【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】 8页

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知函数f(x)=‎3‎x-‎‎3‎‎-x，‎∀a，b∈R，则“a>b“是“f(a)>f(b)‎”的(        ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎2. 如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 若x‎1‎‎=π‎4‎,x‎2‎=‎‎3π‎4‎是函数f(x)‎＝sin(ωx+φ)(ω>0)‎两个相邻的零点，则ω＝（ ） ‎ A.‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎1‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 设f(x)‎，g(x)‎，h(x)‎是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)‎，f(x)+h(x)‎，g(x)+h(x)‎均是增函数，则f(x)‎，g(x)‎，h(x)‎均是增函数；②若f(x)+g(x)‎，f(x)+h(x)‎，g(x)+h(x)‎均是以T为周期的函数，则f(x)‎，g(x)‎，h(x)‎均是以T为周期的函数，下列判断正确的是(        ) ‎ A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 ‎ ‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎5. 如关于x的不等式‎|x+1|-|ax-1|>0‎对任意x∈(0，1)‎恒成立，则a的取值范围为________. ‎ ‎ ‎ ‎6. 设实数x>0‎，若x+i‎2‎是纯虚数（其中i为虚数单位），则x=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎7. 平行于直线‎4x+3y-10=0‎，且与其距离为‎2‎的直线方程是________． ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知样本数据x‎1‎，x‎2‎，‎⋯‎，xn的平均数x‎¯‎‎=5‎，则样本数据‎2x‎1‎+1‎，‎2x‎2‎+1‎，‎…‎，‎2xn+1‎的平均数为________． ‎ ‎ ‎ ‎9. 求值sin‎61‎‎∘‎cos‎1‎‎∘‎-sin‎29‎‎∘‎sin‎1‎‎∘‎=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 若函数y=x‎2‎-2ax+a在x∈[1, 3]‎上存在反函数，且‎|a-1|+|a-3|≤4‎，则a的取值范围是________． ‎ ‎ ‎ ‎11. 若变量x，y满足约束条件y≥x，‎y≤2x，‎x+y≤4，‎则z=x-2y的最小值是________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知x∈(0, π‎2‎)‎，tanx=‎‎3‎‎4‎，则‎2sin(π-x)+sin2x‎1+cosx‎=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎13. 二项式 x-‎‎1‎‎3‎x‎8‎ 的展开式中常数项为________． ‎ ‎ ‎ ‎14. ‎△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎且满足‎(b+c)(b-c)=a(b-a)‎，则内角C等于________. ‎ ‎ ‎ ‎15. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎6‎个点的正方体玩具）先后抛掷‎2‎次，则出现向上的点数之和小于‎10‎的概率是________． ‎ ‎ ‎ ‎16. log‎2‎‎(sin‎2‎α+sec‎2‎α+‎1‎sec‎2‎α-‎1‎cot‎2‎α)=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知正数x，y满足x+y=1‎，则‎4‎x+1‎‎+‎‎9‎y+1‎的最小值是________． ‎ ‎ ‎ ‎18. 无穷数列‎{an}‎由k个不同的数组成，Sn为‎{an}‎的前n项和．若对任意n∈‎N‎*‎，Sn‎∈{2, 3}‎，则k的最大值为________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ） ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ‎ ‎19. 将边长为‎1‎的正方形AA‎1‎O‎1‎O（及其内部）绕OO‎1‎旋转一周形成圆柱，如图，AC长为‎5π‎6‎，A‎1‎B‎1‎长为π‎3‎，其中B‎1‎与C在平面AA‎1‎O‎1‎O的同侧． ‎ ‎(1)‎求圆柱的体积与侧面积；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求异面直线O‎1‎B‎1‎与OC所成的角的大小．