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- 2021-10-21 发布
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2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 一元一次方程的应用题(1)
知识框架
基础知识点：
知识点1用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
知识点2 建立书写模型常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
知识点3 分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
例1. 一个三位数，百位上的数字比十位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字的3倍少2，若将个位与百位数字调换位置后，所得的三位数与原来三位数的和是1171，求这个三位数。
【解析】设原十位数字为x，则百位数字为x+1，个位数字为3x－2
依据题意，等量关系式为：原来三位数+变换后的三位数=1171
100（x+1）+10x+（3x－2）+100（3x－2）+10x+（x+1）=1171 解得：x=3
故原数百位数为：3+1=4，十位数为：3，个位数为3×3－2=7 三位数为：437
直译法时最常见的列写等式方程的方法之一
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
例2.超市以每支4元的价格购进100支钢笔，卖出时每支的标价为6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的以9折出售，卖完时超市盈利188元，其中打9折的钢笔有几支？
【解析】题干中数量比较多，利用列表法分析数量关系
售价（元）
数量（支）
售出总价（元）
按标价出售
6
100－x
6（100－x）
打折出售
6×90%
x
6×90%x
设有x支钢笔打9折，则不打折的钢笔为（100－x）支
依据题意，等量关系式为：售出的费用－进货费用=利润
6（100－x）+690% x－100=188 解得：x=20 答：有20支钢笔打折出售。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。
例3.甲、乙两人相距285m，相向而行，甲从A地除法每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米。如果甲先走12米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
【解析】在行程问题当中，我们往往利用图解法来分析题干中的等量关系
设甲出发x秒后与乙相遇；依据题意，等量关系为：甲走的距离+乙走的距离=285
8x+6（x－）=285 解得：x=21 答：甲出发21秒后与乙相遇
重难点题型
题型1 分段计费问题
解题技巧：此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保体系等
1．（2020·湖北黄石·初一期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：
每户每月用水量
水费价格（单位：元/立方米）
不超过22立方米
2.3
超过22立方米且不超过30立方米的部分
a
超过30立方米的部分
4.6
（1）若小明家去年1月份用水量是20立方米，他家应缴费______元（2）若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？ （3）在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的月水量是多少立方米？
【答案】（1）46；（2）3.45；（3）32
【分析】（1）因为20立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可；（2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以22×2.3＋（26−22）×a＝64.4，根据方程即可求出a的值；（3
）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决．
【解析】（1）∵20＜22∴20立方米应缴费为20×2.3＝46故答案为46．
（2）∵22＜26＜30∴根据题意有22×2.3＋（26−22）×a＝64.4解得a＝3.45
故用水在22～30立方米之间的收费标准为3.45元/立方米．
（3）若用水为30立方米，则收费为22×2.3＋8×3.45＝78.2＜87.4
∴小明家去年8月份用水量超过了30立方米．
设小明家去年8月份用水量为x立方米，由题意可得
22×2.3＋8×3.45＋（x−30）×4.6＝87.4解得x＝32
答：小明家去年8月份用水量为32立方米．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键．
2．（2020·湖南茶陵·初一期末）电力部门将每天8：00至21：00称为“峰时”（用电高峰期），将21：00至次日8：00称为“谷时”（用电低谷期）．某市电力部门拟给用户统一免费换装“峰谷分时”电表，且按“峰谷分时电价”标准（如下表）收取电费．
时间
峰时
谷时
电价（元/kW·h）
0.55
0.30
换表后，小明家12月份使用了95kW·h的电能，交了电费43.5元，问小明家12月份在“峰时”和“谷时”分别用电多少？
【答案】小明家12月份在“峰时”和“谷时”分别用电和．
【分析】根据题意设出小明家12月份在“峰时”用电，则“谷时”用电，然后结合图表可得方程，求解方程即可．
【解析】解：设小明家12月份在“峰时”用电，则“谷时”用电．
依题意可列方程：，化简得：
解得：，于是．
答：小明家12月份在“峰时”和“谷时”分别用电和．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，关键是设出适当的未知数之后根据图表及题意列出方程，然后求解方程即可．
3．（2020·河北怀安·初一期末）下表是居民生活用气阶梯价格方案，
一般生活用气
户年天然气用量（m3）
价格
6口（含）以上
6口以下
第一档
0﹣500（含）
0﹣350（含）
2.28元/m3
第二档
500﹣650（含）
350﹣500（含）
2.5元/m3
第三档
650以上
500以上
3.9元/m3
（1）小明家6口人，2017年全年天然气用量为550m3，小明家需交多少费用？
（2）张华家5口人，2017年全年天然气共缴费1251元，请求出张华家2017年共用了多少m3天然气？
【答案】（1）小明家需交1265元；（2）张华家2017年共用了520m3天然气．
