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- 2021-07-01 发布
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2020 年河东区高考模拟考试数学试卷
一、选择题:本题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分,每小题给出的四个选项只
有一个符合题目要求.
1.已知集合 { 2, 3, 4,4,5}A , { || 1| }B x x ,则 A B ( )
A. { 2, 3,4} B. { 2,4,5}
C. { 1, 2, 3, 4,0,1,2,3,4,5} D. { 2,4}
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出集合 { |1 1}B x x ,然后利用集合的交运算即可求解.
【详解】由 { 2, 3, 4,4,5}A , { || 1| } { |1 1}B x x x x ,
所以 A B { 2,4} .
故选:D
【点睛】本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式,属于基础题.
2.i 是虚数单位,复数 z 满足条件 2 | | 2z z i ,则复数 z 在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
设出复数 ,z x yi x y R ,代入等式,利用复数相等求出 ,x y ,再利用复数的几何意义
即可求解.
【详解】设 ,z x yi x y R ,
由 2 | | 2z z i ,所以 2 22 2x yi x y i
即 2 22 2 2x x y yi i ,
所以
2 22 0
2 2
x x y
y
,解得
3
3
1
x
y
,
所以复数在复平面内对应的点为 3 ,13
,
即复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限.
故选:B
【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等,属于基础题.
3.双曲线
2 2
2 1( 0)5
x y aa
的一条渐近线与直线 5y x 垂直,则 a 的值为( )
A. 5 B. 25 C. 5 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出双曲线的渐近线 5y xa
,再利用直线垂直,斜率之积等于 1 即可求解.
【详解】双曲线方程:
2 2
2 1( 0)5
x y aa
,
则双曲线的渐近线为: 5y xa
,
由一条渐进线与直线 5y x 垂直,
则 5 5 1a
,解得 5a .
故选:A
【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系,属于基础题.
4.已知平面 a , ,直线l ,直线 m 不在平面 上,下列说法正确的是( )
A. 若 // , //m ,则 //l m B. 若 // ,m ,则l m
C. 若 // , //l m ,则 //m D. 若 , //l m m ,则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线、面之间的位置关系,逐一判断即可求解.
【详解】对于 A,若 // , //m ,则 l 与 m 平行或者相交,故 A 不正确;
对于 B,若 // ,m ,利用面面平行的性质定理可得l m ,故 B 正确;
对于 C,若 // , //l m ,则 //m 或 m ,故 C 不正确;
对于 D,若 , //l m m ,则 与 相交或平行,故 D 不正确;
故选:B
【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,属于基础题.
5.对于非零向量 a 、 b ,“ 2a b ”是“ a ,b 共线”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】由 2a b ,则 a 、 b 共线同向,充分性满足;
非零向量 a 、 b ,当 a , b 共线时,则b a R ,必要性不满足;
故“ 2a b ”是“ a , b 共线”的充分不必要条件.
故选:B
【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理,理解充分条件、必要条件
的定义是解题的关键,属于基础题.
6.已知函数 f x 为定义在[ 3,3] 的奇函数,且 (2) (1) (3) 0f f f ,则下列各式中一定
成立的是( )
A. 2 1
3
1(1) log (0) log 98f f f f
B.
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
C. 1 2
3
log 9 ( 1) (1) log 8f f f f
D.
1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质以及奇函数的性质,结合 (2) (1) (3) 0f f f f 即可求解.
【详解】由函数 f x 为定义在[ 3,3] 的奇函数,则 0 0f ,且 f x f x ,
因为 (2) (1) (3) 0f f f ,则 (2) (1) (3) 0f f f f ,
对于 A, 2 1
3
1(1) log (0) log 98f f f f
,即 3 2(1) (0)f f f f ,
即 31) ( 2( 0)f f f f ,根据不等式的性质可知 A 不正确;
对于 B, 1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
,即 2 1 3 0f f f f ,
即 2 1 3 0f f f f ,由已知可知 2 1 3 0f f f f ,故 B 不正确;
对于 C, 1 2
3
log 9 ( 1) (1) log 8f f f f
,即 ( 1) (12 3)f f f f ,
即 (1) 12 3( )f f f f ,即 (3) 2 (2 1)f f f ,根据不等式的性质可知 C 不正确;
对于 D, 1 2
3
1log 9 ( 1) log (0)8f f f f
,即 ( 1)2 (0)3f f f f ,
即 (1) ( )2 03f f f f ,根据不等式的性质,不等式满足同向相加,可知 D 正确;
故选:D
【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式性质以及对数的运算性质,属于基础题.
