2013年四川省高考数学试卷（文科） 25页

‎2013年四川省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}‎ ‎2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）‎ A．A B．B C．C D．D ‎4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜‎ ‎）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）‎ A．48 B．30 C．24 D．16‎ ‎9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）lg+lg的值是　 　．‎ ‎12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　 　．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　 　．‎ ‎14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　 　．‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．‎ ‎18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表（部分） ‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表（部分）‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．‎ ‎（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）‎ ‎20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．‎ ‎21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2013年四川省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）‎ A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3}‎ ‎【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，‎ ‎∴A∩B={2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 ‎【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．‎ ‎【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，‎ 从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，‎ 则该几何体可以是圆台．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　）‎ A．A B．B C．C D．D ‎【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可．‎ ‎【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称．‎ 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　）‎ A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B ‎【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，‎ ‎∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是：‎ ‎￢p：∃x∈A，2x∉B．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线的距离是（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线的距离．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），‎ ‎∴点F（2，0）到直线的距离d==1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．‎ ‎【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，‎ ‎∴函数的周期T满足=﹣=，‎ 由此可得T==π，解得ω=2，‎ 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）‎ 又∵当x=时取得最大值2，‎ ‎∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）‎ ‎∵，∴取k=0，得φ=﹣‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．‎ ‎【解答】解：根据题意，频率分布表可得：‎ 分组 频数 频率 ‎[0，5）‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎[5，10）‎ ‎1‎ ‎0.05‎ ‎[10，15）‎ ‎4‎ ‎0.20‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎[30，35）‎ ‎3‎ ‎0.15‎ ‎[35，40）‎ ‎2‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ 进而可以作频率直方图可得：‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　）‎ A．48 B．30 C．24 D．16‎ ‎【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域，‎ 平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8，‎ 则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8．‎ 经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16，‎ 则目标函数z=5y﹣x的最大值为16．‎ z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），‎ 则+=1，‎ ‎∴y0=，‎ ‎∴P（﹣c，），‎ 又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，‎ ‎∴kAB=kOP，即==，‎ ‎∴b=c．‎ 设该椭圆的离心率为e，则e2====，‎ ‎∴椭圆的离心率e=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1]‎ ‎【分析】根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b）‎ 其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数 因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为 ‎“存在b∈[0，1]，使f（b）=f﹣1（b）”，‎ 即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，‎ 且交点的横坐标b∈[0，1]，‎ ‎∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，‎ ‎∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，‎ 由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，‎ 根据，化简整理得ex=x2﹣x+a 记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，‎ 可得，即，解之得1≤a≤e 即实数a的取值范围为[1，e]‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．（5分）lg+lg的值是　1　．‎ ‎【分析】直接利用对数的运算性质求解即可．‎ ‎【解答】解：==1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　　．‎ ‎【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，‎ ‎∴+=，‎ 又O为AC的中点，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴+=2，‎ ‎∵+=λ，‎ ‎∴λ=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　36　．‎ ‎【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．‎ ‎【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，‎ ‎∵x∈（0，+∞），‎ ‎∴得x=3必定是函数的极值点，‎ ‎∴f′（3）=0，‎ f′（x）=4﹣，‎ 即4﹣=0，‎ 解得a=36．‎ 故答案为：36．‎ ‎【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是　　．‎ ‎【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），‎ ‎∴cosα=﹣，sinα==，‎ ‎∴tanα=﹣，‎ 则tan2α===．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　（2，4）　．‎ ‎【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，‎ P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，‎ 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．‎ ‎∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），‎ ‎∴AC，BD的方程分别为：，，‎ 即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．‎ 解方程组得Q（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（12分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．‎ ‎【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：设等比数列的公比为q，‎ 由已知可得，a1q﹣a1=2，4‎ 联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0‎ ‎∴或q=1（舍去）‎ ‎∴=‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力 ‎　‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；‎ ‎（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量在方向上的投影．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，‎ 可得，‎ 即，‎ 即，‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，‎ 由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，‎ 由余弦定理可知．‎ 解得c=1，c=﹣7（舍去）．‎ 向量在方向上的投影：=ccosB=．‎ ‎【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．‎ ‎（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；‎ ‎（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．‎ 甲的频数统计表（部分） ‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎14‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1027‎ ‎376‎ ‎697‎ 乙的频数统计表（部分）‎ 运行 次数n 输出y的值 为1的频数 输出y的值 为2的频数 输出y的值 为3的频数 ‎30‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎2100‎ ‎1051‎ ‎696‎ ‎353‎ 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．‎ ‎【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；‎ ‎（II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．‎ ‎【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=；‎ 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=；‎ 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=；‎ ‎∴输出y的值为1的概率为；输出y的值为2的概率为；输出y的值为3的概率为；‎ ‎（II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下：‎ ‎ ‎ ‎ 输出y的值为1的频率 ‎ 输出y的值为2的频率 ‎ 输出y的值为3的频率 ‎ 甲 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 乙 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．‎ ‎【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．‎ ‎（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：，其中S为底面面积，h为高）‎ ‎【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行．‎ 等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ． ‎ ‎（Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 =‎ 的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内，‎ 故直线l与平面A1BC平行．‎ 三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．‎ 再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．‎ 而AA1∩AD=A，‎ ‎∴直线l⊥平面ADD1A1 ． ‎ ‎（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC，‎ ‎∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱，‎ 故DE⊥平面AA1C1C．‎ 直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=．‎ ‎∵===1，‎ ‎∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ==••DE=×1×=．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）求k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出|OM|2与|ON|2，以及|OQ|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），‎ 根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，‎ 则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），‎ ‎∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，‎ 代入=+得：=+，‎ 即=+=，‎ 由（*）得到x1+x2=，x1x2=，‎ 代入得：=，即m2=，‎ ‎∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，‎ 由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），‎ 根据题意得点Q在圆内，即n＞0，‎ ‎∴n==，‎ 则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间；‎ ‎（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；‎ ‎（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；‎ ‎（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），‎ 函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，‎ 当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，‎ ‎∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，‎ ‎∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；‎ ‎（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，‎ 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；‎ 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；‎ 两直线重合的充要条件是，‎ 由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，‎ 令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）‎ 则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，‎ 则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，‎ ‎∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．‎ ‎【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．‎ ‎　‎