【分析】（1）根据6口之家生活用气阶梯价格方案，列式求值即可得出结论；
（2）设张华家共用了xm3天然气，先求出5口之家用气500m3的费用，与1251比较后可得出x超过500，再根据使用500m3天然气的费用+超出500m3的部分×3.9=应缴费用，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）根据题意得：500×2.28+（550﹣500）×2.5=1265（元）．答：小明家需交1265元．
（2）解：设张华家共用了xm3天然气，
∵350×2.28+（500﹣350）×2.5=1173（元），1173＜1251，∴x超过500．
根据题意得：1173+（x﹣500）×3.9=1251，解得：x=520．
答：张华家2017年共用了520m3天然气．
4．（2020·山西泽州·期末）国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税；
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14%的税；
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税．
试根据上述纳税的计算方法作答：（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税 元，若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税 元；（2）若王老师获稿费后纳税420元，求这笔稿费是多少元？
【答案】（1）224，440；（2）3800元
【分析】(1) 根据条件②、③解答;(2) 分类讨论:稿费高于800元和低于4000元进行分析解答．
【解析】解：(1) 若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税：（元）
若王老师获得的稿费为4000元，则应纳税：（元）；
故答案为：224 ； 440
(2)解:由420<440可知，王老师获得稿费应高于800，低于4000元
设这笔稿费是x元 14%（x-800）=420 x=3800
答：这笔稿费是3800元
【点睛】考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，依据题目给出的不同条件进行判断，然后分类讨论，再根据题目给出的条件,找出合适的等关系，列出方程，求解．
5．（2020·福建泉州·初一期中）某地试行医保制度，并规定：
一、每位居民年初缴纳医保基金70元；
二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按下表所示的方式结算）报销看病的医疗费用.
居民个人当年看病的医疗费用
医疗费用报销办法
不超过 n 元的部分
全部由医保基金承担（即全额报销）
超过 n 元但不超过 6 000 元的部分
个人承担，其余由医保基金承担
超过 6 000 元的部分
个人承担其余由医保基金承担
设一位居民当年看病的医疗费用为元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金）记为元.
(1)写出如下条件，的代数式（可含有）.①当时；②当时.
(2)已知，若该地居民周大爷某一年个人实际承担的医疗费用是元，那么他这一年看病所花费的医疗费共多少元？
【答案】（1）①当时，；②当，；（2）他这一年看病所花费的医疗费共21000元.
【分析】（1）①当时,居民个人实际承担的医疗费用只有缴纳的医保基金70元；②当时，个人承担超过 n 元但不超过 6 000 元的部分，为元，再加医保基金70元.
(2)先令，检验一下此时的值，发现医疗费超过6000元，故需要按照第三档计算，由题意得
元即为5270减去医保基金再减去第二档的元，列方程解之即可.
【解析】解：(1)①当时，
②当，；
(2)设这一年他看病所花费的医疗费共元，
当时, ,
,
答：他这一年看病所花费的医疗费共 21000 元.
【点睛】本题结合代数式，考查分段计费问题，解决此类问题，要根据不同的数额分到相应的档次进行计算.
6．（2020·安岳县李家镇初级中学）在“五·一”黄金周期间，某超市推出如下购物优惠方案：
（1）一次性购物在100元（不含100元）以内的，不享受优惠；
（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内的，一律享受九折的优惠；
（3）一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．
王茜在本超市两次购物分别付款80元、252元．如果王茜改成在本超市一次性购买与上两次完全相同的商品，则应付款（ ）
A．332元 B．316元或332元 C．288元 D．288元或316元
【答案】D
【解析】第二次付款252元的商品的标价为x元
根据题意得：0.9x=252或0.8x=252，解得：x=280或315，
∴两次所购商品总价为360元或395元，
∴360×0.8=288，395×0.8=316．故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找实际问题的等量关系是解决问题的关键点，分段计费中分类讨论是难点也是易错点．
7．（2020·安徽临泉·初一期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【答案】D
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.
【解析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,
10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.
【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.
8．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
用水量/月
单价（元/吨）
不超过40吨的部分
1
超过40吨的部分
1.5
另：每吨用水加收0.2元的城市污水处理费
（1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？
（2）若该用户水表有故障，每次用水只有60％记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？
【答案】（1）50吨（2）82元
分析：（1）先由40×1+0.2×40=48＜65判断出用水超过40吨，设1月份该用户用水x吨，再根据表中的收费标准即可列方程求解；（2）由40×1+0.2×40=48＞43.2，可知记入用水量的为43.2÷1.2=36吨，则可得实际用水量为36÷60％=60吨，再根据表中的收费标准即可求得结果.
