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  • 2021-07-01 发布

【数学】2020届一轮复习人教版(理)第七章第二节 直线、平面的平行关系作业

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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级 基础夯实练 ‎1.给出三个命题:‎ ‎①若两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;‎ ‎②若两条直线与一个平面垂直,则这两条直线互相平行;‎ ‎③若两条直线与一个平面平行,则这两条直线互相平行.‎ 其中正确的命题的个数是(  )‎ A.0         B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选B.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线与平面的法向量夹角相等,这些直线构成以法向量为轴的某个对顶圆锥.故①错误;两条直线与平面垂直,则这两条直线与平面的法向量平行,则根据公理4,两直线平行,故②正确;两条直线与一个平面平行,这两条直线可能异面、平行或相交.故③错误.‎ ‎2.下列命题中成立的个数是(  )‎ ‎①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;‎ ‎②若直线l在平面α外,则l∥α;‎ ‎③若直线l∥b,直线b⊂α,则l∥α;‎ ‎④若直线l∥b,直线b⊂α,那么直线l就平行于平面α内的无数条直线.‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选A.直线l平行于平面α内的无数条直线,包括l⊂α和l∥α,故①不成立;直线l在平面α外,包括l与α相交和l∥α,故②不成立;直线l∥b,直线b⊂α,包括l⊂α和l∥α,故③‎ 不成立;直线l∥b,直线b⊂α,那么l平行于α内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面α内的无数条直线,故只有④成立.‎ ‎3.有如下三个命题:‎ ‎①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;‎ ‎②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;‎ ‎③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直.其中正确命题的个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选C.①分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线,故①错误.‎ ‎②此命题是直线与平面垂直的性质定理,故②正确.‎ ‎③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线,则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直,这样的平面有且只有一个.故③正确.‎ 所以②③正确.‎ ‎4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若α∩β=m,n⊂α,则n⊥β D.若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β 解析:选D.若m∥α,n∥α,则直线m,n可以是平行、相交、异面,所以A不正确.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则直线m,n可能是平行或异面,所以B不正确.C选项显然不正确.‎ ‎5.(2018·枣庄模拟)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是(  )‎ A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b 解析:选D.对于选项A,a,b不一定平行,也可能相交;对于选项B,只需找个平面γ,使γ∥α∥β,且a⊂γ,b⊂γ即可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,由直三棱柱模型可排除C.‎ ‎6.给出下列四个命题:‎ ‎①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;‎ ‎②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交;‎ ‎③若一条直线和两条平行线都相交,则这三条直线共面;‎ ‎④若三条直线交于同一点,则这三条直线共面.‎ 其中真命题的序号是________.‎ 解析:①正确,因为直线在平面外,即直线与平面相交或直线平行于平面,所以最多有一个公共点.②正确,a,b有交点,则两平面有公共点,则两平面相交.③正确,两平行直线可确定一个平面,又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上,所以过这两交点的直线也在平面内,即三线共面.④错误,这三条直线可以交于同一点,但不在同一平面内.‎ 答案:①②③‎ ‎7.(2018·青岛模拟)将一个真命题中的“平面”换成“直线”“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.‎ 给出下列四个命题:①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是________.(填命题的序号)‎ 解析:由线面垂直的性质定理可知①是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不是“可换命题”;由公理4可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命题,故④不是“可换命题”.‎ 答案:①③‎ ‎8.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=‎2 cm,DE=‎4 cm,EF=‎3 cm,则AC的长为________cm.‎ 解析:因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,连接AD,BE,CF(图略).‎ 所以AD∥BE∥CF,‎ 所以=,‎ 因为AB=‎2 cm,DE=‎4 cm,EF=‎3 cm,‎ 所以=,解得BC= cm,‎ 所以AC=AB+BC=2+=(cm).‎ 答案: ‎9.如图,在三棱锥SABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,过点A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.‎ 求证:(1)平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ 证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.