【数学】2020届数学文一轮复习第二章第9讲函数模型及其应用作业 6页

1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个 函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2 B．y＝1 2(x2－1) C．y＝log2x D．y＝log 1 2 x 解析：选 B．由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且 y 的变化随 x 的增大而增大 得越来越快，分析选项可知 B 符合，故选 B． 2．某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年 年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是 ( ) 解析：选 A．前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A、C 图象符 合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A． 3．一种放射性元素的质量按每年 10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初 质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到 0.1，已知 lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( ) A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3 解析：选 B．设这种放射性元素的半衰期是 x 年，则(1－10%)x＝1 2 ，化简得 0.9x＝1 2 ，即 x＝log0.9 1 2 ＝ lg1 2 lg 0.9 ＝ －lg 2 2lg 3－1 ＝ －0.301 0 2×0.477 1－1 ≈6.6(年)．故选 B． 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的， 按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费 16m 元， 则该职工这个月实际用水为( ) A．13 m3 B．14 m3 C．18 m3 D．26 m3 解析：选 A．设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y＝ mx(010)， 则 10m＋(x－10)·2m＝16m， 解得 x＝13. 5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这 些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x， y 应为( ) A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解析：选 A．由三角形相似得24－y 24－8 ＝ x 20.得 x＝5 4(24－y)，所以 S＝xy＝－5 4(y－12)2＋180， 所以当 y＝12 时，S 有最大值，此时 x＝15.检验符合题意． 6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2016 年 5 月 1 日 12 35 000 2016 年 5 月 15 日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为________升． 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了 48 升油，说明这段时间总耗油量为 48 升， 而行驶的路程为 35 600－35 000＝600(千米)，故每 100 千米平均耗油量为 48÷6＝8(升)． 答案：8 7．某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价 付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过 部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了________km. 解析：设出租车行驶 x km 时，付费 y 元， 则 y＝ 9，0＜x≤3， 8＋2.15(x－3)＋1，3＜x≤8， 8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1，x＞8， 由 y＝22.6，解得 x＝9. 答案：9 8．里氏震级 M 的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最 大振幅，A0 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000， 此时标准地震的振幅为 0.001，则此次地震的震级为________级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍． 解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6. 设 9 级地震的最大振幅和 5 级地震的最大振幅分别为 A1，A2， 则 9＝lg A1－lg A0＝lg A1 A0 ，则A1 A0 ＝109， 5＝lg A2－lg A0＝lg A2 A0 ，则A2 A0 ＝105，所以A1 A2 ＝104. 即 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍． 答案：6 10 000 9．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每 毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次 后治疗疾病有效的时间． 解：(1)由题图，设 y＝ kt，0≤t≤1， 1 2 t－a ，t＞1， 当 t＝1 时，由 y＝4 得 k＝4， 由 1 2 1－a ＝4 得 a＝3. 所以 y＝ 4t，0≤t≤1， 1 2 t－3 ，t＞1. (2)由 y≥0.25 得 0≤t≤1， 4t≥0.25 或 t＞1， 1 2 t－3 ≥0.25， 解得 1 16 ≤t≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5－ 1 16 ＝79 16(小时)． 10．某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨，同时蓄 水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 6t 吨(0≤t≤24)， (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 24 小时内， 有几小时出现供水紧张现象． 解：(1)设 t 小时后蓄水池中的存水量为 y 吨， 则 y＝400＋60t－120 6t； 令 6t＝x，则 x2＝6t，即 y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40， 所以当 x＝6，即 t＝6 时，ymin＝40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池存水量最少，只有 40 吨． (2)令 400＋10x2－120x<80，即 x2－12x＋32<0， 解得 40，解得 x>2.3. 因为 x∈N*，所以 3≤x≤6，x∈N*. 当 x>6 时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有 3x2－68x＋115<0. 又 x∈N*，所以 6185， 所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多． 6．(2019·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人 民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西 红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋4 2a，Q＝1 4a＋120，设甲大棚的投入为 x(单元：万元)， 每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元)． (1)求 f(50)的值； (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入 50 万元， 则乙大棚投入 150 万元， 所以 f(50)＝80＋4 2×50＋1 4 ×150＋120＝277.5(万元)． (2)f(x)＝80＋4 2x＋1 4(200－x)＋120＝－1 4x＋4 2x＋250， 依题意得 x≥20， 200－x≥20 ⇒ 20≤x≤180， 故 f(x)＝－1 4x＋4 2x＋250(20≤x≤180)． 令 t＝ x，则 t∈[2 5，6 5]，y＝－1 4t2＋4 2t＋250＝－1 4(t－8 2)2＋282， 当 t＝8 2，即 x＝128 时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282. 所以甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为 282 万元．