【解析】解：（1）∵40×1+0.2×40=48＜65∴ 用水超过40吨。
设1月份用水x吨，由题意得：40×1+（x-40）×1.5+0.2x=65 解得：x=50
答：1月份用水50吨。
（2）解法一：∵40×1+0.2×40=48＞43.2∴ 用水不超过40吨。
设2月份实际用水y吨，由题意得：1×60%y+0.2×60%y =43.2 解得：y=60
∴40×1+（60-40）×1.5+0.2×60=82（元）
解法二：当使用40吨水的时候，水费为（1+0.2）×40=48（元）
由43.2＜48 ∴ 用户2月份计费水量未达到40吨 ，计费水量为43.2÷（1+0.2）=36（吨）
∵ 每次用水只有60%计入用水量 ∴ 该用户实际用水为36÷60%=60（吨）
∴ （1+0.2）×40+（1.5+0.2）×（60-40）=82（元）
考点：一元一次方程与实际问题
题型2几何问题（等积问题）
解题技巧：图形无论如何切割或边形，其面积或体积始终不变，利用这个不变的特点，列写等式方程。
1．（2020·安徽芜湖·初一月考）如图，一个盛有水的圆柱玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，则容器内的水将升高____________．（假设水不会溢出）
【答案】
【分析】根据题意得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．
【解析】设容器内的水将升高xcm，
据题意得：，
，
，
解得：．
故容器内的水将升高．故答案为:
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，属于基础题型．解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2．（2020·全国初一课时练习）某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为_____cm3．
【答案】192
【分析】根据已知图形得出长方体的高进而得出答案.
【解析】解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（14-2x）cm，根据题意可得：
14-2x+8+x+8=26，解得：x=4，
所以长方体的高为4cm，宽为6cm，长为8cm，
长方形的体积为：8×6×4=192（cm3）；故答案为：192
【点睛】本题考查几何体的展开图、一元一次方程的应用及几何体的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2020·重庆万州·初一期末）将图中的三角形纸片沿AB折叠所得的AB右边的图形的面积与原三角形面积之比为2：3，已知图中重叠部分的面积为5，则图中三个阴影部分的三角形的面积之和为_____．
【答案】5
【分析】设图中三个阴影部分的三角形的面积之和为y，可得AB右边的图形的面积＝5+y，原三角形面积＝2×5+y＝10+y，由题意列出方程可求解．
【解析】设图中三个阴影部分的三角形的面积之和为y，
则AB右边的图形的面积＝5+y，原三角形面积＝2×5+y＝10+y，
由题意可得：（5+y）：（10+y）＝2：3，∴y＝5，故答案为：5．
4．（2020·全国单元测试）如图，长方形被分成六个大小不同的正方形，现在只知道中间一个最小的
正方形的面积为1，求长方形的面积．
【答案】143
【分析】设第四个大正方形的边长为，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可．
【解析】设第四个大正方形的边长为（如图所示）．
，故最小的正方形的边长为1；
长方形的长： 长方形的宽： 长方形的面积：．
【点睛】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．
5．（2019·河南唐河·初一期中）在长方形ABCD中，放入6个长度相同的小长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的宽AE＝xcm，依题意可列方程（ ）
A．6+2x＝14﹣3x B．6+2x＝x+（14﹣3x） C．6+2x＝14﹣x D．14﹣3x＝6+2x
【答案】B
【分析】设AE为xcm，则AM为（14﹣3x）cm，根据图示可以得出关于AN＝MW的方程．
【解析】解：设AE为xcm，则AM为（14﹣3x）cm，根据题意得出：
∵AN＝MW，∴AN+6＝x+MR，即6+2x＝x+（14﹣3x）；故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握由实际问题抽象出一元一次方程是解题的关键.
6．（2020·宁夏银川市教育局初三其他）如图，是由9个等边三角形拼成的一个六边形，如果中间最小的等边三角形的边长是1，则右上角的最大的正三角形的边长是_____．
【答案】6
【分析】设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，根据等边三角形的三边都相等可得到其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，利用最大三角形的边长相等得出方程x+3=2x，求得x，进一步得出答案即可．
【解析】如图，设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，
所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，由图形得，x+3=2x，
解得x=3，则x+3=6，故答案为：6．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，等边三角形的性质，根据图形，设出未知数，利用大等边三角形的边长建立方程解决问题．
7．（2020·全国初一单元测试）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在10 cm高度处连通(即管子底部离容器底10 cm)，现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm，如图所示.若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水
1 min，甲的水位上升3 cm，则开始注入________min水量后，甲的水位比乙高1 cm.
【答案】53或203
【解析】（1）因为开始时乙中水位高4cm，所以甲的水位比乙高1cm即为5cm，因为注水1分钟，甲的水位上升3cm，所以需要注入5÷3=53分钟水量后，甲的水位比乙高1cm；
（2）甲、丙中的水流入乙后，甲的水位比乙高1cm，此时甲、丙中的水位高10cm，则乙中的水位高9cm，因为甲、乙、丙底面半径之比为1:2:1，所以设容器甲、丙的底面半径为r，则乙的底面半径为2r，所以所需时间=π(2r)2×5+2πr2×102πr2×3=203分钟，所以答案是：53或203分钟．
考点：列代数式的应用．
8．（2019·全国课时练习）现有一个如图1所示的密封玻璃器皿，测得其底面直径为20cm，高为20cm，装有蓝色溶液若干.若如图2放置时，测得液面高为10cm；若如图3放置时，测得液面高为16cm，则该密封玻璃器皿总容积（结果保留m）为（ ）
A．1250 B．1300 C．1350 D．1400
【答案】D
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而解答本题．
【解析】解：设该玻璃密封器皿总容量为Vcm³，
π×10²×10= V-π×10²×（20-16），解得，V=1400π，故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，准确列出方程是解题的关键.
