【数学】2020届一轮复习人教A版集合的含义与表示课时作业 6页

‎1.下列各组对象能组成一个集合的是(　　)‎ ‎①某中学高一年级所有聪明的学生;②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于3的正整数;④的所有近似值.‎ A.①② B.③④ C.②③ D.①③‎ 解析:①④不符合集合中元素的确定性.故选C.‎ 答案:C ‎2.下列集合中为⌀的是(　　)‎ A.{0} B.{⌀}‎ C.{x|x2+4=0} D.{x|x+1≤2x}‎ 解析:集合{0}中有一个元素0;集合{⌀}中有一个元素⌀;集合{x|x+1≤2x}表示满足不等式x+1≤2x的x的集合,不是空集;集合{x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的解集,而该方程无解,故该集合为⌀.‎ 答案:C ‎3.(改编题)下列集合的表示方法中,不同于其他三个的是 (　　)‎ A.{x|x=2 018} ‎ B.{2 018}‎ C.{x=2 018} ‎ D.{y|(y-2 018)2=0}‎ 解析:A,B,D对应的集合中只有一个元素2018,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素,而不是实数2018,故选项C与其他三个选项不同.‎ 答案:C ‎4.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是(　　)‎ A.1 B.-2 C.6 D.2‎ 解析:当a=1时,由a2=1,2-a=1,4组成一个集合A,A中含有2个元素;‎ 当a=-2时,由a2=4,2-a=4,4组成一个集合A,A中含有1个元素;‎ 当a=6时,由a2=36,2-a=-4,4组成一个集合A,A中含有3个元素;‎ 当a=2时,由a2=4,2-a=0,4组成一个集合A,A中含有2个元素.故选C.‎ 答案:C ‎5.定义集合运算A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为(　　)‎ A.0 B.6 ‎ C.12 D.18‎ 解析:根据A☉B的定义,当x=0时z=0;当x=1时,若y=2,则z=6,若y=3,则z=12.‎ 因此集合A☉B的所有元素和为18.‎ 答案:D ‎6.由下列对象组成的集体属于集合的是　　　　　(填序号). ‎ ‎①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.‎ 解析:①④中的对象是确定的,可以组成集合,②③中的对象是不确定的,不能组成集合.‎ 答案:①④‎ ‎7.用列举法写出集合=　　　　　. ‎ 解析:∵∈Z,x∈Z,‎ ‎∴3能被3-x整除,即3-x为3的因数.‎ ‎∴3-x=±1或3-x=±3.‎ ‎∴=±3或=±1.‎ 综上可知,-3,-1,1,3满足题意.‎ 答案:{-3,-1,1,3}‎ ‎8.已知集合A={x|mx2+2x+2=0}中有两个元素,则实数m满足的条件为　　　　　. ‎ 解析:由题意知m≠0且Δ=4-8m>0,解得m<,且m≠0.‎ 答案:m<,且m≠0‎ ‎9.用另一种方法表示下列集合:‎ ‎(1){-3,-1,1,3,5};‎ ‎(2){1,22,32,42,…};‎ ‎(3)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;‎ ‎(4)集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={x2-1|x∈A},写出集合B.‎ 解:(1){x|x=2k-1,k∈Z,且-1≤k≤3}.‎ ‎(2){x|x=n2,n∈N+}.‎ ‎(3)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.‎ ‎(4)因为A={-2,-1,0,1,2},‎ 所以B={3,0,-1}.‎ ‎10.导学号85104002已知集合A由3个元素:a2,a+1,0构成,且1∈A,试求实数a的值.‎ 解:因为1∈A,所以a2=1或a+1=1.‎ 若a2=1,则a=±1.‎ 当a=1时,集合A中的元素是1,2,0,符合要求;‎ 当a=-1时,集合A中的元素是1,0,0,不符合元素的互异性.‎ 若a+1=1,则a=0,集合A中的元素是0,1,0,不符合元素的互异性.‎ 综上可知,实数a的值为1.‎ B组　能力提升 ‎1.若{b}={x|ax2-4x+1=0}(a,b∈R),则a+b等于(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D.‎ 解析:∵{b}={x|ax2-4x+1=0},‎ ‎∴ax2-4x+1=0只有一个实数根.‎ 当a=0时,{b}=,此时a+b=;‎ 当a≠0时,Δ=16-4a=0,‎ ‎∴a=4,此时b=.‎ ‎∴a+b=4+.故a+b=或a+b=.‎ 答案:B ‎2.