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  • 2021-07-01 发布

天津市河东区2020届高三数学高考模拟试题(Word版附解析)

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2020 年河东区高考模拟考试数学试卷 一、选择题:本题共 9 个小题,每小题 5 分,共 45 分,每小题给出的四个选项只 有一个符合题目要求. 1.已知集合 { 2, 3, 4,4,5}A     , { || 1| }B x x    ,则 A B  ( ) A. { 2, 3,4}  B. { 2,4,5} C. { 1, 2, 3, 4,0,1,2,3,4,5}    D. { 2,4} 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出集合 { |1 1}B x x      ,然后利用集合的交运算即可求解. 【详解】由 { 2, 3, 4,4,5}A     , { || 1| } { |1 1}B x x x x          , 所以 A B  { 2,4} . 故选:D 【点睛】本题考查了集合的交运算、绝对值的几何意义解不等式,属于基础题. 2.i 是虚数单位,复数 z 满足条件 2 | | 2z z i  ,则复数 z 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 设出复数  ,z x yi x y R   ,代入等式,利用复数相等求出 ,x y ,再利用复数的几何意义 即可求解. 【详解】设  ,z x yi x y R   , 由 2 | | 2z z i  ,所以   2 22 2x yi x y i    即 2 22 2 2x x y yi i    , 所以 2 22 0 2 2 x x y y      ,解得 3 3 1 x y      , 所以复数在复平面内对应的点为 3 ,13      , 即复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限. 故选:B 【点睛】本题考查了复数的几何意义、复数模的运算、复数相等,属于基础题. 3.双曲线 2 2 2 1( 0)5 x y aa    的一条渐近线与直线 5y x 垂直,则 a 的值为( ) A. 5 B. 25 C. 5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求出双曲线的渐近线 5y xa   ,再利用直线垂直,斜率之积等于 1 即可求解. 【详解】双曲线方程: 2 2 2 1( 0)5 x y aa    , 则双曲线的渐近线为: 5y xa   , 由一条渐进线与直线 5y x 垂直, 则 5 5 1a     ,解得 5a  . 故选:A 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线垂直斜率之间的关系,属于基础题. 4.已知平面 a ,  ,直线l  ,直线 m 不在平面 上,下列说法正确的是( ) A. 若 // , //m   ,则 //l m B. 若 // ,m   ,则l m C. 若 // , //l m   ,则 //m  D. 若 , //l m m  ,则  【答案】B 【解析】 【分析】 根据线、面之间的位置关系,逐一判断即可求解. 【详解】对于 A,若 // , //m   ,则 l 与 m 平行或者相交,故 A 不正确; 对于 B,若 // ,m   ,利用面面平行的性质定理可得l m ,故 B 正确; 对于 C,若 // , //l m   ,则 //m  或 m  ,故 C 不正确; 对于 D,若 , //l m m  ,则 与  相交或平行,故 D 不正确; 故选:B 【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,属于基础题. 5.对于非零向量 a 、 b ,“ 2a b  ”是“ a ,b 共线”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量共线定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由 2a b  ,则 a 、 b 共线同向,充分性满足; 非零向量 a 、 b ,当 a , b 共线时,则b a    R ,必要性不满足; 故“ 2a b  ”是“ a , b 共线”的充分不必要条件. 故选:B 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义、向量共线定理,理解充分条件、必要条件 的定义是解题的关键,属于基础题. 6.已知函数  f x 为定义在[ 3,3] 的奇函数,且 (2) (1) (3) 0f f f   ,则下列各式中一定 成立的是( ) A. 2 1 3 1(1) log (0) log 98f f f f            B. 1 2 3 1log 9 ( 1) log (0)8f f f f             C.  1 2 3 log 9 ( 1) (1) log 8f f f f          D. 1 2 3 1log 9 ( 1) log (0)8f f f f             【答案】D 【解析】 【分析】 利用对数的运算性质以及奇函数的性质,结合  (2) (1) (3) 0f f f f   即可求解. 