题型3 配套问题
解题技巧：因工艺上的特点，某几个工序之间存在比例关系，需这几道工序的成对应比例才能完全配套完成，这类题型为配套问题。配套问题，主要利用配套的比例来列写等式方程。
1．（2020·全国初一课时练习）某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小
礼品的包装盒，每张硬纸板可制作盒身个，或制作盒底个，个盒身与个盒底配成一套．现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设需要张做盒身，则下列所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】若设需要x张硬纸板制作盒身，则（28-x）张硬纸板制作盒底，然后根据1个盒身与2个盒底配成一套列出方程即可．
【解析】解：若设需要x张硬纸板制作盒身，则（28-x）张硬纸板制作盒底，由题意可得，
18（28-x）=2×12x，故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2．（2020·河北三河·初一期末）列方程解应用题：
油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片．如图，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套．生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？
【答案】生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人.
【分析】可设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为42﹣x人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可．
【解析】设生产圆形铁片的工人为x人，则生产长方形铁片的工人为42﹣x人，
根据题意可列方程：120x=2×80（42﹣x），解得：x=24，则42﹣x=18．
答：生产圆形铁片的有24人，生产长方形铁片的有18人．
3．（2020·重庆市凤鸣山中学初一月考）河北省某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有名，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先设每天加工大齿轮的有x人，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，再利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套得出等式即可得解.
【解析】设加工大齿轮的工人有名，则每天加工小齿轮的有（34-x）人，根据题意，得
故选：B.
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，利用3个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套进而得出等式是解题关键.
4．（2019·云南西山·初一期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个A种零件和5个B种零件正好配套。已知车间每天能生产A种零件450个或B种零件300个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产A种零件，多少天生产B种零件？
【答案】应该安排6天生产A种零件，则安排15天生产B种零件
【分析】设应该安排x天生产A种零件，则安排（21-x）天生产B种零件，再利用每台豆浆机需3个A种零件和5个B种零件正好配套得出等式，求出答案．
【解析】解：设应该安排x天生产A种零件，则安排（21-x）天生产B种零件，
根据题意可得：450x÷3=300（21-x）÷5，解得：x=6，则21-6=15（天），
答：应该安排6天生产A种零件，则安排15天生产B种零件．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
5．（2020·辽宁营口·初三三模）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800x
C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x
【答案】C
【分析】设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，根据题意找到等量关系即可列出方程求解．
【解析】解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得
1000（26﹣x）＝2×800x．故选：C．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系．
6．（2019·广西防城港·初一期末）劳作课上，王老师组织七年级5班的学生用硬纸制作圆柱形笔筒．七年级5班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，每名学生每小时能剪筒身30个或剪筒底90个．
（1）七年级5班有男生，女生各多少人；
（2）原计划女生负责剪筒身，男生负责剪筒底，要求一个筒身配两个筒底，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，男生应向女生支援多少人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【答案】（1）七年级5班有男生26人，女生29人；（2）不配套，男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【分析】（1）设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，根据男生人数+女生人数=55列出方程，求解即可；（2）分别计算出26名男生和29名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量=筒身的数量×2列出方程，求解即可．
【解析】解：(1)设七年级5班有男生x人，则有女生（x+3）人，由题意得：
x+x+3=55，解得x=26，女生：26+3=29（人）．
答：七年级5班有男生26人，女生29人；
（2）男生剪筒底的数量：26×90=2340（个），女生剪筒身的数量：29×30=870（个），
∵一个筒身配两个筒底，2340:870≠2:1，
∴原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不配套．
设男生应向女生支援y人，由题意得：90×（26﹣y）=（29+y）×30×2，解得y=4．
答：男生应向女生支援4人，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
7．（2020·江苏苏州·）某织布厂有工人200名，为改善经营，增设制衣项目，已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件用布1.5米，将布直接出售，每米布可获利2元；将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣，那么：
（1）一天中制衣所获得的利润为P=___________________（试用含x的代数式表示并化简）；
（2）一天中剩余布出售所获利润为Q=________________（试用含x的代数式表示并化简）；
（3）当安排166名工人制衣时，所获总利润是多少元?能否安排167名工人制衣以提高利润? 试说明理由．
【答案】（1）100x；（2）12000-72x；（3）16648元，不能安排167名工人制衣．
分析：（1）x名工人制衣，每人每天制衣4件，每件可获利25元．所以一天中制衣所获得的利润为P=制衣总数×利润=100x；
（2）有200﹣x人织布，每人一天织布30米，共有布30×（200﹣x）米，衣服用布为4x×1.5=6x，剩下布为30×（200﹣x）﹣6x，每米布卖利润2元，乘2即可．
（3）总利润=制衣利润+布的利润，关系式为：衣服用布应不大于共有布．
【解析】（1）100x；（2）[30×（200﹣x）﹣4x×1.5]×2=12000﹣72x；
（3）当x=166时，W=P+Q=100x+12000﹣72x=16648（元）；
不能，因为若安排167名工人制衣，33名工人所织的布不够制衣所用，造成窝工．
考点：1．列代数式；2．代数式求值．
8．（2019·扬州市江都区实验初级中学初一月考）工地调来 72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派 x 人挖土，其它的人运土，列方程为：______________.
