范围.‎ ‎4.解析（1），‎ 令，由，得，即，‎ 若，即，则；‎ 若，即，则.‎ 因此，在区间与上，的符号总相反，‎ 于是当时，取得极值，所以，‎ 此时，，易知，‎ 而是常数，‎ 故数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎（2）对一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因为）.‎ 设，则，令得，‎ 当时，，所以在区间上单调递减；‎ 当时，，所以在区间上单调递增；‎ 因为，且当时，，‎ 所以，‎ 因此恒成立，当且仅当，解得，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎5.（2016浙江文8）如图所示，点列分别在某锐角的两边上，且， (表示点与不重合) .若，为的面积，则（ ）.‎ A .是等差数列 B.是等差数列 ‎ C.是等差数列 D.是等差数列 ‎5.A解析 设点到对面直线的距离为，则.由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么，由题目中条件知，则.所，其中为定值，所以为等差数列.故选A.‎ ‎6.（2017全国1文17）记为等比数列的前项和.已知，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并判断，，是否成等差数列.‎ ‎6.解析 （1）由题意设等比数列的首项为，公比为，‎ 则，从而，即，‎ 整理得，因此，所以，数列的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因此 ‎．‎ 所以，，成等差数列．‎