【详解】由函数  f x 为定义在[ 3,3] 的奇函数,则  0 0f  ,且    f x f x   , 因为 (2) (1) (3) 0f f f   ,则  (2) (1) (3) 0f f f f   , 对于 A, 2 1 3 1(1) log (0) log 98f f f f            ,即    3 2(1) (0)f f f f    , 即    31) ( 2( 0)f f f f   ,根据不等式的性质可知 A 不正确; 对于 B, 1 2 3 1log 9 ( 1) log (0)8f f f f             ,即        2 1 3 0f f f f      , 即        2 1 3 0f f f f   ,由已知可知        2 1 3 0f f f f   ,故 B 不正确; 对于 C,  1 2 3 log 9 ( 1) (1) log 8f f f f          ,即    ( 1) (12 3)f f f f     , 即    (1) 12 3( )f f f f   ,即   (3) 2 (2 1)f f f  ,根据不等式的性质可知 C 不正确; 对于 D, 1 2 3 1log 9 ( 1) log (0)8f f f f             ,即    ( 1)2 (0)3f f f f     , 即    (1) ( )2 03f f f f   ,根据不等式的性质,不等式满足同向相加,可知 D 正确; 故选:D 【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式性质以及对数的运算性质,属于基础题. 7. △ ABC 中, , ,A B C   对应的边分别为 , ,a b c , 2 3A   , 3b  ,三角形 ABC 的面积 为15 3 4 ,则边 a 的长为( ) A. 19 B. 91 2 C. 7 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用三角形的面积公式 1 15 3sin2 4ABCS bc A  ,求出 5c  ,再利用余弦定理即可求 解. 【详解】由 2 3A   , 3b  , 则 1 15 3sin2 4ABCS bc A  ,解得 5c  , 在 △ ABC 中,由余弦定理可得: 2 2 2 12 cos 9 25 2 3 5 492a b c bc A               , 解得 7a  . 故选:C 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理,需熟记公式与定理,属于基础题. 8.已知实数 , , 0a b ab  ,则 2 2 2 2 4 ab a b a b   的最大值为( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 将式子同除 ab ,利用基本不等式即可求解. 【详解】 22 2 2 1 44 ab a ba b a b abb a ab       , 又 0ab  ,则 0a b  , 0b a  , 所以 4 42 2 6a b a bab abb a ab b a ab         , 所以 22 2 2 1 4 6 ab a b a b    , 当且仅当 2a b  取等号. 故选:A 【点睛】本题考查了基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题. 9.已知函数 13( ) sin 4 0,3 24f x x x               ,函数 ( ) ( )g x f x a  有 3 个零点 1x , 2x , 3x ,则 1 2 3x x x  的取值范围是( ) A. 10 7,3 2       B. 7 5,12 8       C. 50, 8    D. 7 5,12 8     【答案】D 【解析】 【分析】 根据 13( ) sin 4 0,3 24f x x x               ,求解内层函数的范围,可得  f x 的图像,函数 ( ) ( )g x f x a  有 3 个零点,转化为  f x 与函数 y a  有三个交点问题,即可求解. 【详解】不妨设 1 2 3x x x  , 函数 13( ) sin 4 0,3 24f x x x               , 可得 543 3 2x     , 令 4 3x t  , 函数      g t f t a a R   恰有三个零点, 转化为  f t 与函数 y a  有三个交点问题, 根据三角函数的图像与性质可得:  2 3 1 3 2 2t t   , 13 2t   , 2 3 3t t    ,即 2 3 7 12x x   , 那么 143 3 2x     ,解得 10 24x   , 则 1 2 3x x x  的取值范围是 7 5,12 8     . 故选:D 【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,解题的关键是等价转化,将零点问题转化为两 个函数的交点问题,属于中档题. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.) 10. 5y( x )2  的展开式 3xy 的系数为______. 