2019-2020学年湖北省黄冈市浠水实验高中高一上学期10月月考数学试题（解析版） 12页

‎2019-2020学年湖北省黄冈市浠水实验高中高一上学期10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，结合P+Q的计算方法，可得P+Q，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q={1，2，6，3，4，8，7，11}，‎ 其中有8个元素，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，是新定义题型，关键是理解集合P+Q的含义，并注意集合中元素的性质．‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 因为函数，所以应满足，解得，故函数的定义域为，故选A.‎ ‎3．若关于的不等式的解集为或,则实数的值为（ ）‎ A．1 B．0 C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简不等式,根据不等式的解集可以求出实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 它的解集为或,所以有且方程的根为2,因此有 ‎,符合,所以实数的值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了已知分式不等式的解集求参数问题,考查了数学运算能力.‎ ‎4．若函数在实数集上是增函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据一次函数的单调递增，其斜率大于0，即可解出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为函数在实数集上是增函数，‎ 所以 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查一次函数的单调性，解本类题需知道，一次函数斜率大于0单调递增，斜率小于0其单调递减。属于基础题。‎ ‎5．设，下列从到的对应法则不是映射的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照映射的定义逐项验证.‎ ‎【详解】‎ 选项A:，集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 选项B: ，集合 中的元素6，在集合中不存在元素与之对应，不是映射；‎ 选项C: ,集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 选项D: 集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查映射的定义，判断对应是否为映射，属于基础题.‎ ‎6．当时,函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对函数的解析式进行配方,根据二次函数的单调性质即可求出本题.‎ ‎【详解】‎ ‎,对称轴为：‎ 当时, 所以当时, 函数 的值域是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数在闭区间上值域问题,考查了配方法和数学运算能力.‎ ‎7．对于定义在上的任意奇函数，均有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数的性质对四个选项逐一判断即可选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的奇函数,所以有、.‎ 选项A: ,的正负性题目中没有说明,故本选项是错误的；‎ 选项B: ,的正负性题目中没有说明,故本选项是错误的；‎ 选项C: ,故本选项是错误的；‎ 选项D: ,故本选项是正确的.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了奇函数的性质,属于基础题.‎ ‎8．若的定义域为[1，2]，则的定义域为（ 　 ）‎ A．[0，1] B．[－2，－1] C．[2，3] D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】f（x﹣1）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，再求x﹣1的范围，再由f（x）的定义域求f（x+2）的定义域，只要x+2在f（x）的定义域之内即可．‎ ‎【详解】‎ f（x﹣1）的定义域为[1，2]，即x∈[1，2]，‎ 所以x﹣1∈[0，1]，即f（x）的定义域为[0，1]，‎ 令x+2∈[0，1]，解得x∈[﹣2，﹣1]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象复合函数求定义域问题，复合函数的定义域关键是搞清自变量，易出错．‎ ‎9．若二次不等式的解集是,那么不等式的解集是（ ）‎ A．或 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次不等式的解集是,可以得到之间的关系,这样可以用求二次不等式的解集的方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为二次不等式的解集是,所以有且是一元二次方程的两个根,因此有,‎ 所以由或.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了已知不等式解集求参数问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.‎ ‎10．设函数，则不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由函数f（x）＝得即 或所以 ‎【考点】分段函数和解不等式．‎ ‎11．关于函数的最值的说法正确的是（ ）‎ A．既没有最大值也没有最小值 B．没有最小值，只有最大值 C．没有最大值，只有最小值 D．既有最小值0，又有最大值 ‎【答案】B ‎【解析】求出函数的定义域,然后把函数的解析式进行分子有理化,最后利用函数的单调性的性质判断函数的单调性,最后选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为：.‎ ‎,‎ 函数在时,都是增函数且,因此 函数在时,是单调递减函数故函数有最大值,最大值为,函数没有最小值.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了函数最值情况.考查了函数的单调性以及单调性的性质,考查了数学运算能力.‎ ‎12．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.‎ ‎【详解】‎ 因为满足，所以，‎ 所以函数是以8为周期的周期函数，‎ 则.‎ 由是定义在上的奇函数，‎ 且满足，得.