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  • 2021-07-08 发布

2019届一轮复习鲁科版6-2电能转化为化学能——电解教案

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第2节 电能转化为化学能——电解 考纲定位 全国卷5年考情 ‎1.了解电解池的构成、工作原理及应用。‎ ‎2.能书写电极反应式和总反应方程式。 ‎ ‎2017年:Ⅰ卷T11;Ⅱ卷T11‎ ‎2016年:Ⅰ卷T11;Ⅲ卷T11‎ ‎2015年:Ⅱ卷T28(2)‎ ‎2014年:Ⅰ卷T27(4);Ⅱ卷T27(3)‎ ‎2013年:Ⅰ卷T10、T27(5)(6)‎ 考点1| 电解的原理及其规律 ‎(对应学生用书第116页)‎ ‎[考纲知识整合]‎ ‎1.电解 让直流电通过电解质溶液或熔融的电解质,在两个电极上分别发生氧化反应和还原反应的过程。‎ 提醒:注意电解与电离两概念的联系与区别 联系:电解是在电解质电离的基础上完成的。‎ 区别:电解需外加电源,是化学过程,电离一般在水溶液或熔融状态下完成,为物理过程。‎ ‎2.电解池及其工作原理 ‎(1)概念:电解池是将电能转化为化学能的装置。‎ ‎(2)构成条件 ‎①有与外接直流电源相连的两个电极。‎ ‎②电解质溶液(或熔融的电解质)。‎ ‎③形成闭合回路。‎ ‎(3)电解池工作原理(以电解CuCl2溶液为例)‎ ‎(4)电解池中电子和离子的移动 ‎①电子:从电源负极流出后,流向电解池阴极;从电解池的阳极流向电源的正极。‎ ‎②离子:阳离子移向电解池的阴极,阴离子移向电解池的阳极。‎ ‎③电流:从电源的正极流出,流入阳极,再通过电解质溶液流入阴极,最后流向负极。‎ ‎(5)两极放电(氧化或还原)顺序 ‎①阴极:阳离子放电顺序:Ag+>Fe3+>Cu2+>H+(酸)>Fe2+>Zn2+>H+(水)>Al3+>Mg2+>Na+>Ca2+>K+。‎ 阳极:金属(Au、Pt除外)电极>S2->I->Br->Cl->OH->含氧酸根离子。‎ 提醒:①阴极不管是什么材料,电极本身都不反应,一定是溶液(或熔融的电解质)中的阳离子放电。‎ ‎②阳极材料若是金属电极(Au、Pt除外),溶液中的阴离子不反应,电极金属失电子被氧化。‎ ‎3.惰性电极的电解规律 ‎(1)电解水型——含氧酸、强碱、活泼金属含氧酸盐 ‎①阴极反应式为4H++4e-===2H2↑,阳极反应式为4OH--4e-===2H2O+O2↑,总反应方程式为2H2O2H2↑+O2↑。‎ ‎②电解度浓度变大,pH可能变大、变小或不变,可加H2O复原。‎ ‎(2)电解电解质类型——无氧酸(如HCl),不活泼金属无氧酸盐(CuCl2)。‎ 电解质浓度变小,加电解质本身复原。‎ ‎(3)放H2生碱型——活泼金属的无氧酸盐(如NaCl)‎ ‎①阴极反应式为2H++2e-===H2↑,阳极反应式为2Cl--2e-===Cl2↑,总方程式为2Cl-+2H2OCl2↑+H2↑+2OH-。‎ ‎②溶液pH变大,加HCl(卤化氢)复原。‎ ‎(4)放O2生酸型——不活泼金属的含氧酸盐(如CuSO4)‎ ‎①阴极反应式为2Cu2++4e-===2Cu,阳极反应式为4OH--4e-===O2↑+2H2O,总方程式为2Cu2++2H2O2Cu+O2↑+4H+。‎ ‎②溶液pH变大,加CuO(金属氧化物)或CuCO3复原。‎ ‎[应用体验]‎ 判断正误 (正确的打“√”,错误的打“×”)。‎ ‎(1)电解质溶液导电与金属导电原理相同,均为化学变化。(  )‎ ‎(2)原电池负极与电解池中连接电源负极的阴极均发生氧化反应。(  )‎ ‎(3)自发进行的氧化还原反应可设计成原电池,但任何反应均可设计成电解池。(  )‎ ‎(4)电解池工作时电子从电源的负极流出,流入阴极通过溶液到阳极,然后从阳极流出,流回电源正极。(  )‎ ‎(5)氯碱工业电解饱和食盐水的过程中,阴极附近产生NaOH。(  )‎ ‎(6)惰性电极电解Na2SO4溶液和Na2CO3溶液的过程中pH均不变。