【答案】 5 4  【解析】 【分析】 写出二项式展开式的通项公式,令 y 的指数为 3,从而求得指定项的系数. 【详解】 5y( x )2  的展开式的通项为 5 r r 5 r r r r r2 r 1 5 5 y 1T C ( x) ( ) ( ) C x y2 2        . 取 r 3 ,可得 5y( x )2  的展开式 3xy 的系数为 3 3 5 1 5( ) C2 4    . 故答案为 5 4  . 【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的系数,考查指数式的运算,属于基础题. 11.已知抛物线的焦点为 10, 2F       ,点 (1, )P t 在抛物线上,则点 P 、 F 的距离为________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据焦点可得抛物线的标准方程,将点 (1, )P t 代入可求出 t ,再利用焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点为 10, 2F       ,则抛物线的标准方程为: 2 2x y  , 因为点 (1, )P t 在抛物线上,所以1 2t  ,解得 1 2t   , 所以 1 1 1 12 2 2 2 pPF       . 故答案为:1 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式,需熟记抛物线的标准方程的四种形式, 焦半径公式,属于基础题. 12.已知圆O 过点 (0,0), (0,4), (1,1)A B C ,点 (3,4)D 到圆O 上的点最小距离为________. 【答案】 5 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出圆的方程,求出圆的圆心 O 与半径,求出 OD 减去半径即可求解. 【详解】设圆的一般方程为: 2 2 0x y Dx Ey F     , 因为圆O 过点 (0,0), (0,4), (1,1)A B C , 所以 0 16 4 0 1 1 0 F E F D E F            ,解得 2D  , 4E   , 0F  , 所以圆的方程为: 2 2 2 4 0x y x y    , 整理可得   2 21 2 5x y    , 所以圆的圆心  1,2O  ,半径 5r  , 所以点 (3,4)D 到圆 O 上的点最小距离为:    2 21 3 2 4 5 5      . 故答案为: 5 【点睛】本题考查了待定系数法求圆的一般方程、标准方程,圆上的点到定点的距离最值, 两点间的距离公式,属于基础题. 13.正四棱锥的高与底面边长相等且体积为 8 3 ,以底面中心为球心,经过四棱锥四条侧棱的中 点的球的表面积为________. 【答案】 6 【解析】 【分析】 首先利用棱锥的体积公式求出棱锥的底边边长以及棱锥的高,在 Rt POC 中,求出 2cos 6 PCO  ,在 OCN 中,利用余弦定理求出半径 ON ,再利用球的表面积公式即可 求解. 【详解】如图,设正四棱锥的边长为 a , 则 31 1 8 3 3 3P ABCD ABCDV S a a      ,解得 2a  , 所以 2OC  , 6PC  , 在 Rt POC 中, 2cos 6 OCPCO PC    , N 为 PC 的中点, 6 2CN  ,且 R CN , 在 OCN 中,由余弦定理可得: 2 2 2 6 6 2 32 cos 2 2 24 2 26 ON CN CO CN CO OCN            . 所以 2 3=4 4 62S R    球 . 故答案为: 6 【点睛】本题主要考查了椎体的体积公式,球的表面积公式以及余弦定理解三角形,考查了 学生的空间想象能力,属于中档题. 14.如图,圆O 内接正三角形 ABC 边长为 2,圆心为O ,则OB OC   ________.若线段 BC 上 一点 D , 1 2BD DC ,OC AD   ________. 【答案】 (1). 2 3  (2). 2 3 【解析】 【分析】 利用正弦定理求出外接圆半径 2 3 3R  ,根据圆周角定理可得 2 3BOC   ,再由向量数量 积 的 定 义 即 可 求 解 ; 根 据 向 量 的 减 法 可 得    OC AD OC OD OA OC OC CD OC OA                  ,再利用向量的数量积即可求解. 【详解】设 ABC 外接圆半径为 R ,则 OA OB OC R     , 在正三角形 ABC 中,由正弦定理可得: 42 3sin 3 ABR   ,解得 2 3 3R  , 22 3BOC BAC     , 所以 2 2cos 3 3OB OC OB OC         . 由 2 3OB OCOC OA        所以    OC AD OC OD OA OC OC CD OC OA                  2 2 3OC OC CD            4 2 4 2 2cos cos3 6 3 3 3 6 3CO CD CO CB           4 4 2 2 3 3 3 3     . 故答案为: 2 3  ; 2 3 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、向量的加减法、正弦定理求外接圆半径,属于 中档题. 15.