【数学】2020届一轮复习人教B版（文）16平面向量的概念及线性运算作业 10页

天天练16　平面向量的概念及线性运算 小题狂练⑯‎ 一、选择题 ‎1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)‎ A．① B．③‎ C．①③ D．①②‎ 答案：A 解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．‎ ‎2．给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中错误命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：C 解析：①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．‎ ‎3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)‎ A．－＋ B．－－ C.－ D.＋ 答案：A 解析：∵D是△ABC的边AB的中点 ‎∴＝ ‎∵＝－，‎ ‎∴＝＝－＋ 故选A.‎ ‎4．[2019·合肥模拟]已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为(　　)‎ A．－4 B．－ C. D．4‎ 答案：B 解析：因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故选B.‎ ‎5．[2019·石家庄质检(一)]在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 答案：B 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝b＋a，故选B.‎ ‎6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 答案：D 解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D.‎ ‎7．[2019·江西赣州寻乌中学模拟]在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案：D 解析：由题知，＝＝(＋)．又因为BD＝AB×cos60°＝1，所以＝，故＝＋，因此λ＋μ＝＋＝，故选D.‎ ‎8．[2019·太原模拟]设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋＋＝(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 答案：D 解析：因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，故选D.‎ 二、非选择题 ‎9．已知a与－b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则实数λ的值为________．‎ 答案：－ 解析：因为a＋λb与－(b－3a)共线，所以存在实数μ，使得a＋λb＝μ(3a－b)，即所以 ‎10．[2019·吉林长春模拟]已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.‎ 答案：2‎ 解析：由题意可知a，b，c的两两夹角均为120°，由|a|＝|b|＝1可得a＋b与c反向，且|a＋b|＝1，从而|a＋b＋c|＝2.‎ ‎11．[2019·盐城模拟]在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．‎ 答案：3 解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.‎ ‎12．下列结论：‎ ‎①若a，b共线，则一定存在实数λ，使得a＝λb；‎ ‎②若存在实数λ，使得a＝λb，则a，b共线；‎ ‎③若对任意实数λ恒有a＝λb，则a＝b＝0；‎ 其中正确结论的序号是________．‎ 答案：②③‎ 解析：①中，若a≠0，b＝0，则不存在实数λ，使得a＝λb，①不正确；②中，若b＝0，则a＝0，两个零向量共线，若b≠0，根据共线向量定理知a，b共线，②正确；③中，只有当a＝b＝0时，对任意λ恒有a＝λb，③正确．‎ 课时测评⑯‎ 一、选择题 ‎1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ 答案：C 解析：因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．‎ ‎2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：D 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎3．[2019·四川成都七中一诊]已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 答案：B 解析：∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上．故选B.‎ ‎4．[2019·河南中原名校质检三]‎ 如图，已知在△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点．若＝m＋n，则m＋n＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D. 答案：B 解析：依题意得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴＝＋＝＋＝－＋＝－＋＋＝－.∵＝m＋n，∴m＝，n＝－，∴m＋n＝－＝－.故选B.‎ ‎5．[2019·洛阳统考(一)]已知a，b是不共线的向量，＝ma＋b，＝a＋nb(m，n∈R)，若A，B，C三点共线，则m，n的关系一定成立的是(　　)‎ A．m＝n B．m＝－n C．mn＝－1 D．mn＝1‎ 答案：D 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在一个实数t，使得＝t，∴ma＋b＝ta＋tnb，∴∴mn＝1，故选D.‎ ‎6．[2019·郑州一测]如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案：D 解析：＝＋＝＋＝m＋，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为＝，所以＝(1－λ)＋λ，则解得故选D.‎ ‎7．[2019·广东惠州二调]如图，在正方形ABCD中，点E为DC的中点，点F为BC上靠近点B的三等分点，则＝(　　)‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 答案：D 解析：在△CEF中，＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC上靠近点B的三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.故选D.‎ ‎8．[2019·辽宁联考]已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝＋＋2，则P一定为△ABC的(　　)‎ A．AB边中线的三等分点(非重心)‎ B．AB边的中点 C．AB边中线的中点 D．重心 答案：A 解析：如图所示，设AB的中点是E，则＝＋＋2＝(＋‎ ‎2)．∵O是△ABC的重心，∴2＝，‎ ‎∴＝(＋4)＝，∴点P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选A.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·吉林模拟]在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________.‎ 答案： 解析：∵＝－＝－＝－2＝3－2，∴＝λ＋3μ－2μ，∴(1－3μ)＝(λ－2μ)，∵和是不共线向量，∴解得∴λμ＝.‎ ‎10．如图A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若＝x＋y，则x＋y的范围为________．‎ 答案：(－∞，－1)‎ 解析：∵C，O，D三点共线，‎ ‎∴＝λ＝λx＋λy(λ<0)．‎ 又∵A，B，D三点共线，∴λx＋λy＝1，∴x＋y＝.‎ ‎∵0<||<||，λ＝－，‎ ‎∴－1<λ<0，∴<－1，即x＋y<－1.‎ 所以x＋y的范围为(－∞，－1)．‎ ‎11．设两个非零向量a和b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ 解析：(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线，‎ 又与有公共点B，‎ 所以A、B、D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)．‎ 即解得k＝±1.‎ 即k＝±1时，ka＋b与a＋kb共线．‎