7.
△
ABC 中, , ,A B C 对应的边分别为 , ,a b c , 2
3A , 3b ,三角形 ABC 的面积
为15 3
4
,则边 a 的长为( )
A. 19 B. 91
2
C. 7 D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用三角形的面积公式 1 15 3sin2 4ABCS bc A
,求出 5c ,再利用余弦定理即可求
解.
【详解】由 2
3A , 3b ,
则 1 15 3sin2 4ABCS bc A
,解得 5c ,
在
△
ABC 中,由余弦定理可得:
2 2 2 12 cos 9 25 2 3 5 492a b c bc A
,
解得 7a .
故选:C
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理,需熟记公式与定理,属于基础题.
8.已知实数 , , 0a b ab ,则 2 2 2 2 4
ab
a b a b
的最大值为( )
A. 1
6 B. 1
4 C. 1
7 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
将式子同除 ab ,利用基本不等式即可求解.
【详解】 22 2 2
1
44
ab
a ba b a b abb a ab
,
又 0ab ,则 0a
b
, 0b
a
,
所以 4 42 2 6a b a bab abb a ab b a ab
,
所以 22 2 2
1
4 6
ab
a b a b
,
当且仅当 2a b 取等号.
故选:A
【点睛】本题考查了基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.
9.已知函数 13( ) sin 4 0,3 24f x x x
,函数 ( ) ( )g x f x a 有 3 个零点 1x , 2x ,
3x ,则 1 2 3x x x 的取值范围是( )
A. 10 7,3 2
B. 7 5,12 8
C. 50, 8
D.
7 5,12 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 13( ) sin 4 0,3 24f x x x
,求解内层函数的范围,可得 f x 的图像,函数
( ) ( )g x f x a 有 3 个零点,转化为 f x 与函数 y a 有三个交点问题,即可求解.
【详解】不妨设 1 2 3x x x ,
函数 13( ) sin 4 0,3 24f x x x
,
可得 543 3 2x ,
令 4 3x t ,
函数 g t f t a a R 恰有三个零点,
转化为 f t 与函数 y a 有三个交点问题,
根据三角函数的图像与性质可得:
2 3
1 3
2 2t t , 13 2t ,
2 3 3t t ,即 2 3
7
12x x ,
那么 143 3 2x ,解得 10 24x ,
则 1 2 3x x x 的取值范围是 7 5,12 8
.
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,解题的关键是等价转化,将零点问题转化为两
个函数的交点问题,属于中档题.
二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.)
10. 5y( x )2
的展开式 3xy 的系数为______.
【答案】 5
4
【解析】
【分析】
写出二项式展开式的通项公式,令 y 的指数为 3,从而求得指定项的系数.
【详解】 5y( x )2
的展开式的通项为
5 r
r 5 r r r r r2
r 1 5 5
y 1T C ( x) ( ) ( ) C x y2 2
.
取 r 3 ,可得 5y( x )2
的展开式 3xy 的系数为 3 3
5
1 5( ) C2 4
.
故答案为 5
4
.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的系数,考查指数式的运算,属于基础题.
11.已知抛物线的焦点为 10, 2F
,点 (1, )P t 在抛物线上,则点 P 、 F 的距离为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据焦点可得抛物线的标准方程,将点 (1, )P t 代入可求出 t ,再利用焦半径公式即可求解.