函数     2 3f x x g x x x   , ,,若存在 1 2 90 2nx x x       , , , , 使得                1 2 1 1 2 1n n n nf x f x f x g x g x g x g x f x        ,则 n 的最大值 为___. 【答案】8 【解析】 【分析】 由已知得 2 2 2 2 1 2 12 ( 1) [( 1) ( 1) ( 1) ]n nn x x x x          ,又 1x , 2x , , 90, 2nx      , 可求 n 的最大值. 【详解】解: 2 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 3n n n n nf x f x f x g x x x x x x          , 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3( 1)n n n n ng x g x g x f x x x x x x x n x              , 2 2 2 2 1 2 1( 1) ( 1) ( 1) 2( 2) ( 1)n nx x x n x          ,   2 2 2 2 1 2 12 2 ( 1) [( 1) ( 1) ( 1) ]n nn x x x x           当 1 2 1 1nx x x     , 9 2nx  时, 29 492( 2) ( 1)2 4maxn     ,   492 2 4n  „ ,又 n NQ , 8maxn  . 【点睛】本题考查参数的最值,配方是关键,考查推理能力和计算能力,属中档题. 三、解答题:(本大题 5 个题,共 75 分) 16.已知递增等差数列 na ,等比数列 nb ,数列 nc , 1 1 1a c  , 4 9c  , 1a 、 2a 、 5a 成 等比数列, n n nb a c  , *n N . (1)求数列 na 、{ }nb 的通项公式; (2)求数列 nc 的前 n 项和 nS . 【答案】(1) *2 1na n n N   , 2n nb  ;(2) 1 22 2n nS n   ( *n N ) 【解析】 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式以及 2 2 1 5a a a 可求出 d ,由题意利用等比数列的通项公式可求 出 q,从而求出 na 、{ }nb 的通项公式. (2)利用分组求和以及等差数列、等比数列的前 n 项和公式即可求解. 【详解】(1)由已知, 1 ( 1)na n d   , 2 2 1 5a a a . 解为 2d  或 0(舍), *2 1na n n N   1 1 1 2b a c   , 12 n nb q  , 4 4 4 16b a c   ,解 2q = , 2n nb  (2) 2 (2 1)n n n nc b a n     2 1 2 2 1 2 3 2 (2 1)n n nS c c c n             2 1 22 2 2 [1 3 (2 1)] 2 2n nn n          *n N 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式以及等比数列的通项公式、前 n 项和 公式,分组求和法,属于基础题. 17.2020 年 1 月 1 日《天津日报》发表文章总结天津海河英才计划成果“厚植热土 让天下才天 津用”——我市精细服务海河英才优化引才结构.“海河英才”行动计划,紧紧围绕“一基地三区” 定位,聚焦战略性新兴产业人才需求,大力、大胆集聚人才.政策实施 1 年半以来,截至 2019 年 11 月 30 日,累计引进各类人才落户 23.5 万人.具体比例如图所示,新引进两院院士,长江 学者,杰出青年科学基金获得者等顶尖领军人才 112 人.记者李军计划从人才库中随机选取一 部分英才进行跟踪调查采访. (1)李军抽取了 8 人其中学历型人才 4 人,技能型人才 3 人,资格型人才 1 人,周二和周五 随机进行采访,每天 4 人(4 人顺序任意),周五采访学历型人才人数不超过 2 人的概率; (2)李军抽取不同类型的人才有不同的采访补贴,学历型人才 500 元/人,技能型人才 400 元 /人,资格型人才 600 元/人,则创业型急需型人才最少补贴多少元/人使每名人才平均采访补贴 费用大于等于 500 元/人? 【答案】(1) 53 70 ;(2)855.56 元/人 【解析】 【分析】 (1)利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解. (2)设创业型急需型人才最少补贴 x 元/人,列出分布列,求出数学期望 ( )E  ,使 ( ) 0E   解不等式即可求解. 【详解】(1)事件 A “周五采访学历型人才人数不超过 2 人”的概率 4 1 3 2 2 4 4 4 4 4 4 8 53( ) 70 C C C C CP A C    (2)各类人才的补贴数额为随机变量 , 取值分别为 400、500、600、 x 分布列为:  400 500 600 x P 25.5% 53.6% 19.1% 1.8% ( ) 400 0.255 500 0.536 600 0.191 0.018 484.6 0.018E x x          484.6 0.018 500x  ,解为 7700 (855.56)9x  , 所以创业型急需型人才最少补贴855.56 元/人, 才能使每名人才平均采访补贴费用大于等于 500 元/人 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、数学期望、组合数,考查了学生的基本运算 能力,属于基础题. 