(  )‎ ‎(7)惰性电极电解足量CuSO4溶液,可以加入Cu(OH)2使溶液复原。(  )‎ ‎(8)用Cu作电极电解盐酸可发生Cu+2H+Cu2++H2↑。(  )‎ ‎【提示】 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)√‎ ‎[高考命题点突破]‎ 命题点1 电极反应式和电解方程式的书写 ‎1.用惰性电极电解2 mol·L-1 NaCl和1 mol·L-1 CuSO4的混合溶液,电解过程明显分两个阶段,写出每一阶段的电极反应和总反应式。‎ ‎【答案】 电解第一阶段:阳极得到Cl2、阴极得到单质Cu。电极反应式分别为阳极:2Cl--2e-===Cl2↑,‎ 阴极:Cu2++2e-===Cu,总反应:2Cl-+Cu2+Cl2↑+Cu。‎ 电解第二阶段:阳极得到O2、阴极得到H2。‎ 电极反应式分别为阳极:4OH--4e-===2H2O+O2↑,‎ 阴极:4H++4e-===2H2↑,总反应:2H2O2H2↑+O2↑。‎ ‎2.按要求书写方程式。 ‎ ‎【导学号:95160150】‎ ‎(1)用惰性电极电解MgCl2溶液 阳极反应式:___________________________________________;‎ 阴极反应式:___________________________________________;‎ 总反应式:____________________________________________。‎ ‎(2)用铁作电极电解NaOH溶液 阳极反应式:_________________________________________;‎ 阴极反应式:_________________________________________;‎ 总反应式:____________________________________________。‎ ‎(3)用Ag作电极电解稀盐酸 阳极反应式:___________________________________________;‎ 阴极反应式:_______________________________;‎ 总反应式:__________________________________________________。‎ ‎(4)以铝材为阳极,电解H2SO4溶液,铝材表面形成氧化膜 阳极反应式:________________________________________;‎ 阴极反应式:__________________________________________;‎ 总反应式:_________________________________________。‎ ‎(5)用Al作电极电解NaOH溶液 阳极反应式:_________________________________________;‎ 阴极反应式:_________________________________________;‎ 总反应式:__________________________________________。‎ ‎【答案】 (1)2Cl--2e-===Cl2↑‎ ‎2H++2e-===H2↑‎ Mg2++2Cl-+2H2OMg(OH)2↓+Cl2↑+H2↑‎ ‎(2)Fe-2e-+2OH-===Fe(OH)2‎ ‎2H++2e-===H2↑‎ Fe+2H2OFe(OH)2+H2↑‎ ‎(3)2Ag+2Cl--2e-===2AgCl 2H++2e-===H2↑‎ ‎2Ag+2H++2Cl-2AgCl+H2↑‎ ‎(4)2Al-6e-+3H2O===Al2O3+6H+‎ ‎6H++6e-===3H2↑‎ ‎2Al+3H2OAl2O3+3H2↑‎ ‎(5)2Al-6e-+8OH-===2[Al(OH)4]- 6H2O+6e-===3H2↑+6OH-(或6H++6e-===3H2↑)‎ ‎2Al+6H2O+2OH-2[Al(OH)4]-+3H2↑‎ ‎3.离子液体是一种室温熔融盐,为非水体系。