【详解】抛物线的焦点为 10, 2F
,则抛物线的标准方程为: 2 2x y ,
因为点 (1, )P t 在抛物线上,所以1 2t ,解得 1
2t ,
所以 1 1 1 12 2 2 2
pPF .
故答案为:1
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式,需熟记抛物线的标准方程的四种形式,
焦半径公式,属于基础题.
12.已知圆O 过点 (0,0), (0,4), (1,1)A B C ,点 (3,4)D 到圆O 上的点最小距离为________.
【答案】 5
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出圆的方程,求出圆的圆心 O 与半径,求出 OD 减去半径即可求解.
【详解】设圆的一般方程为: 2 2 0x y Dx Ey F ,
因为圆O 过点 (0,0), (0,4), (1,1)A B C ,
所以
0
16 4 0
1 1 0
F
E F
D E F
,解得 2D , 4E , 0F ,
所以圆的方程为: 2 2 2 4 0x y x y ,
整理可得 2 21 2 5x y ,
所以圆的圆心 1,2O ,半径 5r ,
所以点 (3,4)D 到圆 O 上的点最小距离为: 2 21 3 2 4 5 5 .
故答案为: 5
【点睛】本题考查了待定系数法求圆的一般方程、标准方程,圆上的点到定点的距离最值,
两点间的距离公式,属于基础题.
13.正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 8
3
,以底面中心为球心,经过四棱锥四条侧棱的中
点的球的表面积为________.
【答案】 6
【解析】
【分析】
首先利用棱锥的体积公式求出棱锥的底边边长以及棱锥的高,在 Rt POC 中,求出
2cos
6
PCO ,在 OCN 中,利用余弦定理求出半径 ON ,再利用球的表面积公式即可
求解.
【详解】如图,设正四棱锥的边长为 a ,
则 31 1 8
3 3 3P ABCD ABCDV S a a ,解得 2a ,
所以 2OC , 6PC ,
在 Rt POC 中, 2cos
6
OCPCO PC
,
N 为 PC 的中点, 6
2CN ,且 R CN ,
在 OCN 中,由余弦定理可得:
2 2 2 6 6 2 32 cos 2 2 24 2 26
ON CN CO CN CO OCN .
所以 2 3=4 4 62S R 球 .
故答案为: 6
【点睛】本题主要考查了椎体的体积公式,球的表面积公式以及余弦定理解三角形,考查了
学生的空间想象能力,属于中档题.
14.如图,圆O 内接正三角形 ABC 边长为 2,圆心为O ,则OB OC ________.若线段 BC 上
一点 D , 1
2BD DC ,OC AD ________.
【答案】 (1). 2
3
(2). 2
3
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出外接圆半径 2 3
3R ,根据圆周角定理可得 2
3BOC ,再由向量数量
积 的 定 义 即 可 求 解 ; 根 据 向 量 的 减 法 可 得
OC AD OC OD OA OC OC CD OC OA
,再利用向量的数量积即可求解.
【详解】设 ABC 外接圆半径为 R ,则 OA OB OC R
,
在正三角形 ABC 中,由正弦定理可得:
42
3sin 3
ABR ,解得 2 3
3R ,
22 3BOC BAC ,
所以 2 2cos 3 3OB OC OB OC
.
由 2
3OB OCOC OA
所以 OC AD OC OD OA OC OC CD OC OA
2 2
3OC OC CD
4 2 4 2 2cos cos3 6 3 3 3 6 3CO CD CO CB
4 4 2 2
3 3 3 3
.
故答案为: 2
3
; 2
3
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、向量的加减法、正弦定理求外接圆半径,属于
中档题.
15.函数 2 3f x x g x x x , ,,若存在 1 2
90 2nx x x
, , , , 使得
1 2 1 1 2 1n n n nf x f x f x g x g x g x g x f x ,则 n 的最大值
为___.
【答案】8
【解析】
【分析】
由已知得 2 2 2 2
1 2 12 ( 1) [( 1) ( 1) ( 1) ]n nn x x x x ,又 1x , 2x , , 90, 2nx
,
可求 n 的最大值.
