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  • 2021-07-01 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试49直线的方程作业

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第七章 平面解析几何 考点测试49 直线的方程 ‎                ‎ 高考概览 考纲研读 ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式 ‎2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 ‎3.掌握确定直线位置的几何要素 ‎4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了解斜截式与一次函数的关系 一、基础小题 ‎1.若方程(‎2m2‎+m-3)x+(m2-m)y-‎4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是(  )‎ A.m≠- B.m≠0‎ C.m≠0且m≠1 D.m≠1‎ 答案 D 解析 由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.‎ ‎2.直线xsin+ycos=0的倾斜角α是(  )‎ A.- B. C. D. 答案 D 解析 ∵tanα=-=-tan=tan,α∈[0,π),∴α=.‎ ‎3.过点(-1,2)且倾斜角为30°的直线方程为(  )‎ A.x-3y+6+=0 B.x-3y-6+=0‎ C.x+3y+6+=0 D.x+3y-6+=0‎ 答案 A 解析 ∵k=tan30°=,∴直线方程为y-2=(x+1).即x-3y+6+=0.故选A.‎ ‎4.已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直,则k的值为(  )‎ A.1或3 B.1或‎5 C.1或4 D.1或2‎ 答案 C 解析 由题意可得,(k-3)×2(k-3)+(5-k)×(-2)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=1或k=4.故选C.‎ ‎5.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(  )‎ A.k1α3,所以00,在y轴上的截距->0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,直线l与直线x+y-=0关于x轴对称,则直线l的倾斜角为(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 直线的斜截式方程为y=-x+,即直线的斜率k=tanα=-,即α=,所以直线l的倾斜角为,故选B.‎ ‎8.在下列四个命题中,正确的有(  )‎ ‎①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率;‎ ‎②直线的倾斜角的取值范围为[0°,180°];‎ ‎③若一直线的斜率为tanα,则此直线的倾斜角为α;‎ ‎④若一直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα.‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 A 解析 当倾斜角α=90°时,其斜率不存在,故①④不正确;直线的倾斜角α的取值范围为[0°,180°),故②不正确;直线的斜率k=tan210°这是可以的,此时倾斜角α=30°而不是210°,故③不正确.故选A.‎ ‎9.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.0, B.,π C.0,∪,π D.,∪,π 答案 B 解析 ∵直线的斜率k=-,∴-1≤k<0,则倾斜角的取值范围是,π.‎ ‎10.直线2x-my+1-‎3m=0,当m变动时,所有直线都通过定点(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵当m变动时,(2x+1)-m(y+3)=0恒成立,∴2x+1=0,y+3=0,∴x=-,y=-3,定点为.故选D.‎ ‎11.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是(  )‎ A.∪ B. C. D.∪ 答案 B 解析 直线ax+y+2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a,∵kMA==-,kMB==,‎ 画图可知-a>-且-a<,∴a∈.‎ ‎12.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________.‎ 答案 1或-2‎ 解析 显然a=0不符合题意,当a≠0时,令x=0,则直线l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距为1+.依题意2+a=1+,解得a=1或a=-2.‎ 二、高考小题 ‎13.(2013·四川高考)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是________.‎ 答案 (2,4)‎ 解析 由已知得kAC==2,kBD==-1,‎ 所以直线AC的方程为y-2=2(x-1),‎ 即2x-y=0,①‎ 直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0,②‎ 联立①②解得 所以直线AC与直线BD的交点为P(2,4),此点即为所求点.‎ 因为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=|AC|+|BD|,‎ 取异于P点的任一点P′.‎ 则|P′A|+|P′B|+|P′C|+|P′D|‎ ‎=(|P′A|+|P′C|)+(|P′B|+|P′D|)‎ ‎>|AC|+|BD|=|PA|+|PB|+|PC|+|PD|.‎ 故P点就是到点A,B,C,D的距离之和最小的点.故应填(2,4).‎ ‎14.(2014·四川高考)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.‎ 答案 5‎ 解析 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”).‎ 三、模拟小题 ‎15.(2018·重庆一诊)若过点P(1-a,1+a)和Q(3,‎2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-2,1) B.(-1,2)‎ C.(-∞,0) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)‎ 答案 A 解析 ∵过点P(1-a,1+a)和Q(3,‎2a)的直线的倾斜角为钝角,∴直线的斜率小于0,即<0,即<0,解得-20,cosθ<0,‎ ‎∴sinθ-cosθ=, ②‎ 由①②解得∴tanθ=-2,即l的斜率为-2,故选D.‎ ‎21.(2018·江苏调研)已知经过点P(3,2),且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________.‎ 答案 2x-3y=0或x+y-5=0‎ 解析 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),‎ ‎∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.‎ 若a≠0,则设l的方程为+=1,‎ ‎∵l过点(3,2),∴+=1,∴a=5,‎ ‎∴l的方程为x+y-5=0,‎ 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.‎ ‎22.(2019·沧州月考)已知直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是________.‎ 答案 (-∞,-1]∪[1,+∞)‎ 解析 令y=0,则x=-2k.令x=0,则y=k.故直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=|k|·|-2k|=k2.由题意知,三角形的面积不小于1,可得k2≥1,所以实数k的取值范围是k≥1或k≤-1.‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型.‎ 二、模拟大题 ‎1.(2018·山西长治月考)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上,求:‎ ‎(1)顶点C的坐标;‎ ‎(2)直线MN的方程.‎ 解 (1)设点C的坐标为(x,y),则有 =0,=0.‎ ‎∴x=-5,y=-3,‎ 即点C的坐标为(-5,-3).‎ ‎(2)由题意知,M,N(1,0),‎ ‎∴直线MN的方程为x-=1,‎ 即5x-2y-5=0.‎ ‎2.(2018·四川达州月考)直线l过点P(1,4),分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A,B两点.‎ ‎(1)当|PA|·|PB|最小时,求l的方程;‎ ‎(2)当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.‎ 解 依题意,l的斜率存在,且斜率为负.‎ 设l:y-4=k(x-1)(k<0).‎ 令y=0,可得A;‎ 令x=0,可得B(0,4-k).‎ ‎(1)|PA|·|PB|=· ‎=-(1+k2)=-4≥8.(注意k<0)‎ ‎∴当且仅当=k且k<0,即k=-1时,|PA|·|PB|取最小值.‎ 这时l的方程为x+y-5=0.‎ ‎(2)|OA|+|OB|=+(4-k)=5-≥9.‎ ‎∴当且仅当k=且k<0,即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值.这时l的方程为 ‎2x+y-6=0.‎ ‎3.(2018·福建华安月考)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;‎ ‎(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时直线l的方程.‎ 解 (1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.‎ ‎(2)由直线方程可得M,N(0,2+a),‎ 因为a>-1,所以S△OMN=··(2+a)=×=≥×‎ =2,‎ 当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.‎ 此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ ‎4.‎ ‎(2018·福建漳州月考)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,求AP的长.‎ 解 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,‎ 由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,‎ 设P(t,0)(0