18.如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA  平面 ABCD ,正方形 ABCD 边长为 2,E 是 PA 的 中点. (1)求证: //PC 平面 BDE ; (2)求证:直线 BE 与平面 PCD所成角的正弦值为 10 10 ,求 PA 的长度; (3)若 2PA  ,线段 PC 上是否存在一点 F ,使 AF  平面 BDE ,若存在求 PF 的长度, 若不存在则说明. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析,2 或 4;(3)存在, 2 3 3PF  【解析】 【分析】 (1)以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ,求出 ( , 2,2)PC a   ,平面 BDE 法向量 1n ur , 利用 1 4 2 2 0PC n      ,即可证出. (2)求出平面 PCD法向量 2n uur , ,0, 22 aBE       ,由 2 2 2 | | 10sin | cos , | 10| || | BE nBE n BE n            ,利用空间向量的数量积即可求解. (3)假设存在,设 PF PC  ,由(1)平面 BDE 法向量 1 ( 2,1, 1)n    , (2 2 , 2 ,2 )AF      ,由向量共线可得 2 2 2 2 1    ,解方程即可求解. 【详解】(1)由 PA  平面 ABCD ,CD 平面 ABCD ,所以 PA CD , 因为 ABCD 为正方形,所以CD DA , 又 PA DA A  , 所以CD  平面 ADP . 如图以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz (0,2,0)A , (0,2,2)B , (0,0,2)C , (0,0,0)D , ( ,2,0)( 0)P a a  , ,2,02 aE     ( , 2,2)PC a   设平面 BDE 法向量为  1 0 0 0, ,n x y z ur (0,2,2)DB  , ,2,02 aDE       0 0 0 0 2 2 0 2 02 y z a x y     令 0 1y  , 1 4 ,1, 1n a       1 4 2 2 0PC n      , PC 平面 BDE , / /PC 平面 BDE (2)设平面 PCD法向量为  2 1 1 1, ,n x y z , (0,0,2)DC  , ( ,2,0)DP a , 1 1 1 2 0 2 0 z ax y     ,令 1 2x  , 2 (2, ,0)n a  , ,0, 22 aBE       ,设直线 BE 与平面 PCD所成角为 2 2 2 2 2 | | 10sin |cos , | 10| || | 4 44 BE n aBE n BE n a a               解得 2a  或 4,所以 PA 长为 2 或 4 (3)存在, 2a  , (2,2,0)P , PF PC  , (2 2 ,2 2 ,2 )F     , 1 ( 2,1, 1)n    , (2 2 , 2 ,2 )AF      , 2 2 2 2 1    , 解得 1 3   , 2 3 3PF  . 【点睛】本题考查了空间向量法证明线面平行、根据线面角求线段长度、利用法向量求线面 垂直,解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,属于中档题. 19.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 (c,0)F ,左右顶点分别为 A , B ,上顶点为 C , 120BFC   (1)求椭圆离心率; (2)点 F 到直线 BC 的距离为 21 7 ,求椭圆方程; (3)在(2)的条件下,点 P 在椭圆上且异于 A 、 B 两点,直线 AP 与直线 2x  交于点 D , 说明 P 运动时以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并证明. 【答案】(1) 1 2 ;(2) 2 2 14 3 x y  ;(3)相切,证明见解析 【解析】 【分析】 (1)由已知根据椭圆的定义可得 CF a ,从而可得 cos60ce a   即可求解. (2)利用点斜式求出直线 BC 的方程,再利用点到直线的距离公式可得 3( ) 21 77 a cd   ,结合 1 2 c a  即可求解. (3)设直线 : ( 2)( 0)APl y k x k   ,将直线与椭圆联立,利用韦达定理求出点 P 坐标,再 求出圆心,分类讨论 1 2k   或 1 2k   ,求出直线 PF 的方程, 再利用点 E 到直线 PF 的距 离与半径作比较即可证出. 