由有机阳离子、Al2Cl和AlCl组成的离子液体作电解液时,可在钢制品上电镀铝。 ‎ ‎【导学号:95160151】‎ 钢制品应接电源的________极,已知电镀过程中不产生其他离子且有机阳离子不参与电极反应,阴极电极反应式为__________________________________。‎ 若改用AlCl3水溶液作电解液,则阴极反应式为_________________________‎ ‎________________________________________________________________。‎ ‎【解析】 在钢制品上电镀铝,故钢制品应作阴极,与电源的负极相连;因为电镀过程中“不产生其他离子且有机阳离子不参与电极反应”,Al元素在熔融盐中以Al2Cl和AlCl形式存在,则电镀过程中负极上得到电子的反应是4Al2Cl+3e-===Al+7AlCl;在水溶液中,得电子能力:H+>Al3+,故阴极上发生的反应是2H++2e-===H2↑。‎ ‎【答案】 负 4Al2Cl+3e-===Al+7AlCl 2H++2e-===H2↑‎ ‎[易错防范] 电极反应式和电解方程式应注意下列问题 (1)做到“三看”,正确书写电极反应式 ‎①一看电极材料,若是金属(Au、Pt除外)作阳极,金属一定被电解(注:Fe生成Fe2+)。‎ ‎②二看电解质,电解质是否参与电极反应。,‎ ‎③三看电解质状态,是熔融状态还是水溶液。‎ (2)规避“三个”失分点 ‎①书写电解池中电极反应式时,一般以实际放电的离子表示,但书写总电解反应方程式时,弱电解质要写成分子式,且注明“通电”条件。‎ ‎②要确保两极电子转移数目相同。‎ ‎③电解水溶液时,应注意放电顺序中H+、OH-之后的离子一般不参与放电。‎ 命题点2 电解原理及其规律 ‎4.图中X为电源,Y为浸透饱和食盐水和酚酞试液的滤纸,滤纸中央滴有一滴KMnO4溶液,通电后Y中央的紫红色斑向d端扩散。下列判断正确的是(  )‎ ‎ 【导学号:95160152】‎ A.滤纸上c点附近会变红色 B.Cu电极质量减小,Pt电极质量增大 C.Z中溶液的pH先减小,后增大 D.溶液中的SO向Cu电极定向移动 A [紫红色斑即MnO向d端扩散,根据阴离子向阳极移动的原理,可知d端为阳极,即b为正极,a为负极,c为阴极,NaCl溶液中H+放电,产生OH-,c点附近会变红色,A正确;电解硫酸铜溶液时,Pt为阳极,溶液中的OH-放电:4OH--4e-===O2↑+2H2O,Cu为阴极,溶液中的Cu2+得电子,生成铜,总反应式为2CuSO4+2H2O2Cu+O2↑+2H2SO4,Pt电极附近生成H+,则SO向Pt电极移动,B、D不正确;随着电解的进行,Z中溶液变为硫酸溶液,继续电解则为电解水,硫酸浓度增大,pH减小,C不正确。]‎ ‎5.以石墨为电极分别电解水和饱和食盐水,关于两个电解池反应的说法正确的是 (  ) ‎ ‎【导学号:95160153】‎ A.电解结束后,均可以加水恢复原溶液 B.电解结束后所得液体的pH相同 C.阴极反应式相同 D.通过相同电量时生成的气体总体积相等(同温同压)‎ C [A项,电解水,减少的为H2O,可加水复原,电解NaCl溶液,减少的可看作为Cl2和H2‎ ‎,应加HCl复原,故A错误;B项,电解水溶液的pH不变,电解饱和氯化钠溶液生成氢氧化钠、氯气和氢气,pH变大,所以电解结束后所得液体的pH不相同,故B错误;C项,以石墨为电极分别电解水和饱和食盐水,阴极上都是2H++2e-===H2↑,所以阴极电极反应式相同,故C正确;D项,设转移电子数为4 mol,则依据电解方程式:2H2O2H2↑+O2↑~4e-,电解水生成3 mol气体,依据电解方程式:2NaCl+2H2O2NaOH+Cl2↑+H2↑~2e-,电解饱和食盐水生成4 mol气体,故D错误。]‎ ‎[方法技巧] 阴、阳极的判断方法 (1)根据外接电源:正极连阳极,负极连阴极。‎ (2)根据电流方向:从阴极流出,从阳极流入。‎ (3)根据电子流向:从阳极流出,从阴极流入。