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- 2021-07-01 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·吉林白山模拟)AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=( )
A.(2,4) B.(3,7)
C.(1,1) D.(-1,-1)
解析:选D.∵=-=(-1,-1),
∴==(-1,-1).
2.(2018·保定模拟)若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)则c=( )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.-a+b
解析:选B.设c=λ1a+λ2b,则(-1,2)=λ1(1,1)+λ2(1,-1)=(λ1+λ2,λ1-λ2),
∴λ1+λ2=-1,λ1-λ2=2,解得λ1=,λ2=-,
所以c=a-b.
3.(2018·唐山模拟)设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么( )
A.与同向,且||>||
B.与同向,且||<||
C.与反向,且||>||
D.∥
解析:选A.=++=2a+3b+(-8a-2b)+(-6a-4b)=-12a-3b,又=-8a-2b,
∴=.
∵>0,∴与同向,且||=||>||.
∴||>||.
4.(2018·江门二模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行,则A=( )
A. B.
C. D.
解析:选B.因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.
5.(2018·合肥模拟)已知a,b是不共线的两个向量,向量=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),则A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=1 D.λμ=-1
解析:选C.∵向量a和b不共线,∴和为非零向量,则A,B,C三点共线的充要条件为存在k(k≠0),使得=k,即λa+b=k(a+μb)=ka+kμb,∵a和b不共线,∴λ=k,1=kμ,∴λμ=1,故选C.
6.(2018·九江模拟)如图,在6×6的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=( )
A.0 B.1
C.5 D.
解析:选D.建立如图所示平面直角坐标系,设小方格的边长为1.
则向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),
∵c=xa+yb,
即解得
∴x+y=+=.
7.(2018·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点,且++=0,,D是AC的中点,则的值为( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选A.∵D是AC的中点,∴+=0,.又∵++=0,,∴=-(+)=-×2,即=3,故=,∴=.故选A.
8.(2018·常州八校联考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于________.
解析:因为=+=+=+(+)=2++=2--,所以=-,∴λ=-,μ=.
所以λ+μ=.
答案:
9.(2018·银川模拟)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,
AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:①=a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0,.其中正确命题的个数为________.
解析:=a,=b,=+=-a-b,故①错误;=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
∴++=-b-a+a+b+b-a=0,.
∴正确的命题为②③④.
答案:3
10.(2018·济南模拟)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论:
①若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2;
②若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2;
③存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线;
④不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线.
其中正确的是________(只填序号).
解析:若a与b共线,即a=λb,即2e1-e2=λke1+λe2,而e1与e2不共线,
所以解得k=-2.故①正确,②不正确.
若e1与e2共线,则e2=λe1,有
因为e1,e2,a,b为非零向量,所以λ≠2且λ≠-k,所以a
=b,即a=b,这时a与b共线,所以不存在实数k满足题意.故③不正确,④正确.
综上,正确的结论为①④.
答案:①④
B级 能力提升练
11.(2018·河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.- B.-
C.-+ D.-+
解析:选C.解法一:如图,取AB的中点G,连接DG,CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以==-=-,所以=+=+=+=+,于是=-=-=+-=-+.
解法二:=(+)=-+×
=-+(-)=-+(-)
=-+=-+.
12.(2018·烟台质检)在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A. B.
C.1 D.3
解析:选B.如图,因为=,P是上一点,
所以=,=m+=m+.
因为B,P,N三点共线,
所以m+=1,所以m=.
13.(2018·山西四校联考)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.
又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=(1-λ)∈,即x的取值范围是.
14.(2018·洛阳模拟)已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=++2,则点P一定为△ABC的( )
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.AB边的中点
解析:选B.如图设AB的中点为M,则+=,所以=(+2),即3=+2⇒-=2-2⇒=2.又与有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近C点的一个三等分点.
15.(2017·江苏卷)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=________.
解析:由tan α=7,得tan==-.
以O为原点,OA方向为x轴正半轴建立坐标系(图略),则A点坐标为(1,0).
由tan=-,的模为1,可得B.由tan α=7,的模为,可得C.
由=m+n,代入A、B、C点坐标可得,
解得
∴m+n=3.
答案:3
C级 素养加强练
16.(2018·天水模拟)如图,在等腰直角三角形ABC中,点O是斜边BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n(m>0,n>0),则mn的最大值为________.
解析:以A为坐标原点,线段AC、AB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABC的腰长为2,则B(0,2),C(2,0),O(1,1).
∵=m,=n,
∴M,N,
∴直线MN的方程为+=1,
∵直线MN过点O(1,1),∴+=1,即m+n=2,
∴mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,
∴mn的最大值为1.
答案:1