‎ ‎ ‎ ‎20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S‎1‎和S‎2‎，其中S‎1‎中的蔬菜运到河边较近，S‎2‎中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S‎1‎和S‎2‎的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为‎(1, 0)‎，如图 ‎ ‎(1)‎求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎菜农从蔬菜运量估计出S‎1‎面积是S‎2‎面积的两倍，由此得到S‎1‎面积的经验值为‎8‎‎3‎．设M是C上纵坐标为‎1‎的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S‎1‎面积的“经验值”．‎ ‎ ‎ ‎21. 双曲线x‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)‎的左，右焦点分别为F‎1‎，F‎2‎，直线l过F‎2‎且与双曲线交于A，B两点． ‎ ‎(1)‎若l的倾斜角为π‎2‎，‎△F‎1‎AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设b=‎‎3‎，若l的斜率存在，且‎|AB|=4‎，求l的斜率．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知数列‎{an}‎是等差数列，且a‎1‎‎=2‎，a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=12‎． ‎ ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎令bn‎=an⋅‎‎2‎n，求数列‎{bn}‎的前n项和．‎ ‎ ‎ ‎23. 已知函数f(x)=x‎2‎-2ax-ln‎1‎x. ‎ ‎(1)‎当a=1‎时，求 f(x)‎的单调区间； ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若f(x)‎有两个极值点x‎1‎‎,x‎2‎(x‎1‎b“是“f(a)>f(b)‎"的充要条件. 故选C. ‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ A中，PQ // RS，B中，PQ // RS，C中，PQ与RS为异面直线，D．PQ与RS相交．‎ ‎3.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 由于x‎1‎‎=π‎4‎,x‎2‎=‎‎3π‎4‎是函数f(x)‎＝sin(ωx+φ)(ω>0)‎两个相邻的零点， 所以T‎2‎‎=‎3π‎4‎-π‎4‎=‎π‎2‎，解得T＝π， 所以ω=‎2ππ=2‎．‎ ‎4.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 解：对于①，举反例说明：f(x)=2x，g(x)=-x，h(x)=3x； f(x)+g(x)=x，f(x)+h(x)=5x，g(x)+h(x)=2x都是定义域R上的增函数， 但g(x)=-x不是增函数，所以①是假命题； 对于②，∵ f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)‎， f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)‎， h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T)‎， 前两式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)‎， 结合第三式可得：g(x)=g(x+T)‎，h(x)=h(x+T)‎， 同理可得：f(x)=f(x+T)‎，所以②是真命题． 故选D．‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ） ‎ ‎5.【答案】‎ ‎-1-1，‎对任意x∈(0，1)‎恒成立 ，‎ ‎∵ ‎1+‎2‎x>1+2=3‎，‎ ‎∴ ‎-10‎，∴ x=1‎. 故答案为：‎1‎.‎ ‎7.【答案】‎ ‎4x+3y=0‎或‎4x+3y-20=0‎ ‎【解答】‎ 解：设直线方程为‎4x+3y+c=0‎， ∵ 与直线‎4x+3y-10=0‎平行且距离为‎2‎， ∴ ‎|c+10|‎‎16+9‎‎=2‎， ∴ c=0‎或‎-20‎， ∴ 直线方程为‎4x+3y=0‎或‎4x+3y-20=0‎． 故答案为：‎4x+3y=0‎或‎4x+3y-20=0‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎8.【答案】‎ ‎11‎ ‎【解答】‎ 解：‎∵ ‎x‎1‎，x‎2‎，‎⋯‎xn的平均数为x‎¯‎‎=5‎． ‎∴ 2x‎1‎+1‎，‎2x‎2‎+1‎，‎⋯2xn+1‎的平均数为‎2×5+1=11‎． 故答案为：‎11‎．‎ ‎9.