2019届二轮复习三角函数求值问题-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板学案（全国通用） 15页

‎【高考地位】‎ 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 切割化弦 使用情景：一般三角求值类型 解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系，将题设中的切化成弦的形式；‎ 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系；‎ 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.‎ 例1【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考数学（文）试题】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B学 ]‎ ‎【变式演练1】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，将原式上下同时除以，即，故选C.‎ 考点：同角三角函数基本关系学 ‎ ‎【变式演练2】已知，则（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ]‎ 考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.‎ 方法二 统一配凑 使用情景：一类特殊三角求值类型 解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；‎ 第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转 化为已知条件中的三角函数值；‎ 第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.‎ 例2【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考（一）数学文试题】设为锐角，若，则的值为 学 ‎ A. B. C. D. ]‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一步，观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；‎ 第二步，利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转 化为已知条件中的三角函数值；‎ 第三步，利用三角恒等变换即可得出所求结果.‎ ‎【变式演练3】设，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：同角间的三角函数关系及两角和差的正弦公式.‎ ‎【变式演练4】已知则 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ 考点：两角和的正切公式.学 ‎ 方法三 公式活用 例3 求值：‎ ‎（1）‎ ‎（2） ‎ ‎【答案】‎ 考点：三角函数基本公式及诱导公式.‎ ‎【变式演练5】下列式子结果为的是（ ）‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④.‎ A. ①② B. ③ C. ①②③ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【高考再现】‎ ‎1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由公式可得.‎ 详解：，‎ 故答案为B.‎ 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.‎ ‎2. 【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，得或，所以，故选A．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．学 ‎ ‎【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎4.【2017山东，文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】二倍角公式 ‎【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．学 学 ]‎ ‎5.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．‎ ‎6. 【2015高考福建，文6】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】同角三角函数基本关系式．‎ ‎【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在、、三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．‎ ‎7.（2018年全国卷II文）已知，则 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.‎ 详解：，‎ 解方程得.学 ‎ 点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.‎ ‎8.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，= .‎ ‎【答案】‎ ‎ .‎ ‎9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.‎ 详解：解：（1）因为，，所以．‎ 因为，所以，‎ 因此，．‎ 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学 ‎ ‎10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.‎ 详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，‎ 所以.‎ 点睛：三角函数求值的两种类型：‎ ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若， ，则的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以，‎ 且，‎ 所以，选B.‎ 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将拆成.‎ 2． ‎【山西省2018年高考考前适应性测试文 数学试题】已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选 ‎3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得，故选C. 学 ‎ ‎4.【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学】已知，则 ( )‎ A． B． C． D． 6‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎5．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 分 综合卷 理 数学（三）】已知， （其中， ， ），则的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎6．【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设，若，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 所以原式等于 ‎ 而 ， ‎ ‎ ，‎ 又因为，所以，可求得 ，‎ 那么，‎ 那么，故选B.‎ ‎7．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知， ，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.学 ‎ 8． ‎【重庆市綦江区2017—2018学年度第一学期期末联考数学试题】已知，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9．【2018届北京市十一学校高三年级3月文 零模试卷】已知那么的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 当在第二象限时， ‎ 当在第四象限时， ‎ 所以填.‎ ‎10．【宁夏石嘴山市第三中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题】‎ ‎ .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎11．【重庆市綦江区2017—2018学年度第一学期期末联考数学试题】已知 ‎（1）求的值;‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由求得，从而可判断为负值，利用平方关系可求得的值；（2）令，则， ，利用二倍角的余弦公式可得结果.‎ 试题解析：（1） ‎ ‎（2）令，则 ‎12．【江苏省常州第一中学2017-2018学年高一年级第二次调研测试数学试题】‎ ‎（1）化简： ， ，求cos ；‎ ‎（2）已知求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和即可得解；学 ‎ ‎（2）由及，结合角的范围，即可得和.‎ ‎（2）∵ ∴‎ 又，∴， ‎ 而 ∴，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