【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第6讲双曲线作业 10页

A组　基础关 ‎1．(2019·唐山统考)“k<‎9”‎是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)<0，∴k<9或k>25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　A 解析　由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F‎1F2|.由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为－＝1.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝ ‎.因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，选A.‎ ‎4．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)‎ A.－y2＝1 B.－y2＝1‎ C.－＝1 D．x2－＝1‎ 答案　B 解析　解法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．‎ 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 因为双曲线过点P(2,1)，‎ 所以－＝1，又a2＋b2＝3，‎ 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.‎ 解法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，‎ 将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，‎ 解得λ＝2(λ＝－2舍去)，‎ 所以所求双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线均与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相切，则该双曲线的实轴长为(　　)‎ A．3 B．‎6 C．9 D．12‎ 答案　B 解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心坐标为C(2,0)，半径r＝1.双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆C相切，所以圆心到渐近线的距离d＝＝1，所以3b2＝a2.由－＝1，得b2＝3，则a2＝9，所以‎2a＝6.故选B.‎ ‎6．(2019·厦门模拟)△ABC中，∠B＝，A，B是双曲线E的左、右焦点，点 C在E上，若(＋)·＝0，则E的离心率为(　　)‎ A.－1 B.＋1 ‎ C. D. 答案　D 解析　设线段AC的中点为D，则＋＝2，因为(＋)·＝0，所以·＝0，所以BD⊥AC，所以AB＝BC.因为B(c,0)，BC＝AB＝‎2c，且∠ABC＝，所以点C的坐标为(‎2c，c)．‎ 代入－＝1得－＝1，所以－＝1，所以4e2－＝1，整理得4e4－8e2＋1＝0，又e>1，解得e＝.‎ ‎7．已知双曲线C：x2－＝1，经过点M(2,1)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为(　　)‎ A．8x－y－15＝0 B．8x＋y－17＝0‎ C．4x＋y－9＝0 D．4x－y－7＝0‎ 答案　A 解析　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.‎ 因为M(2,1)是线段AB的中点，‎ 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.‎ 所以16(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，‎ 所以kAB＝＝＝8，‎ 故直线l的方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0.‎ ‎8．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当F⊥A时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．‎ 答案　 解析　设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ 在“黄金双曲线”中，‎ 因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.‎ 在等式两边同除以a2，得e＝.‎ ‎9．(2019·武汉模拟)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．‎ 答案　－2‎ 解析　由题意可知A1(－1,0)，F2(2,0)．‎ 设P(x，y)(x≥1)，‎ 则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.‎ 因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，‎ eq o(PA1,sup6(→))·取得最小值－2.‎ ‎10．(2018·唐山模拟)P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为‎2c，则△PF‎1F2的内切圆圆心的横坐标是________．‎ 答案　a 解析　∵点P是双曲线右支上一点，‎ ‎∴由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝‎2a，‎ 若设△PF‎1F2的内切圆圆心在x轴上的投影为A(x,0)，则该点也是内切圆与x轴的切点．‎ 设B，C分别为内切圆与PF1，PF2的切点．‎ 由切线长定理，则有|PF1|－|PF2|＝(|PB|＋|BF1|)－(|PC|＋|CF2|)＝|BF1|－|CF2|＝|AF1|－|F‎2A|＝(c＋x)－(c－x)＝2x＝‎2a，所以x＝a.‎ 所以内切圆圆心的横坐标为a.‎ B组　能力关 ‎1．(2018·河南天一大联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点F为双曲线C的左焦点，过点F作垂直于x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x 答案　A 解析　连接BQ，则由双曲线的对称性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，在△PME和△PQB中，有＝，在△BPF和△BEO中，有＝，又因为点M为QF的中点，所以e＝＝＝＝＝3，＝ ＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x.‎ ‎2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，点A，B是圆(x＋c)2＋y2＝‎4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且|AF2|∶|BF2|＝5∶3，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A．2 B．‎4 C. D．5‎ 答案　B 解析　如图所示，因为圆(x＋c)2＋y2＝‎4c2的圆心是F1(－c，0)，半径r＝‎2c，‎ 所以|AF1|＝|BF1|＝‎2c.由双曲线的定义，得 即 解得因为|AF2|∶|BF2|＝5∶3，所以＝，左边分子分母同时除以‎2a，得＝，即＝，解得e＝4.所以双曲线C的离心率为4.故选B.‎ ‎3．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，‎ ‎∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．‎ 当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，‎ 由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.‎ 当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎|AB|＝· ‎＝· ‎＝· ‎＝＝4，‎ 解得k＝±，故这样的直线有3条．故选C.‎ ‎4.如图，P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点，A1，A2是其左、右顶点，直线PA1交双曲线C的一条渐近线于点M，直线A‎2M和A2P斜率分别为k1，k2，若A‎2M⊥PA1，且k1＋4k2＝0，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A. B．‎2 C. D．4‎ 答案　A 解析　设P(m，n)，则－＝1，即＝，‎ 由A1(－a,0)，A2(a,0)，A‎2M⊥PA1，‎ 可得PA1的斜率为＝－，‎ 可得PA2的斜率为＝k2＝－k1，‎ 两式相乘可得＝，‎ 则＝，即b＝a，c＝＝a，‎ 即e＝＝.‎ ‎5．(2018·合肥模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且||＝6，则双曲线C的方程为________．‎ 答案　y2－＝1‎ 解析　由题意可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，－c)．‎ 由题意可得解得a＝1，b＝2，‎ 所以双曲线C的方程为y2－＝1.‎ ‎6．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．‎ 答案　12 解析　如图，设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1，可知a＝1，c＝3，故F(3,0)，F1(－3,0)．‎ 当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|.‎ 因为|AF|＝＝15为定值，‎ 所以当|AP|＋|PF1|最小时，‎ ‎△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．‎ 由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，‎ 由 得y2＋6y－96＝0，‎ 解得y＝2或y＝－8(舍去)，‎ 所以S△APF＝S△AF‎1F－S△PF‎1F＝×6×6－×6×2＝12.‎ C组　素养关 ‎1．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，当k为何值时，以线段AB为直径的圆过原点？‎ 解　(1)设双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，则由题意得解得故双曲线的方程是3x2－y2＝1.‎ ‎(2)联立得(3－k2)x2－2kx－2＝0，由Δ>0且3－k2≠0，得－b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，‎ 则 解得a＝7，m＝3.则b＝6，n＝2.‎ 故椭圆方程为＋＝1，‎ 双曲线方程为－＝1.‎ ‎(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.‎ 又|F‎1F2|＝2，‎ 所以cos∠F1PF2＝ ‎＝＝.‎