【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 15页

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、已知是的三内角的弧度数，则 与 的大小关系为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2、m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m与n,3m+2n的最大值是(　　)‎ A． 35 B． 37‎ C． 38 D． 41‎ ‎3、已知x,y,z∈(0,+∞),且则的最小值为（ ）‎ A． 5 B． 6‎ C． 8 D． 9‎ ‎4、已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． 6‎ ‎5、已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为(　　)‎ A． B． C． 1 D． ‎ ‎6、若α,β为锐角,‎ A． B． C． D． ‎ ‎7、若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则的最小值是（ ）‎ A． B． C． 3 D． 8、若x+y+z+t=4,则x2+y2+z2+t2的最小值为____.‎ ‎9、函数y的最小值是_______‎ ‎10、已知且，则的最大值为________．‎ ‎11、若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得 的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 12、已知均为正数，且，求的最小值，并指出取得最小值时的值．‎ ‎13、P是△ABC内一点,x,y,z分别是点P到△ABC的三边a,b,c的距离,R是△ABC外接圆的半径,‎ 证明 ‎14、已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等≤λ恒成立,求λ的取值范围.‎ ‎15、已知函数f(x)=x+2,g(x)=2-2x,‎ ‎（Ⅰ）若，且恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值．‎ ‎16、已知.‎ ‎（1）求在上的最大值及最小值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，且，求证：.‎ ‎17、已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正数，且，求证.‎ ‎18、已知，求的最小值.（利用柯西不等式）‎ ‎19、（1）已知，都是正数，且，求证：；‎ ‎（2）已知，，都是正数，求证：.‎ ‎20、已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.‎ 参考答案 ‎1、答案：A 直接利用柯西不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式,‎ ‎≥‎ ‎,‎ 当且仅当 ，时等号成立，故选A.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.‎ ‎2、答案：B ‎【分析】‎ 由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 结合等差数列前n项和公式有：，‎ 配方可得：，‎ 结合柯西不等式有：，‎ 即：，‎ 据此可得：，‎ 由于为整数，故，‎ 事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,‎ 故3m+2n的最大值是37.‎ 本题选择B选项.‎ 名师点评：‎ 柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.‎ ‎3、答案：D ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论求解的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ x ‎≥‎ ‎=9.‎ 当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.‎ 即的最小值为9.‎ 本题选择D选项.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4、答案：C ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式,得：‎ x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2‎ ‎≥(1×x+3×y+5×z)2 ‎ 当且仅当x.‎ 即x2+y2+z2的最小值为.‎ 本题选择C选项.‎ 名师点评：‎ 根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.‎ ‎5、答案：B ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x,y,z的方程，解方程即可求得x,y,z的值.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2=100,‎ 则x2+y2+z2≥‎ 当且仅,取到最小值,所以联 可得x 本题选择B选项.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6、答案：A ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式确定等号成立的条件求得的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意：.‎ 当且仅当，时等号成立，‎ 即，.‎ 本题选择A选项.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7、答案：B ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意结合柯西不等式有：‎ ‎.‎ 故.‎ 本题选择B选项.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎8、答案：4‎ ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(x2+y2+z2+t2)(12+12+12+12)≥(x+y+z+t)2=16,‎ 当且仅当x=y=z=t=1时等号成立,‎ 故x2+y2+z2+t2的最小值为4.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9、答案：‎ ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论和三角函数的符号整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式得：‎ y ‎≥‎ ‎≥ ‎ 当且仅当,即α.‎ 即y的最小值是.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式求最值的方法，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10、答案：‎ 分析：利用柯西不等式即可求解．‎ 详解：由题意，‎ 又由柯西不等式可得，‎ 所以，即的最大值为．‎ 名师点评：本题主要考查了利用柯西不等式求最值问题，其中根据题意合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎11、答案：① ④‎ 设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．‎ 所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．‎ 对于①，函数图象上不存在满足题意的点；‎ 对于②，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于③，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于④，函数图象不存在满足题意的点．‎ 故函数① ④是“柯西函数”．‎ 答案：① ④‎ 名师点评：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．‎ ‎（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．‎ ‎12、答案：最小值是，此时．.‎ 试题分析：构造出，从而得到所求最值，利用取等条件求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 因为为正数，所以由柯西不等式得：‎ 当且仅当等式成立 所以，‎ 所以的最小值是 此时 名师点评：‎ 本题考查柯西不等式求最值问题，属于基础题. 13、答案：试题分析：‎ ‎【分析】‎ 由题意结合柯西不等式和三角形面积公式整理计算即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】‎ 由柯西不等式,‎ ‎≤‎ 设S为△ABC的面积,则ax+by+cz=2S 于 ‎≤‎ 故原不等式成立.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查三角形面积公式的应用，柯西不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14、答案：‎ 试题分析：【分析】‎ 由题意结合柯西不等式的结论可得则参数λ的取值范围 ‎【详解】‎ 由基本不等式及柯西不等式,得 ‎≤‎ 当且仅当x=y=z时等号成立，参数λ的取值范围 名师点评：‎ 本题主要考查柯西不等式的应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15、答案：(1);(2).‎ 试题分析：【分析】‎ ‎（Ⅰ）先把h(x)化成分段函数，再求其最小值，得到实数a的取值范围.（Ⅱ）利用柯西不等式求的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ 所以，，只需，‎ 故实数的取值范围为 ‎（Ⅱ）由柯西不等式，‎ 当且仅当即时，等号成立，故的最大值为.‎ 名师点评：‎ ‎（1）本题主要考查绝对值函数的最值的求法，考查柯西不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则 ‎，其中等号当且仅当时成立. 16、答案：(1)，；(2)证明见解析.‎ 试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值得到，根据图像可得到函数的最值；（2）将式子变形为.由柯西不等式得到最值. （1）‎ 时，，.，‎ ‎（2）‎ ‎. 17、答案：(1)；(2)证明见解析.‎ 试题分析：（1）含有绝对值得含参不等式，零点分区间去掉绝对值，分情况求出解析式，根据图像就能解决了；（2）已知第一问中求出m是定值，根据均值不等式，用三次，保证每一次等号都能同时成立即可。‎ ‎（1），‎ 设，则当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ 由柯西不等式，‎ 所以. 18、答案：‎ 试题分析：‎ 利用柯西不等式进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，当且仅当 名师点评：‎ 本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力． 19、答案：(1)见解析(2)见解析 试题分析：（1）证明：因为都是正数,即 ‎；（2）证明：因为，①，同理②，③，①②③相加得.由，，都是正数，得，因此.‎ 试题 解：（1）证明：.‎ 因为都是正数，所以.‎ 又因为，所以.‎ 于是,即 所以；5分 ‎（2）证明：因为，所以.①‎ 同理.②.③‎ ‎①②③相加得 从而.‎ 由都是正数，得，因此.10分 考点：不等式的证明. 20、答案：(1)（2）‎ 试题分析：‎ ‎（1）分段讨论解不等式即可；‎ ‎（2）由柯西不等式，有，可得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴等价于或或.‎ 解得或.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1），可知当时，取最小值，即 ‎∴.‎ 由柯西不等式，有.‎ ‎∴.‎ 当且仅当，即，，时，等号成立.‎ ‎∴的最小值为.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用，属于中档题. ‎