【详解】解: 2
1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 3n n n n nf x f x f x g x x x x x x ,
2 2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( 1)n n n n ng x g x g x f x x x x x x x n x ,
2 2 2 2
1 2 1( 1) ( 1) ( 1) 2( 2) ( 1)n nx x x n x ,
2 2 2 2
1 2 12 2 ( 1) [( 1) ( 1) ( 1) ]n nn x x x x
当 1 2 1 1nx x x , 9
2nx 时, 29 492( 2) ( 1)2 4maxn ,
492 2 4n ,又 n NQ , 8maxn .
【点睛】本题考查参数的最值,配方是关键,考查推理能力和计算能力,属中档题.
三、解答题:(本大题 5 个题,共 75 分)
16.已知递增等差数列 na ,等比数列 nb ,数列 nc , 1 1 1a c , 4 9c , 1a 、 2a 、 5a 成
等比数列, n n nb a c , *n N .
(1)求数列 na 、{ }nb 的通项公式;
(2)求数列 nc 的前 n 项和 nS .
【答案】(1) *2 1na n n N , 2n
nb ;(2) 1 22 2n
nS n ( *n N )
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列的通项公式以及 2
2 1 5a a a 可求出 d ,由题意利用等比数列的通项公式可求
出 q,从而求出 na 、{ }nb 的通项公式.
(2)利用分组求和以及等差数列、等比数列的前 n 项和公式即可求解.
【详解】(1)由已知, 1 ( 1)na n d , 2
2 1 5a a a .
解为 2d 或 0(舍), *2 1na n n N
1 1 1 2b a c , 12 n
nb q , 4 4 4 16b a c ,解 2q = , 2n
nb
(2) 2 (2 1)n
n n nc b a n
2
1 2 2 1 2 3 2 (2 1)n
n nS c c c n
2 1 22 2 2 [1 3 (2 1)] 2 2n nn n *n N
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式以及等比数列的通项公式、前 n 项和
公式,分组求和法,属于基础题.
17.2020 年 1 月 1 日《天津日报》发表文章总结天津海河英才计划成果“厚植热土 让天下才天
津用”——我市精细服务海河英才优化引才结构.“海河英才”行动计划,紧紧围绕“一基地三区”
定位,聚焦战略性新兴产业人才需求,大力、大胆集聚人才.政策实施 1 年半以来,截至 2019
年 11 月 30 日,累计引进各类人才落户 23.5 万人.具体比例如图所示,新引进两院院士,长江
学者,杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才 112 人.记者李军计划从人才库中随机选取一
部分英才进行跟踪调查采访.
(1)李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人,技能型人才 3 人,资格型人才 1 人,周二和周五
随机进行采访,每天 4 人(4 人顺序任意),周五采访学历型人才人数不超过 2 人的概率;
(2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴,学历型人才 500 元/人,技能型人才 400 元
/人,资格型人才 600 元/人,则创业型急需型人才最少补贴多少元/人使每名人才平均采访补贴
费用大于等于 500 元/人?
【答案】(1) 53
70
;(2)855.56 元/人
【解析】
【分析】
(1)利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.
(2)设创业型急需型人才最少补贴 x 元/人,列出分布列,求出数学期望 ( )E ,使 ( ) 0E
解不等式即可求解.
【详解】(1)事件 A “周五采访学历型人才人数不超过 2 人”的概率
4 1 3 2 2
4 4 4 4 4
4
8
53( ) 70
C C C C CP A C
(2)各类人才的补贴数额为随机变量 ,
取值分别为 400、500、600、 x 分布列为:
400 500 600 x
P
25.5% 53.6% 19.1% 1.8%
( ) 400 0.255 500 0.536 600 0.191 0.018 484.6 0.018E x x
484.6 0.018 500x ,解为 7700 (855.56)9x ,
所以创业型急需型人才最少补贴855.56 元/人,
才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/人
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、数学期望、组合数,考查了学生的基本运算
能力,属于基础题.
