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  • 2021-07-01 发布

2020-2021学年高二数学上册同步练习:空间向量及其运算的坐标表示

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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1.已知向量 (1, 2 , 1)a  , ( 1 ,2 , 1 )ab    ,则向量b  ( ) A.(2, 4,2) B.( 2,4, 2) C.( 2,0, 2) D.(2,1, 3) 【答案】A 【解析】由已知可得      1,2,11,2,12,4,2b  . 故选 A. 2.已知空间向量  1,2 ,3a  ,  3 , 2 , xb  ,若 ab ,则 x 的值为( ) A. 4 3 B. 7 3 C. 10 3 D. 11 3 【答案】B 【解析】因为向量 , , 又因为 , 所以 3430 abx . 解得 = . 故选 B 3.若  2,3,1a ,  2,0,3b  ,  0,2,2c  ,则  abc 的值为( ) A. 4, 6, 5 B.5 C.7 D.36 【答案】B 【解析】      2, 0, 30, 2, 22, 2, 5bc  ,   2223(1)55abc  . 故选 B. 4.在空间直角坐标系O xyz 中,已知  0,0,3A ,  0,4,3B ,  3,4,3C ,则 ABC 是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三形 D.直角三形 【答案】D 【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知 (0A ,0,3) , (0B ,4, , (3C ,4, ,  (0AB  ,4, 0) , (3AC  ,4, , (3BC  ,0, , 且 0340000ABBC ,  A B B C , ABC∴ 为直角三角形; 故选 D . 5.已知空间向量  1,0 ,1a  ,  1,1,bn , 3ab则向量 a 与 b ( 0  )的夹角为( ) A. 6  B. 或 5 6  C. 3  D. 或 2 3  【答案】B 【解析】 ,13ababcosabn 解得 2n  , 222,? 3ncosab 代入得 3 2cos a b  ,又向量夹角范围:  0,  故 ,ab的夹角为 6  ,则 与 的夹角, 当 0  时为 ; 0  时为 5 6  . 故选 B. 6.已知  1,1,0AB  ,  0,1,2C  ,若 2CDAB ,则点 的坐标为( ) A.  2,3,2 B.  2,3,2 C.  2,1,2 D.  2,1,2 【答案】D 【解析】设点 为  ,,x y z ,又  0,1,2C  ∴  , 1, 2CD x y z   , ∵  1,1,0AB  , 2CD AB ∴   ,1,22, 2,0x yz 即 2 1 2 x y z      , D 点坐标  2,1,2 故选 D 7.已知向量  2 ,3 ,4a  ,  1 , ,2bm ,若 //ab,则 m  ( ) A. 3 2 B. 3 2 C. 10 3 D. 10 3 【答案】B 【解析】根据 //ab,有 ab ,即    2,3,41,,2 m, 2 3 42 m         ,解得 2 3 2m    . 故选 B 8.已知向量 (1,1,),(1,,1)attbtt ,则 ab 的最小值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.4 【答案】C 【解析】由向量 , 所以 (2,1,1)abtt , 则 242(1)2abt ,当且仅当 1t  时取等号, 即 ab 的最小值为 2, 故选 C. 9.若向量    1,,2,2,1,2,axb 且 ,ab 夹角的余弦值 8 ,9 x为 则 等于( ) A.2 B.-2 C.-2 或 2 55 D.2 或 2 55 【答案】C 【解析】cos, abab ab   2 6-8 ,935 x x   解得 x=-2 或 x 2 .55 故选 C. 10.在空间直角坐标系中,正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 棱长为 2, E 为正方体的棱 1AA 的中点, F 为棱 AB 上的 一点,且 1 90C EF则点 的坐标为( ) A. 12 , ,04   B. 12 , ,03   C. 12 , ,02   D. 22 , ,03   【答案】C 【解析】由正方体的性质可得    12,0,1,0,2,2EC ,设  2, ,0Fy,则    1 2,2,1,0,,1ECEFy  , 因为 1 90C E F, 1 210ECEFy ,解得 1 2y  ,则点 F 的坐标为 12 , ,02   , 故选 C. 11.