‎ 因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，‎ 所以在区间上是增函数，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ 二、填空题 ‎13．若函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据所求函数值自变量的取值,结合已知函数的解析式,求出的值.‎ ‎【详解】‎ 令,则有.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数值问题,考查了数学运算能力,属于基础题.‎ ‎14．若集合至多有一个元素，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据讨论方程解的情况，即得结果 ‎【详解】‎ 时，，满足题意；‎ 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎15．已知函数满足,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以代,得到一个方程,两个方程联立,可以求出的解析式.‎ ‎【详解】‎ 以代,得,所以有 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过解方程组求解函数的解析式,考查了数学运算能力,属于基础题.‎ ‎16．若,是这两个函数中的较小者,则的最大值是____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】通过比较两个函数的大小,分类讨论求出函数的解析式,然后求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：.‎ 当时, ；‎ 当时, ,所以函数的最大值为1.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的最大值问题,考查了数学阅读能力和数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎(1)当时,求集合； ‎ ‎(2)当时,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】(1)通过解一元二次不等式可以求出集合；‎ ‎(2) 因为,这说明一元二次不等式的解集是全体实数,根据二次函数图象性质可以求出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当时,；‎ ‎(2)因为,所以一元二次不等式的解集为全体实数,因此有 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,考查了数学运算能力.‎ ‎18．设全集,集合，.‎ ‎(1)求；‎ ‎ (2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ； (2) .‎ ‎【解析】(1)解一元二次不等式化简集合的表示,然后运用补集、并集的定义求解；‎ ‎(2)求出,结合数轴,根据,可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ,所以.‎ 所以；‎ ‎(2) .‎ 若时,显然,此时；‎ 若时,即时,要想,只需,‎ 综上所述：实数的取值范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合交集、并集、补集的运算,考查了已知集合的关系求参数取值范围,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.‎ ‎19．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），求长的值.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】设矩形的另一边长为,根据相似三角形的性质可得到比例式,这样得到的关系,最后利用基本不等式求出当矩形面积最大时, 长的值.‎ ‎【详解】‎ 设矩形的另一边长为，如下图所示：因为矩形的对边平行,所以,因此 ‎∽,由三角形相似的性质可知：.‎ 矩形面积,当且仅当时,取等号,所以长的值为20.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用,考查了数学建模思想,考查了相似三角形性质的应用.‎ ‎20．‎ ‎(1)已知在上是单调函数,求的取值范围；‎ ‎(2)求的解集.‎ ‎【答案】(1) 或；(2) 当时,不等式的解集为空集；‎ 当时, 不等式的解集为；‎ 当时, 不等式的解集为.‎ ‎【解析】(1)求出函数的对称轴,然后根据二次函数的单调性,由题意分类讨论即可求的取值范围；‎ ‎(2)根据一元二次方程根之间的大小关系进行分类讨论求出的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数 的对称轴为：‎ 因为在上是单调函数,所以有：或,解得 或；‎ ‎(2)方程的两个根为：.‎ 当时,不等式的解集为空集；‎ 当时, 不等式的解集为；‎ 当时, 不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数单调性求参数问题,考查了求解一元二次不等式的解集,考查了分类讨论思想.‎ ‎21．（满分6分）‎ 已知函数，且。‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）判断的奇偶性；‎ ‎（III）函数在上是增函数还是减函数？并证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数；（3）增函数.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了函数的奇偶性以及函数单调性的概念的运用。‎ ‎（1），即，‎ ‎（2）由（1）知，，其定义域是，关于原点对称，‎ 又，所以此函数是奇函数．‎ ‎（3）设任取，且，则：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数 ‎22．已知定义在R上的函数,满足 ‎(1)求证：是奇函数；‎ ‎(2)如果,并且,试求在区间的最值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析过程；(2) 函数的最大值为1,最小值为.‎ ‎【解析】(1)令,求出,令,可以证明出是奇函数；‎ ‎(2)根据单调性的定义结合奇函数的性质可以判断出函数的单调性,最后求出 在区间的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 令,得,令,；‎ ‎(2)设是任意两个实数,且,因此有,由已知可得,‎ 可得,所以函数是实数集上的减函数,当时, ,‎ ‎,所以函数的最大值为1,最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的奇偶性的证明,考查了判断抽象函数的单调性以及最值,考查了数学运算能力.‎