‎ (4)根据离子流向:阴离子移向阳极,阳离子移向阴极。‎ (5)根据电极产物:a.阳极:电极溶解、逸出O2(或极区变酸性)或Cl2;b.阴极:析出金属、逸出H2(或极区变碱性)。‎ (6)根据反应类型:阳极发生氧化反应,阴极发生还原反应。‎ 考点2| 电解原理的实际应用 ‎(对应学生用书第118页)‎ ‎[考纲知识整合]‎ ‎1.电解饱和食盐水——氯碱工业 ‎(1)电极反应 阳极:2Cl--2e-===Cl2↑(反应类型:氧化反应)。‎ 阴极:2H++2e-===H2↑(反应类型:还原反应)。‎ 检验阳极产物的方法是:用湿润的KI淀粉试纸靠近阳极附近,若试纸变蓝,证明生成了Cl2。电解时向食盐水中加酚酞,阴极附近溶液变红,说明该电极附近产生的物质为NaOH。‎ ‎(2)电解方程式 化学方程式:2NaCl+2H2O2NaOH+H2↑+Cl2↑;‎ 离子方程式:2Cl-+2H2O2OH-+H2↑+Cl2↑。‎ ‎(3)阳离子交换膜法电解饱和食盐水示意图 ‎①阳离子交换膜的作用 阻止OH-进入阳极室与Cl2发生副反应:2NaOH+Cl2===NaCl+NaClO+H2O,阻止阳极产生的Cl2和阴极产生的H2混合发生爆炸。‎ ‎②a、b、c、d加入或取出的物质分别是饱和食盐水、稀NaOH溶液、稀的食盐水、浓NaOH溶液;X、Y分别是Cl2、H2。‎ ‎2.电镀与电解精炼铜 电镀(Fe上镀Cu)‎ 电解精炼铜 阳极 电极材料 Cu(或铜)‎ 粗铜(含Zn、Fe、Ni、Ag、Au等杂质)‎ 电极反应 Cu-2e-=== Cu2+‎ Cu-2e-=== Cu2+(主)‎ Zn-2e-===Zn2+‎ Fe-2e-===Fe2+‎ Ni-2e-===Ni2+‎ 阴极 电极材料 Fe 纯铜 电极反应 Cu2++2e-===Cu 电解质溶液 含Cu2+的盐溶液 电解精炼铜时,粗铜中的Ag、Au等不反应,沉积在电解池底部形成阳极泥 注:①镀层金属作阳极,待镀元件作阴极,电解质溶液含有镀层金属离子。‎ ‎②电镀铜时,电解质溶液中c(Cu2+)不变;电解精炼铜时,电解质溶液中c(Cu2+)减小。‎ ‎3.电冶金 冶炼钠、钙、镁、铝等活泼金属,必须用电解法。‎ ‎(1)电解熔融氯化钠得到钠 ‎(2)电解熔融Al2O3制Al ‎2Al2O3(熔融)4Al+3O2↑‎ 电极反应:‎ 阳极:6O2--12e-===3O2↑;‎ 阴极:4Al3++12e-===4Al。‎ 冰晶石的作用是作Al2O3的助熔剂。‎ 提醒:(1)电解熔融MgCl2冶炼镁,而不能电解熔融MgO冶炼镁,因MgO的熔点很高; (2)电解熔融Al2O3冶炼铝,而不能电解AlCl3冶炼铝,因AlCl3是共价化合物,其熔融态不导电。‎ ‎[高考命题点突破]‎ 命题点1 电镀和电解精炼 ‎1.利用如图所示装置模拟电解原理在工业生产上的应用。下列说法正确的是(  ) ‎ ‎【导学号:95160154】‎ A.氯碱工业中,X电极上反应式是4OH--4e-===2H2O+O2↑‎ B.电解精炼铜时,Z溶液中的Cu2+浓度不变 C.在铁片上镀铜时,Y是纯铜 D.制取金属镁时,Z是熔融的氯化镁 D [氯碱工业中阳极是Cl-放电生成Cl2;电解精炼铜时阳极粗铜溶解,阴极Cu2+放电析出Cu,溶液中Cu2+浓度变小;铁片上镀铜时,阴极应该是铁片,阳极是纯铜。]‎ ‎2.粗铜的电解精炼如图所示。‎ ‎(1)在粗铜的电解过程中,粗铜板应是图中电极________(填图中的字母);在电极d上发生的电极反应式为_____________________________________‎ ‎________________________________________________________________;‎ ‎(2)若粗铜中还含有Au、Ag、Fe,则阳极的电极反应式为_________________,粗铜中的Au、Ag的存在形式和位置为______________________________,溶液中c(Cu2+)________(选填“变大”“变小”或“不变”)。