已知集合A的元素满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1),当∈A时,则集合A中元素的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:∵∈A,∴=2∈A.‎ ‎∵2∈A,∴=-3∈A.‎ ‎∵-3∈A,∴=-∈A.‎ ‎∵-∈A,∴∈A.‎ ‎∴集合A中有-3,-,2四个元素.‎ 答案:D ‎3.已知集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},C={x|x=4a+1,a∈Z}.若m∈A,n∈B,则有(　　)‎ A.m+n∈A B.m+n∈B C.m+n∈C D.m+n不属于A,B,C中的任意一个 解析:由m∈A,可设m=2a1,a1∈Z.由n∈B,可设n=2a2+1,a2∈Z.所以得到m+n=2(a1+a2)+1,且a1+a2∈Z,所以m+n∈B,故选B.‎ 答案:B ‎4.已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则M=　　　　　. ‎ 解析:若x,y,z都大于零,则代数式的值为4;若x,y,z都小于零,则代数式的值为-4;其他情况均为0,故M={-4,0,4}.‎ 答案:{-4,0,4}‎ ‎5.定义非空数集的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}.若A={1,2,3},B={1,2},则A*B的所有元素之和为　　　　　. ‎ 解析:由定义可知A*B={2,3,4,5},故A*B的所有元素之和为2+3+4+5=14.‎ 答案:14‎ ‎6.(开放题)对于一个集合S,若a∈S时,有∈S,则称这样的数集为“可倒数集”,试写出一个“可倒数集”:　　　　　. ‎ 答案:(答案不唯一)‎ ‎7.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下四个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②正整数集是闭集合;③无理数集是闭集合;④集合A={x|x=3k,k∈Z}为闭集合,其中正确的是　　　　　.(填序号) ‎ 解析:①中取a=-4,b=4,则a-b=-8∉A,故①不成立;②中取a=1,b=3,此时a-b=-2不是正整数,故②不成立;③中取a=1+,b=1-,则a+b=2∉A,故③不成立;④中取a=3k1(k1∈Z),b=3k2(k2∈Z),则a+b=3(k1+k2)∈A,a-b=3(k1-k2)∈A,故④成立.‎ 答案:④‎ ‎8.(信息题)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1∉A,且k+1∉A,则称k是A的一个“孤立元”.给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},在由S的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为　　　　　. ‎ 解析:题目中的“孤立元”的含义就是不相邻,所以不含“孤立元”的集合中的元素必是连续的三个数,共有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}这6个.‎ 答案:6‎ ‎9.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A.‎ ‎(1)若3∈A,求集合A;‎ ‎(2)证明:若a∈A,则1-∈A;‎ ‎(3)集合A能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.‎ ‎(1)解:∵3∈A,∴=-∈A,‎ ‎∴∈A,‎ ‎∴=3∈A,∴A=.‎ ‎(2)证明:∵a∈A,∴∈A,‎ ‎∴=1-∈A.‎ ‎(3)解:假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.‎ ‎∵Δ=(-1)2-4=-3<0,‎ ‎∴a2-a+1=0无实数解.‎ 这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,‎ ‎∴假设不成立,即集合A不能只有一个元素.‎ ‎10.导学号85104003已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a的值,并用列举法表示集合M.‎ 解:根据集合中元素的互异性知,当方程(x-a)(x2-ax+a-1)=0有重根时,重根只能算作集合的一个元素,又M={x|(x-a)(x-1)[x-(a-1)]=0}.‎ 当a=1时,M={1,0},不符合题意;‎ 当a-1=1,即a=2时,M={1,2},符合题意;‎ 当a≠1,且a≠2时,a+1+a-1=3,则a=,M=,符合题意.‎ 综上所述,实数a的值为2或,‎ 当a=2时,M={1,2};当a=时,M=.‎