【答案】
【分析】假设派x人挖土，（72﹣x）人运土，根据题意3人挖出的土1人恰好能全部运走，可得，运土和挖土的人的比例为1：3，据此列方程．
【解析】解：设派x人挖土，则（72﹣x）人运土，
根据题意，有；故答案为：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．（2020·重庆永川·初三三模）在2019年10月1日的建国70周年庆典上，有多国领导人出席观看了我国盛大的阅兵仪式.为表示友好，我国政府选择将刺绣和陶瓷两类工艺品作为国礼赠送给所有的来宾.甲，乙两个工厂分别承接了制作，两种刺绣与种陶瓷的任务.甲工厂安排100名工人制作刺绣，每人只能制作其中一种刺绣，乙工厂安排50名工人制作种陶瓷.的人均制作数量比的人均制作数量少3件，的人均制作量比的人均制作量少20%.若本次赠送的国礼（，，三样礼品）的人均制作数量比的人均制作数量少30%，且的人均制作数量为偶数件，则本次赠送的国礼共制作了_________件.
【答案】945
【分析】设甲厂安排名工人生产种刺绣，种刺绣的人均制作数量为件，根据本次赠送的国礼（，
，三样礼品）的人均制作数量比的人均制作数量少30%列方程求解即可.
【解析】解：设甲厂安排名工人生产种刺绣，名工人生产种刺绣，种刺绣的人均制作数量为件，则种刺绣的人均制作数量为件，种陶瓷的人均制作数量为件，
由题意：.整理得：，
∵，且为整数，∴，
∴且为偶数∴当时，，
故本次赠送的国礼共制作的件为：件.
【点睛】本题考查了考查了一元一次方程的应用，关键是分析题意，找到合适的等量关系.
题型4方案优化问题
解题技巧：此类题型，一般会提供多种方案供选择，要求我们选出最合算的方案。解此类题型有2种思路。
思路1：分别求解出每种方案的最终费用，在比较优劣
思路2：求解出每种方案费用相同时的临界点，在根据临界点进行讨论分析。
1．（2020·全国初一课时练习）大丰新华书店推出售书优惠方案：
①一次性购书不超过100元，不享受优惠；
②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折；
③一次性购书超过200元，一律打八折．
如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是( )
A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元
【答案】C
【分析】不享受优惠即原价，打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，分别得出等式求出答案．
【解析】因为，，，
所以一次性购书付款162元，可能有两种情况：
当购买的书享受九折优惠时，设原价为x元，根据题意，可得，解得；
当购买的书享受八折优惠时，设原价为y元，根据题意，可得，解得．
故李明同学所购书的原价为180元或202.5元．故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意售书有三种优惠方案是解题关键．
2．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）某校组织学生参加文艺汇演,如果单租45座客车若干辆,则刚好坐满;如果单租60座客车,则少租一辆,且余15个座位．（1）求参加文艺汇演总人数？（2）已知一辆45
座客车的租金每天250元,一辆60座客车的租金每天300元,问单租哪种客车省钱？
（3）如果同时租用两种客车,那么两种客车分别租多少辆最省钱？
【答案】（1）有225人参加文艺汇演；（2）单租60座省钱；（3）1辆45座，3辆60座最省钱
【分析】（1）等量关系为:45×45座客车辆数=60×（45座客车辆数-1）-15;（2）总价=单价×数量;
（3）等量关系为:45座客车能坐的人数+60座客车能坐的人数=春游的师生总人数,选取正整数解,比较即可．
【解析】解:（1）设单租45座客车x辆,则参加春游的师生总人数为45x人．
根据题意得:45x=60（x-1）-15,解得:x=5．
所以参加春游的师生总人数为45x=225人．
（2）单租45座客车的租金:250×5=1250（元）,
单租60座客车的租金:300×4=1200（元）,
∵1200＜1250,∴以单租60座客车省钱．
（3）设租45座客车x辆,60座客车y辆．∴45x+60y=225．
∵x,y均为正整数,解得:x=1,y=3．
租45座客车1辆,60座客车3辆最省钱．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系．
3．（2020·山东岱岳·二模）某商店要运一批货物，租用甲、乙两车运送．若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，若甲、乙两车单独运完这批货物，则乙车所运趟数是甲车的2倍；且乙车每趟运费比甲车少100元．（1）分别求出甲、乙两车每趟的运费；（2）若单独租用一辆车运送货物，甲、乙两车还需分别支付每趟40元、20元的车损失费，则单独租用哪一辆车运完此批货物，支出的总费用较少？总费用是多少？（总费用＝运费+损失费）
【答案】（1）甲车每趟的运费为250元，乙车每趟的运费为150元；（2）单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是5220元．
【分析】（1）根据题意可知：设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为（x+100）元，再根据“甲车运费+乙车的运费=总运费”列一元一次方程解答即可；
（2）本题需要分两种情况讨论．先设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，依题意列分式方程+＝1，求解得y＝18是原方程的解，且符合题意，可得甲车需要18趟运完，而乙车需要36趟运完，则①单独租用甲车所需总费用为（250+40）×18＝5220（元）；②
单独租用乙车所需总费用为（150+20）×36＝6120（元）；对总费用进行比较即可得出答案．
【解析】（1）设乙车每趟的运费为x元，则甲车每趟的运费为（x+100）元，
依题意，得：12x+12（x+100）＝4800，解得：x＝150，∴x+100＝250．
答：甲车每趟的运费为250元，乙车每趟的运费为150元．
（2）设单独租用甲车需y趟才能运完，则单独租用乙车需要2y趟才能运完，
依题意，得：+＝1，解得：y＝18，
经检验，y＝18是原方程的解，且符合题意，∴2y＝36．
