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- 2021-07-01 发布
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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1.已知向量 (1, 2 , 1)a , ( 1 ,2 , 1 )ab ,则向量b ( )
A.(2, 4,2) B.( 2,4, 2) C.( 2,0, 2) D.(2,1, 3)
【答案】A
【解析】由已知可得 1,2,11,2,12,4,2b .
故选 A.
2.已知空间向量 1,2 ,3a , 3 , 2 , xb ,若 ab ,则 x 的值为( )
A. 4
3 B. 7
3 C. 10
3 D. 11
3
【答案】B
【解析】因为向量 , ,
又因为 ,
所以 3430 abx .
解得 = .
故选 B
3.若 2,3,1a , 2,0,3b , 0,2,2c ,则 abc 的值为( )
A. 4, 6, 5 B.5 C.7 D.36
【答案】B
【解析】 2, 0, 30, 2, 22, 2, 5bc , 2223(1)55abc .
故选 B.
4.在空间直角坐标系O xyz 中,已知 0,0,3A , 0,4,3B , 3,4,3C ,则 ABC 是( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三形 D.直角三形
【答案】D
【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知 (0A ,0,3) , (0B ,4, , (3C ,4, ,
(0AB ,4, 0) , (3AC ,4, , (3BC ,0, ,
且 0340000ABBC ,
A B B C ,
ABC∴ 为直角三角形;
故选 D .
5.已知空间向量 1,0 ,1a , 1,1,bn , 3ab则向量 a 与 b ( 0 )的夹角为( )
A. 6
B. 或 5
6
C.
3
D. 或 2
3
【答案】B
【解析】 ,13ababcosabn
解得 2n , 222,? 3ncosab
代入得 3 2cos a b ,又向量夹角范围: 0,
故 ,ab的夹角为
6
,则 与 的夹角,
当 0 时为 ; 0 时为 5
6
.
故选 B.
6.已知 1,1,0AB , 0,1,2C ,若 2CDAB ,则点 的坐标为( )
A. 2,3,2 B. 2,3,2 C. 2,1,2 D. 2,1,2
【答案】D
【解析】设点 为 ,,x y z ,又 0,1,2C
∴ , 1, 2CD x y z ,
∵ 1,1,0AB , 2CD AB
∴ ,1,22, 2,0x yz
即
2
1
2
x
y
z
, D 点坐标 2,1,2
故选 D
7.已知向量 2 ,3 ,4a , 1 , ,2bm ,若 //ab,则 m ( )
A. 3
2 B. 3
2 C. 10
3 D. 10
3
【答案】B
【解析】根据 //ab,有 ab ,即 2,3,41,,2 m,
2
3
42
m
,解得
2
3
2m
.
故选 B
8.已知向量 (1,1,),(1,,1)attbtt ,则 ab 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C.2 D.4
【答案】C
【解析】由向量 ,
所以 (2,1,1)abtt ,
则 242(1)2abt ,当且仅当 1t 时取等号,
即 ab 的最小值为 2,
故选 C.
9.若向量 1,,2,2,1,2,axb 且 ,ab 夹角的余弦值 8 ,9 x为 则 等于( )
A.2 B.-2 C.-2 或 2
55 D.2 或 2
55
【答案】C
【解析】cos, abab
ab
2
6-8 ,935
x
x
解得 x=-2 或 x 2 .55
故选 C.
10.在空间直角坐标系中,正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 棱长为 2, E 为正方体的棱 1AA 的中点, F 为棱 AB 上的
一点,且 1 90C EF则点 的坐标为( )
A. 12 , ,04
B. 12 , ,03
C. 12 , ,02
D. 22 , ,03
【答案】C
【解析】由正方体的性质可得 12,0,1,0,2,2EC ,设 2, ,0Fy,则 1 2,2,1,0,,1ECEFy ,
因为 1 90C E F, 1 210ECEFy ,解得 1
2y ,则点 F 的坐标为 12 , ,02
,
故选 C.