‎ ‎【解析】 粗铜电解精炼时,粗铜作阳极与电源正极相连,所以粗铜板是图中电极c,d是阴极,发生的反应是Cu2++2e-===Cu,Au、Ag不如铜活泼,以单质的形式沉积在c(阳极)下方,Fe比铜活泼,以Fe2+的形式进入电解质溶液中。‎ ‎【答案】 (1)c Cu2++2e-===Cu (2)Fe-2e-===Fe2+、Cu-2e-===Cu2+ Au、Ag以单质的形式沉积在c电极的下方形成阳极泥 变小 命题点2 电解原理在物质制备、环境治理方面的应用 ‎3.电解法制取有广泛用途的Na2FeO4,同时获得氢气:Fe+2H2O+2OH-FeO+3H2↑,工作原理如图1所示。装置通电后,铁电极附近生成紫红色FeO,镍电极有气泡产生。若氢氧化钠溶液浓度过高,铁电极区会产生红褐色物质。已知:Na2FeO4只在强碱性条件下稳定,易被H2还原。‎ ‎(1)电解一段时间后,c(OH-)降低的区域在________(填“阴极室”或“阳极室”)。‎ ‎(2)电解过程中,需将阴极产生的气体及时排出,其原因是__________________________________________。‎ ‎(3)c(Na2FeO4)随初始c(NaOH)的变化如图2,任选M、N两点中的一点,分析c(Na2FeO4)低于最高值的原因:________________________________‎ ‎________________________________________________________________。‎ ‎【解析】 (1)根据电解总反应:Fe+2H2O+2OH-FeO+3H2↑,结合阳极发生氧化反应知,阳极反应式为Fe-6e-+8OH-===FeO+4H2O,结合阴极发生还原反应知,阴极反应式为2H2O+2e-===2OH-+H2↑,则阳极室消耗OH-且无补充,故c(OH-)降低。(2)结合题给信息“Na2FeO4易被氢气还原”知,阴极产生的氢气不能接触到Na2FeO4,故需及时排出。(3)图示中随着c(NaOH)增大,c(Na2FeO4)先增大后减小,结合已知信息“Na2FeO4只在强碱性条件下稳定”知,M点c(Na2FeO4)低的原因是c(OH-)低,反应速率小且Na2FeO4稳定性差。结合已知信息“若氢氧化钠溶液浓度过高,铁电极区会产生红褐色物质”知,N点c(Na2FeO4)低的原因是c(OH-)过高,铁电极上产生Fe(OH)3或Fe2O3,使Na2FeO4产率降低。‎ ‎【答案】 (1)阳极室 (2)防止Na2FeO4与H2反应使产率降低 (3)M点:c(OH-)低,Na2FeO4稳定性差,且反应慢;N点:c(OH-)过高,铁电极上有Fe(OH)3(或Fe2O3)生成,使Na2FeO4产率降低 ‎ ‎4.电解尿素[CO(NH2)2]的碱性溶液制氢气的装置示意图如下: ‎ ‎【导学号:95160155】‎ 电解池中隔膜仅阻止气体通过,阴阳两极均为惰性电极。‎ ‎(1)A极为________,电极反应式为_________________________________‎ ‎________________________________________________________________。‎ ‎(2)B极为________,电极反应式为________________________________‎ ‎________________________________________________________________。‎ ‎【解析】 产生H2是因为H2O电离的H+在阴极上得电子,即6H2O+6e-===3H2↑+6OH-,所以B极为阴极,A极为阳极,电极反应式为CO(NH2)2‎ ‎+8OH--6e-===N2↑+CO+6H2O。‎ ‎【答案】 (1)阳极 CO(NH2)2+8OH--6e-===N2↑+CO+6H2O (2)阴极 6H2O+6e-===3H2↑+6OH-‎ 电镀废水中常含有剧毒的Cr2O。该废水处理的一种方法是利用还原剂把Cr2O还原成毒性较低的Cr3+,再加碱生成沉淀;另一种方法是向废水中加入适量的NaCl,用Fe作电极进行电解。