【答案】‎ ‎3‎‎2‎ ‎【解答】‎ 解：sin‎61‎‎∘‎cos‎1‎‎∘‎-sin‎29‎‎∘‎sin‎1‎‎∘‎ ‎=sin‎61‎‎∘‎cos‎1‎‎∘‎-sin‎90‎‎∘‎‎-‎‎61‎‎∘‎sin‎1‎‎∘‎=sin‎61‎‎∘‎cos‎1‎‎∘‎-cos‎61‎‎∘‎sin‎1‎‎∘‎ ‎‎=sin(‎61‎‎∘‎-‎1‎‎∘‎)=sin‎60‎‎∘‎ =‎‎3‎‎2‎. 故答案为：‎3‎‎2‎.‎ ‎10.【答案】‎ ‎[0, 1]∪[3, 4]‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 函数y=x‎2‎-2ax+a在x∈[1, 3]‎上存在反函数， ∴ 函数y=x‎2‎-2ax+a在‎[1, 3]‎上单调， ∴ 对称轴x=a在区间‎[1, 3]‎之外， ∴ a≥3‎或a≤1‎， 当a≥3‎时，有a-1+a-3≤4‎，解得‎3≤a≤4‎； 当a≤1‎时，有‎1-a+3-a≤4‎，∴ ‎0≤a≤1‎； 综上得a的取值范围是‎[0, 1]∪[3, 4]‎． 故答案为：‎[0, 1]∪[3, 4]‎．‎ ‎11.【答案】‎ ‎-4‎ ‎【解答】‎ 解：根据约束条件画出不等式组所表示的区域如图， 将z=x-2y化为y=‎1‎‎2‎x-‎1‎‎2‎z，在可行域中平移直线y=‎1‎‎2‎x， 易知当直线经过点A时，‎-‎1‎‎2‎z最大，z最小， 联立x+y=4，‎y=2x，‎解得A(‎4‎‎3‎,‎8‎‎3‎)‎， ∴ zmin‎=‎4‎‎3‎-2×‎8‎‎3‎=-4‎. 故答案为：‎-4‎.‎ ‎12.【答案】‎ ‎6‎‎5‎ ‎【解答】‎ ‎∵ x∈(0, π‎2‎)‎，tanx=sinxcosx=‎‎3‎‎4‎，sin‎2‎x+cos‎2‎x=1‎，∴ sinx=‎‎3‎‎5‎，cosx=‎‎4‎‎5‎． 则‎2sin(π-x)+sin2x‎1+cosx‎=‎2sinx+2sinxcosx‎1+cosx=2sinx=‎‎6‎‎5‎，‎ ‎13.【答案】‎ ‎28‎ ‎【解答】‎ 解：二项式  x-‎‎1‎‎3‎x‎8‎  的展开式的通项为 Tr+1‎‎=C‎8‎rx‎8-r(-1‎‎)‎rx‎(-r‎3‎)‎  ‎=C‎8‎r(-1‎‎)‎rx‎(8-‎4r‎3‎)‎， 令‎8-‎4r‎3‎=0‎，解得r=6‎， 故二项展开式的常数项C‎8‎‎6‎‎(-1‎)‎‎6‎=28‎. 故答案为：‎28‎.‎ ‎14.【答案】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 π‎3‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 根据题意得b‎2‎‎-c‎2‎=ab-‎a‎2‎, 即b‎2‎‎+a‎2‎-c‎2‎=ab. ∵ cosC=‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab， ∴ cosC=ab‎2ab=‎‎1‎‎2‎， ∴ C=‎π‎3‎. 故答案为：π‎3‎. ‎ ‎15.【答案】‎ ‎5‎‎6‎ ‎【解答】‎ 本题为古典概型，基本事件共有‎36‎个，点数之和大于等于‎10‎的有‎4,6‎，‎5,5‎，‎5,6‎，‎6,6‎，‎6,5‎，‎6,4‎，共计‎6‎个基本事件，故点数之和小于‎10‎的有‎30‎个基本事件，所求概率为‎5‎‎6‎．‎ ‎16.【答案】‎ ‎1‎ ‎【解答】‎ 解：由于：sin‎2‎α+sec‎2‎α+‎1‎sec‎2‎α-‎‎1‎cot‎2‎α ‎=sin‎2‎α+‎1‎cos‎2‎α+cos‎2‎α-sin‎2‎αcos‎2‎α=2‎， 故：log‎2‎‎(sin‎2‎α+sec‎2‎α+‎1‎sec‎2‎α-‎1‎cot‎2‎α)=log‎2‎2=1.‎ 故答案为：‎‎1.‎ ‎17.【答案】‎ ‎25‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 正数x，y满足x+y=1‎， ∴ ‎4‎x+1‎‎+‎9‎y+1‎=‎1‎‎3‎(‎4‎x+1‎+‎9‎y+1‎)(x+1+y+1)‎ ‎=‎1‎‎3‎‎13+‎4(y+1)‎x+1‎+‎‎9(x+1)‎y+1‎ ‎‎≥‎1‎‎3‎‎13+2‎‎4(y+1)‎x+1‎‎⋅‎‎9(x+1)‎y+1‎ =‎‎25‎‎3‎， 当且仅当‎4(y+1)‎x+1‎‎=‎‎9(x+1)‎y+1‎，即x=‎1‎‎5‎,y=‎‎4‎‎5‎时取等号， ∴ ‎4‎x+1‎‎+‎‎9‎y+1‎的最小值为‎25‎‎3‎． 故答案为：‎25‎‎3‎．‎ ‎18.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解：依题意得，a‎1‎‎=S‎1‎∈{2,3}‎，Sn‎∈{2,3}‎且Sn+1‎‎∈{2,3}‎， 因此an+1‎‎=Sn+1‎-Sn∈{-1,0,1}(n∈N‎*‎)‎， 即数列‎{an}‎从第‎2‎项起的不同取值不超过‎3‎个， 进而可知数列‎{an}‎中的项的所有不同取值的个数k≤4‎， 且事实上，取数列‎{an}‎为‎2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯‎， 此时相应的k=4‎，Sn‎∈{2,3}‎． 因此k的最大值是‎4‎． 故答案为：‎4‎． ‎ 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ） ‎ ‎19.