单独租用甲车所需总费用为（250+40）×18＝5220（元），
单独租用乙车所需总费用为（150+20）×36＝6120（元）．
∵5220＜6120，
∴单独租用甲车运完此批货物，支出的总费用较少，总费用是5220元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程及分式方程的应用；理清题中的数量关系及等量关系是解答本题的关键所在．
4．（2019·黑龙江甘南·初一期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）．（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．
【答案】(1) 到乙超市购物优惠；(2) 当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
分析：（1）根据两超市的优惠方案分别计算出当购物400元时，各自需支付的费用，并比较大小即可得出在哪家购买更优惠；（2）由题意可知，当累计购物x(x>300)元时，甲超市所支付费用为：[300+0.8(x-300)]元；乙超市所支付费用为：[200+0.85(x-200)]元；由两超市所花实际费用相等可列出方程，解方程即可得到答案.
【解析】（1）由题意可得：当x=400时，
在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60=380（元），
在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30=370（元），
∵380>370，∴当x=400时，到乙超市购物优惠；
（2）根据题意得：300+0.8（x-300）=200+0.85（x-200），解得：x=600.
答：当x=600时，两家超市所花实际钱数相同．
5．（2020·河北饶阳·初一期末）某品牌西服标价元，领带标价元，若去甲商店购买可享受买一送一（即买一套西 服送一条领带）的优惠，去乙商店购买西服领带均可享受九折优惠；小李是公司的采购员，公司要采购套西服，外加条领带）
如果甲商店购买西服和领带，花费__________元；如果乙商店购买西服和领带，花费__________元
当为多少时，在甲乙两家商店费用一样多?
【答案】（1）元；元；（2）当时，去甲乙商店都一样
【分析】（1）根据甲、乙两商场的优惠方案，可用含x的代数式分别表示出在甲、乙两商场购买所需费用，
（2）根据两种优惠方案需付费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：（1）甲商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费元
乙商店：
∴甲商店购买西服和领带，花费元
（2）解得：x=100
∴当时，去甲乙商店费用一样多
6、某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：
方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．[来源:学科网]
你认为选择哪种方案获利最多，为什么?
【解析】（1）若选择方案1，依题意，总利润=2000元×4+500元×(9－4)=10500元．
（2）若选择方案2．
设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9－x)吨鲜奶制成酸奶销售，
依题意得，，解得．
当时，．总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．
∵ 12000>10500，∴ 选择方案2较好．
答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．
【点睛】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程．例如本题方案2中，设将x吨鲜奶制成奶片，则列表如下：
每吨利润
吨数
工效
天数
酸奶
1200
3
奶片
2000
1
合计
9
4
从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．
7．（2020·山西初一月考）光明中学七年级 1 班组织家长和学生去某红色景区参观学习，假设学生有 30 人，家长有 x 人．该红色景区为学生和家长提供了两种购买门票方案：方案一，成人票每张 100 元，学生票每张 50 元；方案二，团体超过 50 人，成人票和学生票每张都为 75 元．
（1）按方案一购票，应付门票总价为 元；（用含 x 的代数式表示）
（2）如果家长人数为 40 人，按方案一购票应付门票总价为多少元？
（3）如果家长人数为 40 人，按方案几购票更划算？
【答案】（1）；（2）按方案一购票应付门票总价为5500元；（3）按方案二购票更划算
【分析】（1）根据方案一列出代数式，再进行计算即可；（2）把代入代数式，求解即可；
（3）计算出方案二购票应付门票总价，再把所得的结果与方案一购票应付门票总价进行比较即可．
【解析】解：（1）按方案一购票，应付门票总价为元
故答案为：
（2）把代入代数式，得（元）
因此，按方案一购票应付门票总价为5500元
（3）按方案二购票应付门票总价为（元）
，所以，家长人数为40人时，按方案二购票更划算．
【点睛】本题考查了列代数式及代数式求值，一元一次方程的应用．关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式．
8．（2020·全国初一课时练习）2020年元旦来临之前，为了迎新年，甲、乙两校联合准备文艺汇演，甲、乙两校共92人参加演出（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人）准备统一购买演出服装（一人买一套），下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数
1套至45套
46套至90套
91套及以上
每套服装的价格
60元
50元
40元
如果两校分别单独购买服装，一共应付5000元．
（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱；
（2）甲、乙两校各有多少学生准备参加演出；
（3）如果甲校有9名准备参加演出的同学抽调去参加科技创新比赛不能参加演出，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买服装才能最省钱.