11.如图,在边长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中, E 为 BC 的中点,点 P 在底面 A B C D 上移动,且
满足 11BPDE ,则线段 1BP的长度的最大值为( )
A. 45
5
B. C. 22 D. 3
【答案】D
【解析】如下图所示,
以点 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 1DD 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 D x y z ,
则点 1 2 ,2 ,2B 、 1 0 ,0 ,2D 、 1,2 ,0E ,设点 ,,002,02Pxyxy ,
1 1 ,2 , 2DE , 1 2,2,2BPxy ,
11D E B P , 11 2224220B PD Exyxy ,得 22xy ,
由
02
02
x
y
,得
0 2 2 2
02
y
y
,得 01y,
22 2
1 224548B Pxyyy ,
01y,当 1y 时, 1BP 取得最大值 3 .
故选 D.
12.设向量 ,,0uab , ,,1cd ,其中 2222 1abcd ,则下列判断错误的是( )
A.向量 与 轴正方向的夹角为定值(与 c 、 d 之值无关)
B. u 的最大值为 2
C. u 与 夹角的最大值为 3
4
D. ad bc 的最大值为 l
【答案】B
【解析】由向量 ( , ,0)u a b , (,,1)vcd ,其中 ,知:
在 A 中,设 z 轴正方向的方向向量 (0,0, ), 0z t t,
向量 v 与 z 轴正方向的夹角的余弦值:
22
2cos,45 2|||| 1
zvt a
zv tcd
,
∴向量 v 与 z 轴正方向的夹角为定值 45°(与 c,d 之值无关),故 A 正确;
在 B 中,
22222222
1222
acbdabcduvacbd ,
且仅当 a=c,b=d 时取等号,因此uv 的最大值为 1,故 B 错误;
在 C 中,由 B 可得:| | 1, 1 1u v u v ,
2 2 2 2
12cos , | | | | 2121
u v ac bduv uv a b c d
,
∴ u
r
与 的夹角的最大值为 3
4
,故 C 正确;
在 D 中,
22222222
1222
adbcabcdadbc ,
∴ad−bc 的最大值为 1.故 D 正确.
故选 B.
二、填空题
13.已知在空间直角坐标系 O x y z 中,点 3,5,2A , 2,7,0B ,则 AB ______.
【答案】3
【解析】 3,5,2A ,
1,2,2AB
2221 2 2 3AB
故填3
14.已知向量 1,4,3a , 2, ,6bt ,若 //ab,则实数t 的值为_______.
【答案】-8
【解析】向量 1,4,3a , 2, , 6bt , //ab,
所以存在 使 ba ,
2,,61,4,3t ,
即
2
4
63
t
,解得:
2
8t
.
故填 8
15.已知向量 (1,1,0),(1,0,2)ab ,若 k a b 与 b 互相垂直,则实数 k 的值是_______.
【答案】 5
【解析】因为 ,所以 1,,2kabkk ,
又 与 互相垂直,
所以 0ka b b ,即 ( 1 ) 4 0k ,解得: 5k .
故填 .
16.已知 3,2,3a , 1,1,1bx ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是__________.
【答案】 552,,33
【解析】由题意可知 0ab 且 a 与 b 不共线,
则 3 1 2 1 3 1 2 4 0a b x x ,解得 2x .
若 与 共线,则 111
323
x
,得 5
3x , a
r
Q 与 不共线,则 5
3x ,
因此,实数 取值范围是 .
故填 .
17.已知空间向量 (1,0,0)a , 13(,,0)22b ,若空间向量 c 满足 2ca, 5
2cb ,且对任意 ,x y R ,
0 0 0 01( , )c xa yb c x a y b x y R ,则 c __________.
【答案】 22
【解析】 空间向量 (1,0 ,0 )a , 13( , ,0)22b ,
设空间向量 ,,c m n z ,
2ca, 5
2cb ,
2m, 1 3 5
2 2 2mn
, 3n ,
空间向量 2 , 3,cz ,
又由对任意 x , yR , 001cxaybcxayb ,
则 | | 1z ,
故 22223122c ,
故填 22
18.如图,棱长为 2 的正方体 1111ABCDA BC D 中, M 是棱 1AA 的中点,点 P 在侧面 11A B B A 内,若 1DP
垂直于 CM ,则 PBC 的面积的最小值为__________.
【答案】 25
5
【解析】以 D 点为空间直角坐标系的原点,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DA 所在直线为 x 轴,以 1DD 为
z 轴,建立空间直角坐标系.则点 1(2,, ),(0,0,2)Py zD ,
所以 1 (2,,2)D Py z.