【答案】‎ 解：‎(1)‎将边长为‎1‎的正方形AA‎1‎O‎1‎O（及其内部）绕OO‎1‎旋转一周形成如图的圆柱， 则圆柱的体积为：π⋅‎1‎‎2‎⋅1=π． 侧面积为：‎2π⋅1=2π．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)‎设点B‎1‎在下底面圆周的射影为B，连结BB‎1‎，OB， 则OB // O‎1‎B， ∴ ‎∠AOB=‎π‎3‎， 异面直线O‎1‎B‎1‎与OC所成的角的大小就是‎∠COB， 大小为：‎5π‎6‎‎-π‎3‎=‎π‎2‎．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎将边长为‎1‎的正方形AA‎1‎O‎1‎O（及其内部）绕OO‎1‎旋转一周形成如图的圆柱， 则圆柱的体积为：π⋅‎1‎‎2‎⋅1=π． 侧面积为：‎2π⋅1=2π．‎ ‎(2)‎设点B‎1‎在下底面圆周的射影为B，连结BB‎1‎，OB， 则OB // O‎1‎B， ∴ ‎∠AOB=‎π‎3‎， 异面直线O‎1‎B‎1‎与OC所成的角的大小就是‎∠COB， 大小为：‎5π‎6‎‎-π‎3‎=‎π‎2‎．‎ ‎20.【答案】‎ 解：‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎， 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎， 整理得：y‎2‎‎=4x，‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图，过M作MD⊥x轴， 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点， 设M(x‎0‎, 1)‎，则y‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎， ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎，则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎， 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎， 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎， S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎，S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎， ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎， 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎， 整理得：y‎2‎‎=4x，‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图，过M作MD⊥x轴， 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点， 设M(x‎0‎, y‎0‎)‎，则y‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎， ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎，则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎， 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎， 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎， S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎，S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎， ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积．‎ ‎21.【答案】‎ 解：‎(1)‎若l的倾斜角为π‎2‎，‎△F‎1‎AB是等边三角形， 把x=c=‎‎1+‎b‎2‎代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b‎2‎， 由tan∠AF‎1‎F‎2‎=tanπ‎6‎=‎3‎‎3‎=‎b‎2‎‎2‎‎1+‎b‎2‎， 求得b‎2‎‎=2‎，b=‎‎2‎， 故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±‎2‎x， 即双曲线的渐近线方程为y=±‎2‎x．