【详解】(1)由已知, 1cos60 2 ce a    (2) ( ,0), (0, )B a C b ,直线 3: ( )2BCl y x a  , 即 3 2 3 0x y a   则点 F 到直线 BC 的距离 3( ) 21 77 a cd   , 解为 2a  , 1c  ,椭圆方程为 2 2 14 3 x y  (3)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切, 证明:直线 : ( 2)( 0)APl y k x k   2 2 ( 2) 3 4 12 y k x x y      交点为  , ,p pA P x y 得 2 2 2 24 3 16 16 12 0k x k x k     , 2 2 2 2 16 12 6 82 ,4 3 4 3p p k kx xk k      ,   2 122 4 3p p ky k x k     , (1,0)F ,点 (2,4 )D k , BD 中点圆心 (2,2 )E k 当 1 2k   时,点 31, 2P    ,直线 : 1PFl x  ,圆心(2, 1) ,半径 1,与直线相切; 当 1 2k   时, 2 4 1 1 4 p PF p y kk x k    , 2 4: ( 1)1 4PF kl y xk   点 E 到直线 PF 的距离 2 22 1 42 2 14 | 2 | 1 41 4 E PF k kkd k k k            为半径,得证. 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系中的 定值问题,考查了考生的计算能力,属于难题. 20.已知函数 2( ) lnf x x x k x   , 0k  . (1)函数 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线的斜率为 2,求 k 的值; (2)讨论函数 ( )f x 的单调性; (3)若函数 ( )f x 有两个不同极值点为 1x 、 2x ,证明:    1 2 1 24f x f x k   . 【答案】(1) 1k  ;(2)当 1 8k  时,在 (0, ) 单调递增;当 10 8k  时,在 1 1 80, 4 k       , 1 1 8 ,4 k       单调递增,在 1 1 8 1 1 8,4 4 k k         单调递减;(3)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)求出导函数  f x ,利用导数的几何意义 (1) 2f   即可求解. (2)令 ( ) 2 1 0kf x x x      ,化简 22 0x x k   ,判别式 1 8k   ,讨论  的正负, 从而确定 ( )f x 的正负,利用导数与函数单调性的关系即可求解. (3)由(2)可知, 10 8k  ,    2 1f x f x ,由 1 1 1 8 4 kx   , 2 1 1 8 4 kx   , 求出    1 2f x f x [ln(1 ) ln(11 8 1 )]4 8 1 8k k kk        ,利用换元法令 ( ,1 )8 0 1kt   ,将不等式转化为 2 [ln(1 ) ln(1 )]4 4 t tk t t     ,不妨设 2 ( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4 t tg t k t t      ,利用导数证出函数 ( )g t 在 (0,1) 单调递增,由 ( ) (0) 0g t g  即可证出. 【详解】(1) ( ) 2 1 ( 0)kf x x xx      , (1) 1 2f k    ,∴ 1k  (2)令 ( ) 2 1 0kf x x x      即 22 0x x k   , 1 8k   当 1 8k  时, 0  , ( ) 0f x  , ( )f x 在 (0, ) 单调递增 当 10 8k  时,   , 1 2 02 kx x   , 1 2 1 02x x   , 1 2, 0x x  1 1 1 8 4 kx   , 2 1 1 8 4 kx   , 1 2x x ( )f x 在 1 1 80, 4 k       , 1 1 8 ,4 k       单调递增 在 1 1 8 1 1 8,4 4 k k         单调递减. (3)由(2)可知, 10 8k  ,    2 1f x f x ,         2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ln 1 lnx xf x f x x x x x k x x x x kx x            1 8 1 8 1 81ln [ln(1 ) ln(1 )]4 4 1 8 1 11 8 8 k kk k k k k k               , 令 ( ,1 )8 0 1kt   则 21 1 8 124 4 4 kk t   ,只需证明 2 [ln(1 ) ln(1 )]4 4 t tk t t     2 ( ) [ln(1 ) ln(1 )]4 4 t tg t k t t      ,(只需证明 ( ) 0g t  即可) 2 1 1 1 1 2( ) 2 4 1 1 2 4 1 t t kg t k t t t              21 1 (1 8 ) 8t k k     , ∴ ( ) 02 tg t   , ( )g t 在(0,1) 单调递增 ( ) (0) 0g t g  ,得证. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用、利用导数证明单调 性,考查了分类讨论的思想,属于难题.