【答案】（1）1320元；（2）乙校40人，甲校52人；（3）两种，买91套最省钱．
【分析】（1）根据表格可得两校合买40元/套，因此用5000减去92乘以40元每套即可；
（2）首先讨论，如果两小都超过45人，花费应为50×92=4600元，4600＜5000，因此甲校人数多余45，乙校人数少于46，再设乙校x人，甲校（92﹣x）人，由题意得等量关系：甲校单独购买服装的花费+乙校单独购买服装的花费=5000元，根据等量关系列出方程，再解即可；
（3）讨论买83套的花费和买91套的花费，然后进行比较即可．
【解析】解：（1）5000﹣92×40=1320（元）．
答：比各自购买服装共可以节省1320元；
（2）∵50×92=4600＜5000，∴甲校人数多余45，乙校人数少于46，
设乙校x人，甲校（92﹣x）人，由题意得：
60x+50（92﹣x）=5000，解得：x=40，则92﹣40=52（人），
答：乙校40人，甲校52人；
（3）①如果买92﹣9=83套，则花费为：83×50=4150（元），
②如果买91套，则花费：91×40=3640（元），∵3640＜4200，∴买91套．
答：两种购买方案，一种是购买83套，一种是购买91套，应买91套最省钱．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握题目中的等量关系是本题的解题关键．
9．（2020·广西蒙山县二中初一月考）友谊商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？
（2）小张要买一台标价为3000元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果友谊商场还能盈利25％，这台冰箱的进价是多少元？
【答案】（1）当顾客消费等于1000元时买卡与不买卡花钱相等；（2）小张买卡合算，小张能节省400元钱；（3）2080元．
【分析】（1）根据花200元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出等式进而求出即可；
（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算；
（3）首先假设进价为y，则可得出（200＋3000×0.8）−y＝25%y进而求出即可．
【解析】解：（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，
根据题意，得200＋0.8x＝x，解得x＝1000，
所以，当顾客消费等于1000元时买卡与不买卡花钱相等；
（2）小张买卡合算，3000−（200＋3000×0.8）＝400，所以，小张能节省400元钱；
（3）设进价为y元，根据题意，得（200＋3000×0.8）−y＝25%y，解得y＝2080
答：这台冰箱的进价是2080元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出买卡后付费等式是解题关键．
题型5 调配问题
解题技巧：调配问题中，调配前后总量始终保持不变，可利用这个关系列写等式方程，有时又在调配前后的变化中找等量关系。
调出者的数量=原有的数量－调出的数量
调进者的数量=原有的数量+调入的数量
1、星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?
【分析】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．
【解析】
解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750－x)m，做上衣的件数为件，做裤子的件数为
，则有：解得：x＝450，
750－x＝750－450＝300(m)， （套）[来源:学科网ZXXK]
答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
【点睛】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．
2、某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m3或运土3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?
【解析】解：设安排x人挖土，则运土的有(120－x)人，依题意得：
5x＝3(120－x)，解得x＝45． 120－45＝75(人)．
答：应安排45人挖土，75人运土．
【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等．
3．（2019·江苏连云港·初一期末）列方程解应用题：
甲班有45人，乙班有39人. 现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏比赛. 如果从乙班抽调的人数比甲班抽调的人数多4人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的1.5倍. 请问从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛.
【答案】从甲班抽调了15人参加歌咏比赛,从乙班抽调了19人参加歌咏比赛
【分析】设从甲班抽调了人参加歌咏比赛，根据甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的1.5倍，列方程求解.
【解析】解：设从甲班抽调了人参加歌咏比赛
根据题意列方程，得. 解得：x=15. ∴x+4=19
答：从甲班抽调了15人参加歌咏比赛,从乙班抽调了19人参加歌咏比赛.
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.
