【数学】2021届一轮复习人教A版简单的三角恒等变换课时作业 5页

‎3.2 简单的三角恒等变换 ‎【基础练习】‎ ‎1．(2018年云南玉溪模拟)函数y＝1－2sin2是(　　)‎ A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】因为函数y＝f(x)＝1－2sin2＝cos 2＝－sin 2x，x∈R，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝π，且f(－x)＝－sin 2(－x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是定义域R上的奇函数．故选B．‎ ‎2．若f(tan x)＝sin 2x，则f(－1)＝(　　)‎ A．－2　　 B．－1　　　‎ C．0　　 D．1‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】f(－1)＝f＝sin 2＝sin＝－1.‎ ‎3.·＝(　　)‎ A．tan α　　 B．tan 2α　　‎ C．1　　 D． ‎【答案】B　‎ ‎【解析】原式＝＝＝＝tan 2α.‎ ‎4．y＝sin xcos x＋sin2x可化为(　　)‎ A．sin＋ B．sin－ C．sin＋ D．2sin＋1‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】y＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋ ‎＝sin＋.‎ ‎5．若cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为(　　)‎ A．　　 B．－　　‎ C．　　 D．－ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】cos(75°＋α)＝，可得sin(15°－α)＝.cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－2×＝.故选C．‎ ‎6．已知sin θ＝，θ∈，则cos＝___________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵θ∈，∴∈.∴cos θ＝－＝－.∴cos＝＝.‎ ‎7．已知α∈，tan＝，则sin α＋cos α＝________.‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵tan＝，∴＝，解得tan α＝.∵α∈，sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝，cos α＝.∴sin α＋cos α＝＋＝.‎ ‎8．已知a＋b＝sin，a－b＝sin，求证：a2＋b2＝1.‎ ‎【证明】∵a＋b＝sin＝sin θ＋cos θ，‎ a－b＝sin＝sin θ－cos θ，‎ ‎∴a＝sin θ，b＝cos θ，∴a2＋b2＝1.∴原等式成立．‎ ‎9．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos的值．‎ ‎【解析】∵0<α<，sin α＝，‎ ‎∴cos α＝＝.‎ 又0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.‎ 若0<α＋β<，∵>，即sin α>sin(α＋β)，‎ ‎∴α＋β<α，不符合题意．∴<α＋β<π.‎ ‎∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.‎ ‎∴cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ‎＝－×＋×＝.‎ 而0<β<，0<<，‎ ‎∴cos＝＝.‎ ‎【能力提升】‎ ‎10．(2019年河北模拟)已知函数f(x)＝2sinsin(ω>0)，若函数g(x)＝f(x)＋在上有且只有三个零点，则ω的取值范围为(　　)‎ A．　 B． C．　 D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】sin＝cos＝cos＝cos，所以f(x)＝2sincos＝sin.令g(x)＝f(x)＋＝0，得sin＝－.由x∈，得2ωx－∈，函数g(x)的零点应满足2ωx－＝－，，，，…，由g(x)在上有且只有三个零点，可得≤ωπ－<，解得2≤ω<.故选A．‎ ‎11．(2019年江西萍乡模拟)函数f(x)＝cossin 2x－的图象的一个对称中心的坐标是(　　)‎ A．　 B． C．　 D． ‎【答案】A　‎ ‎【解析】f(x)＝cossin 2x－＝sin 2x－＝sin 2xcos 2x＋sin22x－＝sin 4x＋(1－cos 4x)－＝＝sin，令4x－＝kπ，得x＝＋(k∈Z)，取k＝1得函数f(x)图象的一个对称中心坐标是.故选A．‎ ‎12．若α－β＝，则sin αsin β的最大值为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】α＝β＋，则sin αsin β＝sinsin β＝(sin2β＋sin βcos β)＝(1－cos 2β＋sin 2β)＝sin＋，∴最大值为.‎ ‎13．(2019年安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－.‎ ‎(1)若函数f(x)在上的值域为[－，2]，求m的最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，f＝2，sin B＝cos C，求sin C．‎ ‎【解析】(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 因为x∈，所以2x＋∈.‎ 结合y＝2sin x的图象可得－≤2m＋≤，‎ 解得－≤m≤，即m的最小值为－.‎ ‎(2)由f＝2sin＝2，‎ 可得sin＝1，‎ 所以＋＝2kπ＋，即A＝4kπ＋(k∈Z)．‎ 又A是△ABC的内角，所以A＝.‎ 所以sin B＝sin＝cos C，‎ 化简整理得cos C＝sin C．‎ 所以sin2C＋2＝1，得sin2C＝.‎ 又C是△ABC的内角，所以sin C>0，则sin C＝.‎