【数学】2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与 性质 课时作业 15页

‎2020届一轮复习人教A版 相似三角形的判定与 性质 课时作业 ‎ 1、如图，，已知，则（ ）．‎ A．12 B．14 C．16 D．18 2、如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DFDB＝________.‎ ‎ 3、如图，平行四边形中，‎ ‎（Ⅰ）求与的周长比；‎ ‎（Ⅱ）如果的面积等于，求的面积.‎ ‎4、如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.‎ ‎（1）证明：△ABE∽△ADC；‎ ‎（2）若的面积，求的大小.‎ ‎5、如图，已知、是圆的两条弦，且是线段的垂直平分线，已知，，求线段的长度．‎ ‎6、如图，是⊙的直径，过点作⊙的切线，交⊙于点，的延长线交于点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，求和的长.‎ ‎7、是等腰直角腰上的中线，于点，延长交于点，于点，与交于点.‎ ‎（1）求证：≌；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎8、如图，AB是⊙的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.‎ 求证：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）AB2=BEBD-AEAC.‎ ‎9、如图，半圆的直径的长为，点平分，过作的垂线交于，交于．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若平分，求的长．‎ ‎10、如图,已知直线与圆切于点，直线过圆心，且与圆交于点，若.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若的平分线与交于点，与圆的另一个交点为，求.‎ ‎11、如图，是以为直径的半圆上两点，且弧弧.‎ ‎（1）若，证明：直线平分；‎ ‎（2）作交于，证明：.‎ ‎12、如图，正方形边长为，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．‎ ‎（1）求证：为的中点；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎13、在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎14、三棱锥中， ,,是边长为的等边三角形，则三棱锥的外接球球心到平面的距离是 ；‎ ‎15、如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长 ‎16、如图，过圆外一点作圆的两条切线，其中为切点，为圆的一条直径，连并延长交的延长线于点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎17、如图，是⊙的切线，是⊙的割线，，连接，分别于⊙交于点，点.‎ ‎（Ⅰ）求证：∽；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎18、如图，设是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．‎ ‎19、如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点，‎ ‎（1）求证：ADOC；‎ ‎（2）若⊙O的半径为，求ADOC的值.‎ ‎20、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.‎ 参考答案 ‎1、答案：C ‎∵，∴，∴，即，∴．‎ 考点：相似三角形.‎ ‎2、答案：5‎ 显然，由相交弦定理得，所以在直角三角形中由射影定理得．‎ 考点：相交弦定理，射影定理．‎ ‎3、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，即可得出△AEF和△CDF周长比；（2）根据两个三角形相似，知道这两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，根据△AEF的面积等于6，得到△CDF的面积等于54，△ADF的面积为：18，进而得出的面积 试题在和中，‎ 所以周长比为 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 4、答案：（1）详见解析；（2）∠BAC＝90°‎ 试题分析：（1）由已知条件并结合同弧所对的圆周角相等可得出∠BAE＝∠CAD和∠AEB＝∠ACD，进而得出所证的结果；（2）由（1）知△ABE∽△ADC，由相似三角形的性质可得对应线段成比例，再由的面积可得sin∠BAC的值，进而得出所求的大小.‎ 试题（1）证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角.‎ 所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.‎ ‎（2）解因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，‎ 故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE，则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.‎ ‎【考点】1.相似三角形;2.圆 ‎ ‎5、答案：‎ 试题分析：连接，设相交于点，，然后利用已知条件推出是圆的直径，再利用射影定理求出的值，从而利用相交弦定理求解即可．‎ 试题连接，设相交于点，，∵是线段的垂直平分线，‎ ‎∴是圆的直径，，‎ 则，．‎ 由射影定理得，‎ 即有，解得（舍）或 ‎∴，即．‎ 考点：1、直径的性质；2、射影定理；3、相交弦定理． 6、答案：（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）依据题设运用三角形的相似推证；（2）借助题设条件运用圆幂定理求解.‎ 试题 ‎（1）连结.‎ ‎∵是⊙的切线，‎ ‎∴,‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴,‎ ‎∵,∴∽.‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）由（1）得，∴.‎ ‎∵是⊙的直径，是⊙的切线，∴.‎ ‎∴‎ ‎∴，解得，∴.‎ ‎∴‎ 由切割线定理知，∴.‎ 考点：相似三角形的性质和圆幂定理等有关知识的综合运用． 7、答案：（1）详见解析（2）详见解析 试题分析：（1）证明三角形全等，先确定证明方向，本题为一边两角，两个直接条件，，第三个条件要用到为的余角（2）分析法：若，而，，因此须证≌，显然可替代另一组角：‎ 试题（1），‎ ‎，‎ ‎（的余角），‎ ‎∴≌.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴≌，‎ ‎∴.