因为 (0,2,0), (2,0,1)CM,所以 (2, 2,1)CM ,
因为 1D P CM ,所以 4 2 2 0yz ,所以 22zy,
因为 B(2,2,0),所以 (0 , 2 , )B P y z,
所以 22222(2)(2)(22)5128BPyzyyyy
因为 02y,所以当 6
5y 时, min
2 55BP .
因为 BC⊥BP,所以 min
12525()2 255PBCS .
故填 25
5
.
三、解答题
19.已知向量 1,2, 2a , 4, 2,4b , 3, ,c m n .
(1)求 ab
(2)若 //ac,求 m,n.
(3)求 cos, ab
【解析】(1)∵ ,
∴ 1,2, 24, 2,414,22 , 24ab
3,4,6
(2)∵ , 2,,4cx,若 ac∥ ,则 3
122
mn
,
解之得 6m , 6n
(3)∵ , ∴ 1422248ab
2221223a , 2224246b
84cos , 3 6 9
abab
ab
20.已知向量 (2,1,2)a , (1,1,2)b , ( ,2,2)xc .
(1)当| | 2 2c 时,若向量 ka b 与 c 垂直,求实数 x 和 k 的值;
(2)若向量 c 与向量 a , b 共面,求实数 x 的值.
【解析】(1)因为| | 2 2c ,所以 22222220xx .
且 ka b ( 2 1,1 ,2 2)k k k .
因为向量 ka b 与 垂直,
所以 ( ) 0ka b c .
即 2 6 0k .
所以实数 和 k 的值分别为 0 和 3 .
(2)因为向量 与向量 , 共面,所以设 c a b
r r r
( , R ).
因为( ,2,2) ( 2, 1,2) ( 1,1,2)x ,
2,
2,
222,
x
所以
1 ,2
1 ,2
3 .2
x
所以实数 的值为 1
2 .
21.如图,直三棱柱 111ABCA BC ,底面 ABC 中, 1CACB, 90BCA ,棱 1 2AA , M 、 N 分别是
11AB 、 1AA的中点.
(1)求 BM 的长;
(2)求 11cos,BACB 的值;
(3)求证: 11A B C N .
【解析】(1)以 C 为原点,建立空间直角坐标系 C x y z .如图:
依题意得 0 ,1,0B , 1,0 ,1M ,
根据空间两点间距离公式: 222
121212dxxyyzz
2221001103BM .
(2)依题意得: 1 1,0 , 2A , , 0 ,0 ,0C , 1 0 ,1, 2B .
1 1,1,2BA , 1 0,1,2CB
uuur
, 113BACB
uuuruuur
, 1 6BA
uuur
, 1 5CB
uuur
,
11
11
11
30cos , 10
BA CBBA CB
BA CB
.
(3)依题意得 1 0,0,2C , 11,,222N
1 1,1,2AB
uuur
, 1
11,,022CN
.
11
110022A BC N
11ABCN
22.已知空间中三点 2,0,2A , 1,1,2B , 3,0,4C ,设 aAB ,bAC .
(1)若 3c ,且 //c BC ,求向量 c ;
(2)已知向量 kab 与 b 互相垂直,求 k 的值;
(3)求 ABC 的面积.
【解析】(1) 空间中三点 , , ,设 , ,
所以 1,1,22,0,21,1,0aAB ,
3,0,42,0,21,0,2bAC ,
(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC ,
3c ,且 //c B C ,设 c mB C
2,1,22,,2cmBCmmmm ,
2 2 2( 2 ) ( ) (2 ) 3 3c m m m m ,
1m , 2 ,1, 2c
r
或 2 , 1 ,2c .
(2) 1,0, 2 1 , , 21, 1,0ka b k kk , 1,0, 2b
且向量 ka b 与 b 互相垂直,
140kabb k ,解得 5k .
k 的值是 5 .
(3)因为 1,1,0AB , 1,0,2AC , 2,1,2BC
1AB AC , 22112AB , 22125AC
11cos,
|| || 2510
AB ACAB AC
ABAC
,
13sin , 1 10 10
AB AC ,
1 sin ,2ABCS AB AC AB AC
13252 10
3
2 .