天津市天津一中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 文 7页

天津一中2011—2012学年第一学期期中 高二数学试卷(文科)‎ 一、选择题（每题3分，共30分）‎ ‎1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为 正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ）‎ A．6 B．‎12 C．24 D．3‎ ‎2．已知正方体的外接球的体积为π，则该正方体的表面积为（ ） ‎ A． B． C． D．32‎ ‎3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）‎ A．至多只能有一个是直角三角形 B．至多只能有两个是直角三角形 C．可能都是直角三角形 D．必然都是非直角三角形 ‎4．对于平面和直线，内至少有一条直线与直线 （ ）‎ A．平行 B． 垂直 C．异面 D．相交 ‎5．已知是两条不同直线,是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若，，则// ②若，，则//‎ ‎③若，，则 ④若//，//，则//‎ A B C S E F ‎⑤若//，//，则//‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，‎ 那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）‎ A． 90° B．45° C．60° D．30° ‎ ‎7．如图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎8．如图，在长方体中，，，‎ 则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是（ ）‎ A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎10．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（ ）‎ A．直线AC上 B．直线AB上 C．直线BC上 D．△ABC内部 二、填空题（每题4分，共24分）‎ ‎11．中，‎ ‎，将三角形绕AC边旋转一周所成的几何体的体积为__________．‎ ‎12．如果一个水平放置的图形的直观图（斜二侧画法）是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．‎ ‎13．在△ABC中，C＝90°，AB＝8，B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝4，P′是AB边上的动点，则PP′的最小值为 ．‎ ‎14．如右图，E、F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．‎ ‎15．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于 ．‎ ‎16．正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则点到截面的距离为 .‎ 三、解答题(共4题，46分)‎ ‎17．正三棱柱中，各棱长均为4，分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点．‎ 求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．‎ ‎19．如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（2）证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（3）求二面角A-CD-E的余弦值.‎ ‎20．如图，在四棱锥中, 底面是的中点．‎ A P E B C D ‎（1）证明；‎ ‎（2）证明平面；‎ ‎（3）求二面角的正切值．‎ 参考答案：‎ 一、选择题：‎ ‎1．C 2．D 3．C 4．B 5．A ‎6．B 7．D 8．A 9．C 10．B 二、填空题：‎ ‎11．‎ ‎12．‎ ‎13．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．‎ ‎（1）证明：正三棱柱ABC-A1B1C1中 BB1⊥平面ABC ‎∴BB1⊥AM ……………………4分 在正△ABC中，M是BC中点 ‎∴AM⊥BC 又BCBB1=B ‎∴AM⊥平面BC1‎ ‎∴AM⊥BN ……………………2分 在正方形BC1中 Rt△BCN≌Rt△B1BM ‎∴∠2=∠1‎ ‎∵∠3+∠2=90o ‎∴∠1+∠3=90o ‎∴BN⊥B1M ……………………2分 又AMB1M=M ‎∴BN⊥平面AB1M ……………………1分 ‎（2） ……………………3分 ‎ ……………………2分 ‎18．证明：‎ ‎（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，‎ 又 直线EF‖平面PCD ‎（2） F是AD的中点，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，‎ 所以，平面BEF⊥平面PAD。‎ ‎19．‎ ‎（1）BCFE ……………………1分 ‎∴BCEF是□‎ ‎∴BF//CE ‎∴∠CED或其补角为BF与DE所成角 ……………………2分 取AD中点P连结EP和CP ‎∵FEAP ‎∴FAEP 同理ABPC 又FA⊥平面ABCD ‎∴EF⊥平面ABCD ‎∴EP⊥PC、EP⊥AD 由AB⊥AD PC⊥AD 设FA=a，则EP=PC=PD=a CD=DE=EC=a ‎∴△ECD是正三角形 ‎∴∠CED=60o ‎∴BF与DE成角60o ……………………2分 ‎（2）∵DC=DE，M为EC中点 ‎∴DM⊥EC 连结MP，则MP⊥CE 又DMMP=M ‎∴DE⊥平面ADM ……………………3分 又CE平面CDE ‎∴平面AMD⊥平面CDE ……………………1分 ‎（3）取CD中点Q，连结PQ和EQ ‎∵PC=DQ ‎∴PQ⊥CD，同理EQ⊥CD ‎∴∠PQE为二面角的平面角 ……………………2分 在Rt△EPQ中，‎ ‎∴二面角A-CD-E的余弦值为 ‎20．‎ ‎（1）证明：‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD ‎∴PA⊥CD 又AC⊥CD，ACPA=A ‎∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC ‎∴CD⊥AE ‎（2）证明：‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD ‎∴PA⊥AB 又AD⊥AB，ADPA=A ‎∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD ‎∴AB⊥PD 由PA=AB=BC，∠ABC=60o 则△ABC是正三角形 ‎∴AC=AB ‎∴PA=PC ‎∵E是PC中点 ‎∴AE⊥PC 由（1）知AE⊥CD，又CDPC=C ‎∴AE⊥平面PCD ‎∴AE⊥PD 又AB⊥PD，ABAE=A ‎∴PD⊥平面ABE ‎（3）过E点作EM⊥PD于M点连结AM 由（2）知AE⊥平面PCD ‎∴AM⊥PD ‎∠AME是二面角A-PD-C的正切值 设AC=a 在Rt△AEM中