18.如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 平面 ABCD ,正方形 ABCD 边长为 2,E 是 PA 的
中点.
(1)求证: //PC 平面 BDE ;
(2)求证:直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值为 10
10
,求 PA 的长度;
(3)若 2PA ,线段 PC 上是否存在一点 F ,使 AF 平面 BDE ,若存在求 PF 的长度,
若不存在则说明.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析,2 或 4;(3)存在, 2 3
3PF
【解析】
【分析】
(1)以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ,求出 ( , 2,2)PC a ,平面 BDE 法向量 1n
ur ,
利用 1 4 2 2 0PC n ,即可证出.
(2)求出平面 PCD法向量 2n
uur , ,0, 22
aBE
,由
2
2
2
| | 10sin | cos , | 10| || |
BE nBE n
BE n
,利用空间向量的数量积即可求解.
(3)假设存在,设 PF PC ,由(1)平面 BDE 法向量 1 ( 2,1, 1)n ,
(2 2 , 2 ,2 )AF ,由向量共线可得 2 2 2
2 1
,解方程即可求解.
【详解】(1)由 PA 平面 ABCD ,CD 平面 ABCD ,所以 PA CD ,
因为 ABCD 为正方形,所以CD DA ,
又 PA DA A ,
所以CD 平面 ADP .
如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz
(0,2,0)A , (0,2,2)B , (0,0,2)C , (0,0,0)D ,
( ,2,0)( 0)P a a , ,2,02
aE
( , 2,2)PC a
设平面 BDE 法向量为 1 0 0 0, ,n x y z
ur
(0,2,2)DB , ,2,02
aDE
0 0
0 0
2 2 0
2 02
y z
a x y
令 0 1y , 1
4 ,1, 1n a
1 4 2 2 0PC n , PC 平面 BDE , / /PC 平面 BDE
(2)设平面 PCD法向量为 2 1 1 1, ,n x y z ,
(0,0,2)DC , ( ,2,0)DP a ,
1
1 1
2 0
2 0
z
ax y
,令 1 2x , 2 (2, ,0)n a ,
,0, 22
aBE
,设直线 BE 与平面 PCD所成角为
2
2 2
2 2
| | 10sin |cos , | 10| || | 4 44
BE n aBE n
BE n a a
解得 2a 或 4,所以 PA 长为 2 或 4
(3)存在, 2a , (2,2,0)P , PF PC , (2 2 ,2 2 ,2 )F ,
1 ( 2,1, 1)n , (2 2 , 2 ,2 )AF , 2 2 2
2 1
,
解得 1
3
, 2 3
3PF .
【点睛】本题考查了空间向量法证明线面平行、根据线面角求线段长度、利用法向量求线面
垂直,解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,属于中档题.
19.已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 (c,0)F ,左右顶点分别为 A , B ,上顶点为
C , 120BFC
(1)求椭圆离心率;
(2)点 F 到直线 BC 的距离为 21
7
,求椭圆方程;
(3)在(2)的条件下,点 P 在椭圆上且异于 A 、 B 两点,直线 AP 与直线 2x 交于点 D ,
说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并证明.
【答案】(1) 1
2
;(2)
2 2
14 3
x y ;(3)相切,证明见解析
【解析】
【分析】
(1)由已知根据椭圆的定义可得 CF a ,从而可得 cos60ce a
即可求解.
(2)利用点斜式求出直线 BC 的方程,再利用点到直线的距离公式可得
3( ) 21
77
a cd ,结合 1
2
c
a
即可求解.
(3)设直线 : ( 2)( 0)APl y k x k ,将直线与椭圆联立,利用韦达定理求出点 P 坐标,再
求出圆心,分类讨论 1
2k 或 1
2k ,求出直线 PF 的方程, 再利用点 E 到直线 PF 的距
离与半径作比较即可证出.