下列说法错误的是(  )‎ A.电解时,阳极反应式为Fe-2e-===Fe2+‎ B.电解过程中,阴极能产生氢气 C.电解过程中,Cr2O被还原的离子方程式为Cr2O+6Fe2++14H+===2Cr3++6Fe3++7H2O D.电解过程中,阳极附近生成Fe(OH)3和Cr(OH)3沉淀 D [电解法处理含铬废水的原理:用Fe作电极进行电解,Fe被氧化生成Fe2+,Fe2+作还原剂把Cr2O还原成毒性较低的Cr3+。电解过程中,H+在阴极放电生成H2,使阴极附近溶液中的c(H+)c(OH-),且c(H+)逐渐增大,pH减小 ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·保定模拟)用Na2SO3‎ 溶液吸收硫酸工业尾气中的二氧化硫,将所得的混合液进行电解循环再生,这种新工艺叫再生循环脱硫法。其中阴、阳离子交换膜组合循环再生机理如图所示,下列有关说法中不正确的是(  )‎ A.X为直流电源的负极,Y为直流电源的正极 B.阳极反应为4OH--4e-===2H2O+O2↑‎ C.图中的b>a D.该过程中的产品主要为H2SO4和H2‎ B [根据Na+和SO的移向可知Pt(Ⅰ)为阴极,反应为2H++2e-===H2,Pt(Ⅱ)为阳极,反应为SO-2e-+H2O===SO+2H+。]‎ ‎2.某原电池装置如下图所示,电池总反应为2Ag+Cl2===2AgCl。 ‎ ‎【导学号:95160157】‎ ‎(1)当电路中转移a mol e-时,交换膜左侧溶液中约减少________mol离子。交换膜右侧溶液中c(HCl)________(填“>”“<”或“=”)1 mol·L-1(忽略溶液体积变化)。‎ ‎(2)若质子交换膜换成阴离子交换膜,其他不变。若有‎11.2 L氯气(标准状况)参与反应,则必有________mol ________(填离子符号)由交换膜________侧通过交换膜向________侧迁移。交换膜右侧溶液中c(HCl)________(填“>”“<”或“=”)1 mol·L-1(忽略溶液体积变化)。‎ ‎【解析】 (1)正极的电极反应式为Cl2+2e-===2Cl-,负极的电极反应式为Ag-e-+Cl-===AgCl,隔膜只允许氢离子通过,转移a mol电子,必有a mol Cl-形成沉淀。为了维持电荷平衡,交换膜左侧溶液中必有a mol H+‎ 向交换膜右侧迁移,故交换膜左侧共减少‎2a mol离子(a mol Cl-+a mol H+)。交换膜右侧溶液中氯化氢浓度增大。‎ ‎(2)n(Cl2)=0.5 mol,n(Cl-)=1 mol。正极的电极反应式为Cl2+2e-===2Cl-,n(e-)=1 mol,Ag-e-+Cl-===AgCl,交换膜右侧溶液中增加了1 mol负电荷(或增加了1 mol Cl-),左侧减少了1 mol负电荷(或减少了1 mol Cl-)。如果质子交换膜换成阴离子交换膜,只允许阴离子(Cl-)通过交换膜,不允许H+通过。为了维持电荷平衡,必有1 mol Cl-从交换膜右侧溶液中通过交换膜向左侧迁移,氯离子迁移之后,两侧溶液中盐酸浓度保持不变。‎ ‎【答案】 (1)‎2a > (2)1 Cl- 右 左 =‎ ‎[题后归纳] 常见隔膜(交换膜)及其作用 (1)常见的隔膜,隔膜又叫离子交换膜,由高分子特殊材料制成。离子交换膜分三类:‎ ‎①阳离子交换膜,简称阳膜,只允许阳离子通过,即允许H+和其他阳离子通过,不允许阴离子通过。‎ ‎②阴离子交换膜,简称阴膜,只允许阴离子通过,不允许阳离子通过。‎ ‎③质子交换膜,只允许H+通过,不允许其他阳离子和阴离子通过。‎ (2)隔膜的作用,①能将两极区隔离,阻止两极区产生的物质接触,防止发生化学反应。,②能选择性的通过离子,起到平衡电荷、形成闭合回路的作用。‎ 注意:①反应物相同,不同的交换膜,迁移的离子种类不同。②同种交换膜,转移相同的电子数,如果离子所带电荷数不同,迁移离子数不同。③离子迁移依据电荷平衡,而离子数目变化量可能不相等。‎