湖南省永州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学答案 5页

永州市2019年下期高二期末质量监测试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B C B C B A B D A A 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．1 14． 15． 16．3 ‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共75分）‎ ‎17.（本小题10分）‎ 解：（1）‎ 恒成立 …………………………………………………………5分 ‎（2）为真命题，‎ 或 ………………………………………………………7分 又为假命题，由（1）可得 ………………………………………………9分 综上，的范围为 ……………………………………………………………10分 ‎18. （本小题12分）‎ 解：（1）由抛物线的定义得，，解得， ………………………………3分 所以抛物线的方程为，代入点，可解得． ……………6分 ‎（2）当斜率存在时，设过点的直线方程为，‎ 联立，消元得，……………………………8分 得，所以直线方程为…………………………………………………10分 当斜率不存在时， ‎ 所以过点且与只有一个公共点的直线方程为或 ……………12分 ‎19. （本小题12分）‎ 解：（1），‎ 令，得或 ………………………………………………3分 可知，时，；时，；‎ 时，；‎ 故，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减…6分 ‎（2）令，有 设，，‎ 由（1）得在上单调递增；在 上单调递减；在上单调递减 ‎，，‎ 结合的图像可知，与有3个交点，故 所以的范围为 ………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎20. （本小题13分）‎ 证明：（1）∵分别为正方形的边的中点，‎ ‎∴‎ 又平面，平面，，∴⊥平面，‎ ‎∵平面，∴． ‎ ‎∵，，∴是等边三角形，‎ ‎∵为的中点．， ∴．‎ 又，面面，，∴⊥平面． …………………………………6分 ‎（2）设中点为，连结，则两两垂直，不妨设.‎ 以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图：‎ 则，，．，．‎ ‎∴,,‎ 设平面的法向量为，‎ 则，令，得…………………9分 而为平面的一个法向量 ‎∴‎ 二面角的余弦值为 ………………………………………………12分 ‎(若用几何方法解题，请酌情给分)‎ ‎21.（本小题12分）‎ 解析：（1） 依题意有， ……………………………………2分 化简得：，故的方程为． ………………………5分 ‎（2）依题意，…………………………………………………………………6分 ‎①当不垂直于轴时，设的方程是，‎ 联立，得，‎ 设， ，则， ‎ ‎；…6分 联立得： ，‎ 设，，‎ 则， ，……………………………………………8分 ‎， ……………………………9分 则， ……………………………10分 ‎②当垂直于轴时，易知， ，‎ 此时 ……………………………………11分 综上，的取值范围是．…………………………………………………12分 ‎（设相应给分；用其他方法的相应给分）‎ 22. ‎（本小题12分）‎ 解:（1）‎ ‎ 又因为，所以切线方程为 …………………………………3分 ‎（2）记，方程有实根等价于有零点，‎ 因为，当时，；当时，，‎ 可知为极小值，又因为 所以，在上存在一个零点，此时……………………………………6分 又因为，‎ 所以，在上存在一个零点，此时 综上，或 ………………………………………………7分 ‎（3）不等式对任意正实数恒成立，‎ ‎ 即，恒成立，‎ 当时，上式显然成立，此时 当时，上式化为，令，‎ 则，由（2）可知，函数在 上单减，且存在一个零点，此时，即，‎ 当时，；时，，‎ 所以有极大值即最大值，于是 当时，不等式化为，同理可得 综上可知，，又因为，‎ 所以正整数的取值集合为． ………………………………………………12分