‎ ‎(2)‎设b=‎‎3‎，则双曲线为x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎，F‎2‎‎(2, 0)‎， 若l的斜率存在，设l的斜率为k， 则l的方程为y-0=k(x-2)‎，即y=kx-2k， 联立y=kx-2kx‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎，可得‎(3-k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x-4k‎2‎-3=0‎， ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 由直线与双曲线有两个交点，则‎3-k‎2‎≠0‎，即k≠±‎‎3‎． Δ=36(1+k‎2‎)>0‎． x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-3‎，x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎‎4k‎2‎+3‎k‎2‎‎-3‎． ∵ ‎|AB|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎|‎ ‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎⋅‎x‎2‎  ‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎(‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-3‎‎)‎‎2‎-4⋅‎‎4k‎2‎+3‎k‎2‎‎-3‎=4‎， 化简可得，‎5k‎4‎+42k‎2‎-27=0‎，解得k‎2‎‎=‎‎3‎‎5‎， 求得k=±‎‎15‎‎5‎． ∴ l的斜率为‎±‎‎15‎‎5‎．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎若l的倾斜角为π‎2‎，‎△F‎1‎AB是等边三角形， 把x=c=‎‎1+‎b‎2‎代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b‎2‎， 由tan∠AF‎1‎F‎2‎=tanπ‎6‎=‎3‎‎3‎=‎b‎2‎‎2‎‎1+‎b‎2‎， 求得b‎2‎‎=2‎，b=‎‎2‎， 故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±‎2‎x， 即双曲线的渐近线方程为y=±‎2‎x．‎ ‎(2)‎设b=‎‎3‎，则双曲线为x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎，F‎2‎‎(2, 0)‎， 若l的斜率存在，设l的斜率为k， 则l的方程为y-0=k(x-2)‎，即y=kx-2k， 联立y=kx-2kx‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎，可得‎(3-k‎2‎)x‎2‎+4k‎2‎x-4k‎2‎-3=0‎， 由直线与双曲线有两个交点，则‎3-k‎2‎≠0‎，即k≠±‎‎3‎． Δ=36(1+k‎2‎)>0‎． x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-3‎，x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎‎4k‎2‎+3‎k‎2‎‎-3‎． ∵ ‎|AB|=‎1+‎k‎2‎⋅|x‎1‎-x‎2‎|‎ ‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎⋅‎x‎2‎  ‎=‎1+‎k‎2‎⋅‎(‎4‎k‎2‎k‎2‎‎-3‎‎)‎‎2‎-4⋅‎‎4k‎2‎+3‎k‎2‎‎-3‎=4‎， 化简可得，‎5k‎4‎+42k‎2‎-27=0‎，解得k‎2‎‎=‎‎3‎‎5‎， 求得k=±‎‎15‎‎5‎． ∴ l的斜率为‎±‎‎15‎‎5‎．‎ ‎22.【答案】‎ 解：‎(1)‎∵ 数列‎{an}‎是等差数列， 且a‎1‎‎=2‎，a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=12‎， ∴ ‎2+2+d+2+2d=12‎， 解得d=2‎， ∴ an‎=2+(n-1)×2=2n．‎ ‎(2)bn=an⋅‎2‎n=n⋅‎‎2‎n+1‎‎，‎ ‎∴ ‎Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+⋯+bn-1‎+‎bn ‎=1⋅‎2‎‎2‎+2⋅‎2‎‎3‎+3⋅‎2‎‎4‎+…+(n-1)⋅‎2‎n+n⋅‎‎2‎n+1‎‎①   ，‎ ‎2Sn=1⋅‎2‎‎3‎+2⋅‎2‎‎4‎+3⋅‎2‎‎5‎+…+(n-1)⋅‎2‎n+1‎+n⋅‎‎2‎n+2‎‎②    ，‎ ‎①-②，得 ‎-Sn=‎2‎‎2‎+‎2‎‎3‎+…+‎2‎n+1‎-n⋅‎‎2‎n+2‎ ‎=‎4(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n⋅‎‎2‎n+2‎ ‎=‎2‎n+2‎-4-n⋅‎‎2‎n+2‎‎.‎ ‎∴ Sn‎=(n-1)‎2‎n+2‎+4‎.‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎∵ 数列‎{an}‎是等差数列， 且a‎1‎‎=2‎，a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=12‎， ∴ ‎2+2+d+2+2d=12‎， 解得d=2‎， ∴ an‎=2+(n-1)×2=2n．