如图,在边长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中, E 为 BC 的中点,点 P 在底面 A B C D 上移动,且 满足 11BPDE ,则线段 1BP的长度的最大值为( ) A. 45 5 B. C. 22 D. 3 【答案】D 【解析】如下图所示, 以点 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 1DD 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 D x y z , 则点  1 2 ,2 ,2B 、  1 0 ,0 ,2D 、  1,2 ,0E ,设点    ,,002,02Pxyxy  ,  1 1 ,2 , 2DE ,  1 2,2,2BPxy , 11D E B P ,  11 2224220B PD Exyxy ,得 22xy , 由 02 02 x y    ,得 0 2 2 2 02 y y      ,得 01y,    22 2 1 224548B Pxyyy , 01y,当 1y  时, 1BP 取得最大值 3 . 故选 D. 12.设向量  ,,0uab ,  ,,1cd  ,其中 2222 1abcd ,则下列判断错误的是( ) A.向量 与 轴正方向的夹角为定值(与 c 、 d 之值无关) B. u  的最大值为 2 C. u 与 夹角的最大值为 3 4  D. ad bc 的最大值为 l 【答案】B 【解析】由向量 ( , ,0)u a b , (,,1)vcd ,其中 ,知: 在 A 中,设 z 轴正方向的方向向量 (0,0, ), 0z t t, 向量 v 与 z 轴正方向的夹角的余弦值: 22 2cos,45 2|||| 1 zvt a zv tcd     , ∴向量 v 与 z 轴正方向的夹角为定值 45°(与 c,d 之值无关),故 A 正确; 在 B 中, 22222222 1222 acbdabcduvacbd  , 且仅当 a=c,b=d 时取等号,因此uv 的最大值为 1,故 B 错误; 在 C 中,由 B 可得:| | 1, 1 1u v u v      , 2 2 2 2 12cos , | | | | 2121 u v ac bduv uv a b c d             , ∴ u r 与 的夹角的最大值为 3 4  ,故 C 正确; 在 D 中, 22222222 1222 adbcabcdadbc  , ∴ad−bc 的最大值为 1.故 D 正确. 故选 B. 二、填空题 13.已知在空间直角坐标系 O x y z 中,点  3,5,2A ,  2,7,0B  ,则 AB  ______. 【答案】3 【解析】  3,5,2A ,  1,2,2AB 2221 2 2 3AB     故填3 14.已知向量  1,4,3a  ,  2, ,6bt ,若 //ab,则实数t 的值为_______. 【答案】-8 【解析】向量  1,4,3a  ,  2, , 6bt   , //ab, 所以存在  使 ba ,    2,,61,4,3t  , 即 2 4 63 t         ,解得: 2 8t     . 故填 8 15.已知向量 (1,1,0),(1,0,2)ab ,若 k a b 与 b 互相垂直,则实数 k 的值是_______. 【答案】 5 【解析】因为 ,所以  1,,2kabkk , 又 与 互相垂直, 所以  0ka b b ,即 ( 1 ) 4 0k    ,解得: 5k  . 故填 . 16.已知  3,2,3a  ,  1,1,1bx ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是__________. 【答案】 552,,33  【解析】由题意可知 0ab 且 a 与 b 不共线, 则    3 1 2 1 3 1 2 4 0a b x x             ,解得 2x  . 若 与 共线,则 111 323 x ,得 5 3x  , a r Q 与 不共线,则 5 3x  , 因此,实数 取值范围是 . 故填 . 17.已知空间向量 (1,0,0)a  , 13(,,0)22b  ,若空间向量 c 满足 2ca, 5 2cb ,且对任意 ,x y R ,    0 0 0 01( , )c xa yb c x a y b x y R       ,则 c  __________. 【答案】 22 【解析】 空间向量 (1,0 ,0 )a  , 13( , ,0)22b  , 设空间向量  ,,c m n z , 2ca, 5 2cb , 2m, 1 3 5 2 2 2mn , 3n  ,  空间向量  2 , 3,cz , 又由对任意 x , yR ,    001cxaybcxayb , 则 | | 1z  , 故   22223122c  , 故填 22 18.如图,棱长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中, M 是棱 1AA 的中点,点 P 在侧面 11A B B A 内,若 1DP 垂直于 CM ,则 PBC 的面积的最小值为__________. 