‎ 又因为EF∩EG=E,‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又因为AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,‎ 所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.‎ 又因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.‎ ‎10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PC的中点,连接EF,BF.‎ ‎(1)求证:直线EF∥平面PAD.‎ ‎(2)求三棱锥FPEB的体积.‎ 解:(1)如图,作FM∥CD交PD于点M,连接AM.‎ 因为点F为PC中点,所以FM=CD.‎ 因为点E为AB的中点,所以AE=AB=FM.‎ 又AE∥FM,所以四边形AEFM为平行四边形,又EF⊄平面PAD,AM⊂平面PAD.所以EF∥AM.‎ 所以直线EF∥平面PAD.‎ ‎(2)连接EC.已知∠DAB=60°,AE=,AD=1,由余弦定理,得DE⊥AB,‎ 又AB∥DC,则DE⊥DC,‎ 设F到平面BEC的距离为h.‎ 因为点F为PC的中点,所以h=PD.‎ 从而有VFPBE=VPBEF=VPBEC-VFBEC ‎=S△BEC·(PD-h)=S△BEC·PD ‎=×××××1=.‎ B级 能力提升练 ‎11.如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=(  )‎ A.         B. C. D. 解析:选D.如图,连接AC交BE于G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以=.‎ 又AD∥BC,E为AD的中点,所以==,所以=.‎ ‎12.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.[,]‎ 解析:选B.取B‎1C1的中点M,BB1的中点N,连接A‎1M,A1N,MN,可以证明平面AMN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上,因为A‎1M=A1N==,MN==,所以当点P位于M,N处时,A1P的长度最长,当P位于MN的中点O时,A1P的长度最短,此时A1O==,所以A1O≤A1P≤A‎1M,即≤A1P≤,所以线段A1P长度的取值范围是,选B.‎ ‎13.如图,ABCDA1B‎1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B‎1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=(  )‎ A.a B.a C.a D.a 解析:选A.因为ABCDA1B‎1C1D1是棱长为a的正方体,‎ 所以平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1,又P是棱AD上一点,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,所以MN∥PQ,又M,N分别是棱A1B1,B‎1C1的中点,AP=,所以CQ=,所以DP=DQ=,所以PQ==.‎ ‎14.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.‎ 解析:‎ 如图,取CD的中点E.‎ 连接AE,BE,由于M,N分别是△ACD,△BCD的重心,所以AE,BE分别过M,N,则EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2,‎ 所以MN∥AB.因为AB⊂平面ABD,MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC.‎ 答案:平面ABD与平面ABC ‎15.如图,在正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1(注:填上你认为正确的一个条件即可).‎ 解析:连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,当M∈FH时,MN⊂平面FHN,此时MN∥平面B1BDD1.‎ 答案:点M在线段FH上(包含端点)‎ ‎16.如图,平面五边形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.将△CDE沿CE折起,使点D到P的位置,且AP=,得到四棱锥PABCE.‎ ‎(1)求证:AP⊥平面ABCE;‎ ‎(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l,求证:AB∥l.‎ 解:(1)在△CDE中,∵CD=ED=,cos∠EDC=,由余弦定理得CE=2.连接AC,∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理AP⊥AC.而AC⊂平面ABCE,AE⊂平面ABCE,AC∩AE=A,故AP⊥平面ABCE.‎ ‎(2)∵AB∥CE,且CE⊂平面PCE,AB⊄平面PCE,‎ ‎∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE=l,‎ ‎∴AB∥l.‎ C级 素养加强练 ‎17.(2018·山西太原质检)如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB,现将四边形ABEF沿EF折起,使BE⊥EC.‎ ‎(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,使得CP∥‎ 平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;‎ ‎(2)求三棱锥ACDF的体积的最大值,并求出此时点F到平面ACD的距离.‎ 解:(1)线段AD上存在一点P,使得CP∥平面ABEF,‎ 此时=.‎ 理由如下:‎ 当=时,=,‎ 过点P作PM∥FD交AF于点M,连接EM,‎ 则有==,‎ 由题意可得FD=5,故MP=3,‎ 由题意可得EC=3,又MP∥FD∥EC,‎ ‎∴MP綊EC,‎ 故四边形MPCE为平行四边形,‎ ‎∴CP∥ME,‎ 又∵CP⊄平面ABEF,ME⊂平面ABEF,‎ ‎∴CP∥平面ABEF成立.‎ ‎(2)设BE=x(0<x≤4),‎ ‎∴AF=x,FD=6-x,‎ 由题意可得EC⊥EF,又BE⊥EC,BE∩EF=E,∴EB⊥平面ECDF,‎ ‎∵AF∥BE,∴AF⊥平面ECDF.‎ 故VACDF=××2×(6-x)×x=(-x2+6x),∴当x=3时,VACDF有最大值,且最大值为3,‎ 此时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2,AD=3,AC=,‎ 在△ACD中,由余弦定理得 cos∠ADC===,‎ ‎∴sin∠ADC=,‎ ‎∴S△ADC=·DC·DA·sin∠ADC=3,‎ 设点F到平面ACD的距离为h,‎ 由于VACDF=VFACD,‎ 即3=·h·S△ACD,‎ ‎∴h=,即点F到平面ACD的距离为.‎