‎ ‎(2)bn=an⋅‎2‎n=n⋅‎‎2‎n+1‎‎，‎ ‎∴ ‎Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+⋯+bn-1‎+‎bn ‎=1⋅‎2‎‎2‎+2⋅‎2‎‎3‎+3⋅‎2‎‎4‎+…+(n-1)⋅‎2‎n+n⋅‎‎2‎n+1‎‎①   ，‎ ‎2Sn=1⋅‎2‎‎3‎+2⋅‎2‎‎4‎+3⋅‎2‎‎5‎+…+(n-1)⋅‎2‎n+1‎+n⋅‎‎2‎n+2‎‎②    ，‎ ‎①-②，得 ‎-Sn=‎2‎‎2‎+‎2‎‎3‎+…+‎2‎n+1‎-n⋅‎‎2‎n+2‎ ‎=‎4(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n⋅‎‎2‎n+2‎ ‎=‎2‎n+2‎-4-n⋅‎‎2‎n+2‎‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎∴ Sn‎=(n-1)‎2‎n+2‎+4‎.‎ ‎23.【答案】‎ 解：‎(1)‎当a=1‎时，f(x)=x‎2‎-2x+lnx(x>0)‎， f‎'‎‎(x)=2x+‎1‎x-2=‎2x‎2‎-2x+1‎x=x‎2‎‎+(x-1‎‎)‎‎2‎x>0‎， ‎∴ f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增.‎ ‎(2)f‎'‎(x)=2x-2a+‎1‎x=‎‎2x‎2‎-2ax+1‎x‎， 由题意得 x‎1‎‎,‎x‎2‎是‎2x‎2‎-2ax+1=0‎的两个不相等的正实根，则x‎1‎‎+x‎2‎=a>0，‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎1‎‎2‎，‎Δ=4a‎2‎-8>0，‎ 解得 a>‎2‎,2ax‎1‎=2x‎1‎‎2‎+1,2ax‎2‎=2x‎2‎‎2‎+1‎， ‎∵ a>‎2‎,a‎2‎>‎‎2‎‎2‎,x‎1‎‎∈(0，‎2‎‎2‎)，x‎2‎∈(‎2‎‎2‎，+∞)‎. f(x‎2‎)-2f(x‎1‎)=x‎2‎‎2‎-2ax‎2‎+lnx‎2‎-2(x‎1‎‎2‎-2ax‎1‎+lnx‎1‎) =-x‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎lnx‎2‎‎2‎+1+2ln2‎， 令t=‎x‎2‎‎2‎，则t>‎‎1‎‎2‎， g(t)=-t+‎1‎‎2t+‎3‎‎2‎lnt+1+2ln2‎， g‎'‎‎(t)=-1-‎1‎‎2‎t‎2‎+‎3‎‎2t=‎-2t‎2‎+3t-1‎‎2‎t‎2‎=‎‎-(2t-1)(t-1)‎‎2‎t‎2‎， 当‎1‎‎2‎‎0‎ ；当t>1‎时， g‎'‎‎(t)<0‎. ‎∴ g(t)‎在‎(‎1‎‎2‎,1)‎上单调递增，在‎(1,+∞)‎ 上单调递减， ‎∴ g(t‎)‎max=g(1)=‎‎1+4ln2‎‎2‎, ‎∴ f(x‎2‎)-2f(x‎1‎)‎ 的最大值为 ‎1+4ln2‎‎2‎. ‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎当a=1‎时，f(x)=x‎2‎-2x+lnx(x>0)‎， f‎'‎‎(x)=2x+‎1‎x-2=‎2x‎2‎-2x+1‎x=x‎2‎‎+(x-1‎‎)‎‎2‎x>0‎， ‎∴ f(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递增.‎ ‎(2)f‎'‎(x)=2x-2a+‎1‎x=‎‎2x‎2‎-2ax+1‎x‎， 由题意得 x‎1‎‎,‎x‎2‎是‎2x‎2‎-2ax+1=0‎的两个不相等的正实根，则x‎1‎‎+x‎2‎=a>0，‎x‎1‎‎⋅x‎2‎=‎1‎‎2‎，‎Δ=4a‎2‎-8>0，‎ 解得 a>‎2‎,2ax‎1‎=2x‎1‎‎2‎+1,2ax‎2‎=2x‎2‎‎2‎+1‎， ‎∵ a>‎2‎,a‎2‎>‎‎2‎‎2‎,x‎1‎‎∈(0，‎2‎‎2‎)，x‎2‎∈(‎2‎‎2‎，+∞)‎. f(x‎2‎)-2f(x‎1‎)=x‎2‎‎2‎-2ax‎2‎+lnx‎2‎-2(x‎1‎‎2‎-2ax‎1‎+lnx‎1‎) =-x‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎lnx‎2‎‎2‎+1+2ln2‎， 令t=‎x‎2‎‎2‎，则t>‎‎1‎‎2‎， g(t)=-t+‎1‎‎2t+‎3‎‎2‎lnt+1+2ln2‎， g‎'‎‎(t)=-1-‎1‎‎2‎t‎2‎+‎3‎‎2t=‎-2t‎2‎+3t-1‎‎2‎t‎2‎=‎‎-(2t-1)(t-1)‎‎2‎t‎2‎， 当‎1‎‎2‎‎0‎ ；当t>1‎时， g‎'‎‎(t)<0‎. ‎∴ g(t)‎在‎(‎1‎‎2‎,1)‎上单调递增，在‎(1,+∞)‎ 上单调递减， ‎∴ g(t‎)‎max=g(1)=‎‎1+4ln2‎‎2‎, ‎∴ f(x‎2‎)-2f(x‎1‎)‎ 的最大值为 ‎1+4ln2‎‎2‎.‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页