‎ 考点：三角形全等 8、答案：试题分析：（Ⅰ）通过证明、、、四点共圆，可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）及∽得，即，由此可得.‎ 试题（Ⅰ）连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°‎ 则A、D、E、F四点共圆 ‎∴∠DEA=∠DFA ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BD？BE=BA？BF 又△ABC∽△AEF ‎∴‎ 即：ABAF=AEAC ‎∴BEBD-AEAC=BABF-ABAF=AB(BF-AF)=AB2‎ 考点：相似三角形的判定． 9、答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ 试题分析：（Ⅰ）利用点平分，可得，，，进而得到．即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由平分，可得，可得，于是，，即可得出．‎ 试题（Ⅰ）证明：点平分，，．．‎ 连结，则，又，，‎ 又，，，‎ ‎．又，，即．‎ ‎（Ⅱ）平分，，，，‎ 由（Ⅰ）得，．‎ 连接，则为等边三角形，‎ ‎，．‎ 考点：相似三角形的判定和性质 10、答案：(1)；(2)．‎ 试题分析：（1）利用，可得，结合，即可求的大小；（2）由切割线定理可得，求出，由角平分线性质可得可得，，利用相交弦定理，即可求．‎ 试题（1）∵是圆的切线，∴由弦切角定理可得.‎ 又,∴∴，即，‎ 故，又为圆的直径，∴‎ ‎∴=，又,∴；（6分）‎ ‎（2）由切割线定理可得，即,∴，故，由角平分线性质可得,∴，由相交弦定理可得.（10分）‎ 考点：本题考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质、相交弦定理，考查学生的计算能力. 11、答案：详见解析．‎ 试题分析：（1）首先由已知易得，然后根据等弧所对的圆周角相等可得，进而得出证明；（2）由为直径可得，再结合已知可得，进而可得，于是得出∽，最后得出所证的结果即可.‎ 试题（1）由题设可知，，因为弧弧，所以，‎ 从而，因此，平分.‎ ‎（2）由知，，因为为直径，所以，从而，又因为，所以，因此∽，所以，而，所以.‎ 考点：1、相似三角形及其性质. 12、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）分别利用切割线定理可得，，进而可得即为的中点；（2）由射影定理得，再由面积相等得，进而得，即可得结果．‎ 试题由题可知是以为圆心，为半径所作的圆，而为正方形，‎ ‎∴为圆的切线，依据切割线定理得 又∵圆以为直径，∴是圆的切线，‎ 同样依据切割线定理得故∴为的中点．‎ ‎（2）连结，∵为圆的直径，∴由 得又在中，由射影定理得 考点：1、切割线定理；2、三角形面积公式． 13、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）先由角相等，证得三角形相似，再结合线段相等即可所证比例关系；（2）由于，从而得出两个三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例，即得的值．‎ 试题（1），，～，‎ 又，（5分）‎ ‎（2），，～，，‎ ‎（10分）‎ ‎【考点】相似三角形的判定与应用． 14、答案：‎ 如图所示，由于,,等边三角形边长为，所以， 是等腰三角形，在平面 的射影在的平分线上.取的中点，则，是三棱锥的外接球球心，其在平面的射影是三角形的中心，所以球心到平面的距离是 ‎．‎ 考点：1、射影定理；2、勾股定理；3.球的截面性质定理．‎ ‎【名师名师点评】此类题目是立体几何问题中的典型题目.解答本题，关键在于能利用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的空间想象能力、转化与化归思想及基本运算求解能力等.‎ ‎15、答案：（1）证明见解析；（2）3.‎ 试题分析：（1）要证明线段的关系，一般要三角形相似，考虑到，因此证明即可，这由相似的判定定理可证；（2）要求的长，结合已知，先证，通过求出，得到，从而求得．‎ 试题（1）连接，由题意知为直角三角形，因为，则即，又，所以 ‎（2）因为是圆的切线，所以，又，所以 因为又，所以 所以，即 考点：相似三角形的判断与性质，切割线定理． 16、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连接，先根据圆的性质可得垂直平分，再根据 为圆周角，则，得到即可；（2）设，则，根据射影定理即可．‎ 试题（1）连接，因为为圆的切线，所以垂直平分，又为圆的直径，，所以，又为的中点，故为的中点，所以 ‎（2）设，则，在中，由射影定理可得：，‎ 在中，。‎ 考点：1.圆的性质；2.射影定理． 17、答案：试题分析：（Ⅰ）由切割线定理，，又，故，由此∽；（Ⅱ）由四点共圆得，由（Ⅰ），则，由内错角相等，两直线平行，可得.‎ 试题证明：（Ⅰ）据题意得：AB2=AD·AE.‎ ‎∵AC=AB，∴AC2=AD·AE，即.‎ 又∵∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE.‎ ‎（Ⅱ）∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG=∠AEC.‎ 又∵∠ACF=∠AEC，∴∠CFG=∠ACF.∴FG∥AC.‎ 考点：相似三角形、两线平行的证明． 18、答案：.‎ 试题分析：先借助射影定理建立方程求出的值，再运射影定理求出的值即可.‎ 试题解:连接，，相交于点．‎ 因为是线段的垂直平分线，‎ 所以是圆的直径，．‎ 设，则，由射影定理得 ‎，又，‎ 即有，解得（舍）或 所以，．‎ 考点：（1）圆中的有关结论及直角三角形中的射影定理及运用；（2）方程思想与化归转化的能力. 19、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）要证，是从点引出的切点弦，由其性质可证，而只要由是直径易得，这样就证得了两直线平行；（2）观察所在的三角形，由（1）的平行可证这两个与相似，从而可求得．‎ 试题（1）证明：连结OD、BD.∵BC、CD是⊙O的切线，OBBC，OD⊥CD.∴∠OBC=∠ODC=90°.‎ 又∵OB=OD，OC=OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC=CD.∵OB=OD，∴OC⊥BD.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°,即AD⊥BD.∴AD//OC.‎ ‎（2）∵AD//OC，∴∠A=∠BOC.又∠ADB=∠OBC=90°，∴△ABD∽△OCB.∴.‎ ‎∴ADOC=ABOB=.‎ 考点：证明两直线平行，相似三角形的判断与性质． 20、答案：试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质，再由，与互余，与互余，等角关系：，从而得证 试题 证明：在和中，‎ 因为为公共角，‎ 所以∽，于是.‎ 在中，因为是的中点，‎ 所以，从而.‎ 所以.‎ 考点：相似三角形 ‎