【详解】(1)由已知, 1cos60 2
ce a
(2) ( ,0), (0, )B a C b ,直线 3: ( )2BCl y x a ,
即 3 2 3 0x y a
则点 F 到直线 BC 的距离 3( ) 21
77
a cd ,
解为 2a , 1c ,椭圆方程为
2 2
14 3
x y
(3)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切,
证明:直线 : ( 2)( 0)APl y k x k
2 2
( 2)
3 4 12
y k x
x y
交点为 , ,p pA P x y
得 2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k ,
2 2
2 2
16 12 6 82 ,4 3 4 3p p
k kx xk k
,
2
122 4 3p p
ky k x k
, (1,0)F ,点 (2,4 )D k , BD 中点圆心 (2,2 )E k
当 1
2k 时,点 31, 2P
,直线 : 1PFl x ,圆心(2, 1) ,半径 1,与直线相切;
当 1
2k 时, 2
4
1 1 4
p
PF
p
y kk x k
, 2
4: ( 1)1 4PF
kl y xk
点 E 到直线 PF 的距离
2
22
1 42 2 14 | 2 |
1 41 4
E PF
k kkd k
k
k
为半径,得证.
【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的
定值问题,考查了考生的计算能力,属于难题.
20.已知函数 2( ) lnf x x x k x , 0k .
(1)函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线的斜率为 2,求 k 的值;
(2)讨论函数 ( )f x 的单调性;
(3)若函数 ( )f x 有两个不同极值点为 1x 、 2x ,证明: 1 2
1 24f x f x k .
【答案】(1) 1k ;(2)当 1
8k 时,在 (0, ) 单调递增;当 10 8k 时,在 1 1 80, 4
k
,
1 1 8 ,4
k
单调递增,在 1 1 8 1 1 8,4 4
k k
单调递减;(3)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出导函数 f x ,利用导数的几何意义 (1) 2f 即可求解.
(2)令 ( ) 2 1 0kf x x x
,化简 22 0x x k ,判别式 1 8k ,讨论 的正负,
从而确定 ( )f x 的正负,利用导数与函数单调性的关系即可求解.
(3)由(2)可知, 10 8k , 2 1f x f x ,由 1
1 1 8
4
kx , 2
1 1 8
4
kx ,
求出 1 2f x f x [ln(1 ) ln(11 8 1 )]4 8 1 8k k kk ,利用换元法令
( ,1 )8 0 1kt ,将不等式转化为
2
[ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tk t t ,不妨设
2
( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tg t k t t ,利用导数证出函数 ( )g t 在 (0,1) 单调递增,由
( ) (0) 0g t g 即可证出.
【详解】(1) ( ) 2 1 ( 0)kf x x xx
, (1) 1 2f k ,∴ 1k
(2)令 ( ) 2 1 0kf x x x
即 22 0x x k , 1 8k
当 1
8k 时, 0 , ( ) 0f x , ( )f x 在 (0, ) 单调递增
当 10 8k 时, , 1 2 02
kx x , 1 2
1 02x x , 1 2, 0x x
1
1 1 8
4
kx , 2
1 1 8
4
kx , 1 2x x
( )f x 在 1 1 80, 4
k
, 1 1 8 ,4
k
单调递增
在 1 1 8 1 1 8,4 4
k k
单调递减.
(3)由(2)可知, 10 8k , 2 1f x f x ,
2 2 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
ln 1 lnx xf x f x x x x x k x x x x kx x
1 8 1 8 1 81ln [ln(1 ) ln(1 )]4 4 1 8 1
11
8
8
k kk k k k k
k
,
令 ( ,1 )8 0 1kt
则 21 1 8 124 4 4
kk t ,只需证明
2
[ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tk t t
2
( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4
t tg t k t t ,(只需证明 ( ) 0g t 即可)
2
1 1 1 1 2( ) 2 4 1 1 2 4 1
t t kg t k t t t
21 1 (1 8 ) 8t k k ,
∴ ( ) 02
tg t , ( )g t 在(0,1) 单调递增
( ) (0) 0g t g ,得证.
【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用、利用导数证明单调
性,考查了分类讨论的思想,属于难题.