【答案】 25 5 【解析】以 D 点为空间直角坐标系的原点,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DA 所在直线为 x 轴,以 1DD 为 z 轴,建立空间直角坐标系.则点 1(2,, ),(0,0,2)Py zD , 所以 1 (2,,2)D Py z. 因为 (0,2,0), (2,0,1)CM,所以 (2, 2,1)CM  , 因为 1D P CM ,所以 4 2 2 0yz    ,所以 22zy, 因为 B(2,2,0),所以 (0 , 2 , )B P y z, 所以 22222(2)(2)(22)5128BPyzyyyy 因为 02y,所以当 6 5y  时, min 2 55BP  . 因为 BC⊥BP,所以 min 12525()2 255PBCS  . 故填 25 5 . 三、解答题 19.已知向量  1,2, 2a ,  4, 2,4b  ,  3, ,c m n . (1)求 ab (2)若 //ac,求 m,n. (3)求 cos, ab 【解析】(1)∵ , ∴       1,2, 24, 2,414,22 , 24ab    3,4,6 (2)∵ ,  2,,4cx,若 ac∥ ,则 3 122 mn , 解之得 6m  , 6n  (3)∵ , ∴    1422248ab    2221223a   ,  2224246b   84cos , 3 6 9 abab ab     20.已知向量 (2,1,2)a , (1,1,2)b  , ( ,2,2)xc . (1)当| | 2 2c  时,若向量 ka b 与 c 垂直,求实数 x 和 k 的值; (2)若向量 c 与向量 a , b 共面,求实数 x 的值. 【解析】(1)因为| | 2 2c  ,所以 22222220xx . 且 ka b  ( 2 1,1 ,2 2)k k k    . 因为向量 ka b 与 垂直, 所以 ( ) 0ka b c   . 即 2 6 0k . 所以实数 和 k 的值分别为 0 和 3 . (2)因为向量 与向量 , 共面,所以设 c a b  r r r ( , R ). 因为( ,2,2) ( 2, 1,2) ( 1,1,2)x      , 2, 2, 222, x         所以 1 ,2 1 ,2 3 .2 x          所以实数 的值为 1 2 . 21.如图,直三棱柱 111ABCA BC ,底面 ABC 中, 1CACB, 90BCA ,棱 1 2AA  , M 、 N 分别是 11AB 、 1AA的中点. (1)求 BM 的长; (2)求 11cos,BACB 的值; (3)求证: 11A B C N . 【解析】(1)以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C x y z .如图: 依题意得  0 ,1,0B ,  1,0 ,1M , 根据空间两点间距离公式:      222 121212dxxyyzz        2221001103BM  . (2)依题意得:  1 1,0 , 2A , ,  0 ,0 ,0C ,  1 0 ,1, 2B .  1 1,1,2BA  ,  1 0,1,2CB  uuur , 113BACB uuuruuur , 1 6BA  uuur , 1 5CB  uuur , 11 11 11 30cos , 10 BA CBBA CB BA CB   . (3)依题意得  1 0,0,2C , 11,,222N    1 1,1,2AB uuur , 1 11,,022CN   . 11 110022A BC N  11ABCN 22.已知空间中三点  2,0,2A  ,  1,1,2B  ,  3,0,4C  ,设 aAB ,bAC . (1)若 3c  ,且 //c BC ,求向量 c ; (2)已知向量 kab 与 b 互相垂直,求 k 的值; (3)求 ABC 的面积. 【解析】(1) 空间中三点 , , ,设 , , 所以      1,1,22,0,21,1,0aAB   ,      3,0,42,0,21,0,2bAC ,  (3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC  , 3c  ,且 //c B C ,设 c mB C    2,1,22,,2cmBCmmmm , 2 2 2( 2 ) ( ) (2 ) 3 3c m m m m        , 1m   ,  2 ,1, 2c  r 或  2 , 1 ,2c    . (2)      1,0, 2 1 , , 21, 1,0ka b k kk      ,  1,0, 2b  且向量 ka b 与 b 互相垂直,   140kabb k   ,解得 5k  . k 的值是 5 . (3)因为  1,1,0AB  ,  1,0,2AC ,  2,1,2BC  1AB AC   ,    22112AB  ,  22125AC  11cos, || || 2510 AB ACAB AC ABAC   , 13sin , 1 10 10 AB AC     , 1 sin ,2ABCS AB AC AB AC       13252 10     3 2 .