【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量的概念及线性运算课时作业 6页

‎1．下列各式中不能化简为的是(　　)‎ A. ＋(＋)‎ B．(＋)＋(－)‎ C. －＋ D. ＋－ 解析：选D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；‎ ‎(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；‎ －＋＝＋＝；‎ ＋－＝－，‎ 显然由－得不出，‎ 所以不能化简为的式子是D.‎ ‎2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)‎ A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a|‎ D．|－λa|≥|λ|a 解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．‎ ‎3．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)‎ A.＝－　　　　 B.＝－ C.＝－ D.＝－ 解析：选A.＝＋＝－＝－－＝－，选A.‎ ‎4．(2019·山东临沂模拟)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)‎ A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1‎ C．λμ＝－1 D．λμ＝1‎ 解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以∥.设＝m(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.‎ ‎5．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)‎ A．a B．b C．c D．0‎ 解析：选D.依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.‎ ‎6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．‎ 解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3＜||＜13.综上可知3≤||≤13.‎ 答案：[3，13]‎ ‎7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝‎ ‎－a－b.‎ 答案：b－a　－a－b ‎8．(2019·豫西五校联考)若M是△ABC的边BC上的一点，且＝3，设＝λ＋μ，则λ的值为________．‎ 解析：由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，则＝＝＝，从而＝，又＝λ＋μ＝＋＝＋，所以λ＝.‎ 答案： ‎9.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b.‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎10．设a，b是不共线的两个非零向量．‎ ‎(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；‎ ‎(2)若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．‎ 解：(1)证明：由已知得，‎ ＝－＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，＝－＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，‎ 故＝－2，‎ 又与有公共点B，所以A，B，C三点共线．‎ ‎(2)＝＋＝3a－2b，＝2a－kb.‎ 因为A、C、D三点共线，所以＝λ，即3a－2b＝2λa－kλb，‎ 所以所以 综上，k的值为.‎ ‎1．(2019·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.‎ ‎2．(2019·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；‎ ‎②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；‎ ‎③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；‎ ‎④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．‎ 其中为真命题的有________(填上序号)．‎ 解析：由向量的平行四边形法则知道，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量．所以①是真命题；若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题．‎ 答案：①②③‎ ‎4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，‎ 所以＝2.‎ 因为点E在线段CD上，‎ 所以＝λ(0≤λ≤1)．‎ 因为＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ 所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.‎ 答案： ‎5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.‎ ‎(1)用a，b表示；‎ ‎(2)证明A，M，C三点共线．‎ 解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，‎ 又E为AD中点，‎ 所以＝＝a＋b，‎ 因为EF是梯形的中位线，且＝2，‎ 所以＝(＋)＝＝a，‎ 又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＋a ‎＝a＋b.‎ ‎(2)证明：由(1)知＝＝a，‎ 所以＝＋＝a＋b＝，‎ 又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．‎ ‎6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎ 证明：充分性：若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．‎ 必要性：若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎ 所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.‎