4．（2020·宁夏原州·初一期末）某学校组织的科技夏令营分为三组进行活动.参加三组的人数分别占参加本次活动总人数的(如图)：
（1）求报名参加本次活动的总人数，并补全条形统计图；（2）根据实际情况，需从组抽调部分同学到组，使组人数是组人数的倍，应从组抽调多少名学生到组？
【答案】（1）总人数50人，条形统计图见解析；（2）抽调5名学生去C组
【分析】（1）根据A组或C组的人数除以对应人数百分比，即可求出总人数，可算得B组人数，再补全条形统计图；（2）设从A组抽调x名学生去C组，可列出
【解析】解：（1）∵参加A、B、C三组的人数占总人数的30%、20%、50%，已知A组15人，C组25人，
故总人数为：（人），则B组人数为：（人），
条形统计图如下所示：
（2）设从A组抽调x名学生去C组，∴，解得：x=5，
答：从A组抽调5名学生去C组．
【点睛】本题主要考察了画条形统计图、求相关数据、一元一次方程应用—方案分配，解题的关键在于根据题意正确写出方程．
5．（2019·黑龙江甘南·初一期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16
天，甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程加入该工程施工，问还需多少天可以完成该工程?如果设还需要x天可以完成该工程，则下列方程正确的为( )
A． B． C．12(5+x)+16x=1 D．12(5+x)=16x
【答案】B
【分析】设还需x天可以完成该工程，该工程为单位1，根据题意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=单位1，据此列方程．
【解析】设还需x天可以完成该工程，由题意得,.故选B.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用-工程问题.
6．（2019·浙江永康·初一期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有10人，在乙处植树的有16人，现调10人去支援，使在乙处植树的人数是在甲处植树人数的2倍，设应调往甲处人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设应调往甲处人，则调往乙处人，根据支援后乙处植树的人数是在甲处植树人数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程．
【解析】解：设应调往甲处人，则调往乙处人，
根据题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键．
7．（2019·长沙市雅礼实验中学初三三模）甲车队有汽车100辆，乙车队有汽车68辆，根据情况需要甲车队的汽车是乙车队的汽车的两倍，则需要从乙队调x辆汽车到甲队，由此可列方程为( )
A．100﹣x＝2(68+x) B．2(100﹣x)＝68+x
C．100+x＝2(68﹣x) D．2(100+x)＝68﹣x
【答案】C
【分析】由题意得到题中存在的等量关系为：2（乙队原来的车辆-调出的车辆）=甲队原来的车辆+调入的车辆，根据此等式列方程即可．
【解析】设需要从乙队调x辆汽车到甲队，由题意得100+x＝2(68﹣x)，故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，表示出抽调后两车队的汽车辆数是解题的关键．
8．（2018·广东潮安·初一期末）甲队有工人144人，乙队有工人108人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队，如果设应从乙队调x人到甲队，列出的方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应从乙队调x人到甲队，根据调换后乙队的人数是甲队的，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】应从乙队调x人到甲队，依题意，得：，故选C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
题型6销售问题
解题技巧：此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
1．（2020·浙江松阳·期末）某商品的价格标签已丢失，售货员只知道”它的进价为80元，打七折出售后，仍可获利5％”你认为售货员应标在标签上的价格为（ ）
A．110元 B．120元 C．130元 D．140元
【答案】B
【分析】根据题意得等量关系为：售价×折扣-进价=利润，列出方程，解之即可得出答案.
【解析】设售货员应标在标签上的价格为 x元，依题可得： 70%x-80=80×5%，
解得：x=120.故答案为B.
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用-销售问题 ，解题的关键是根据题意找出等量关系.
2．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）甲商品进价为1000元，按标价1200元的9
折出售，乙商品的进价为400元，按标价600的7.5折出售，则甲、乙两商品的利润率（ ）
A．甲高 B．乙高 C．一样高 D．无法比较
【答案】B
【分析】根据利润率=，分别计算出甲乙两商品的利润率，再比较即可．
【解析】解：甲商品的利润率：
乙商品的利润率：
∵12.5%＞8%，∴乙高．故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
3．（2020·河南偃师·期末）商店将某种商品按进货价提高100%后，又以八折售出，售价为80元，则这种商品的进价是（ ）
A．100元 B．80元 C．60元 D．50元
【答案】D
【分析】根据题意假设出商品的进货价，从而可以表示出提高后的价格为（1+100%）x，再根据以6折优惠售出，即可得出符合题意的方程，求出即可．
【解析】设进货价为x元，由题意得：(1+100%)x⋅80%=80，
解得：x=50，故选D.
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是由题意得到等式(1+100%)x⋅80%=80.
4．（2020·全国单元测试）某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件售价均为135元，若按成本计算，其中一件盈利25%，一件亏本25%，则在这次买卖中他( )
A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元
【答案】C
【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
【解析】解：设在这次买卖中原价都是x，则可列方程：（1+25%）x＝135，
解得：x＝108，比较可知，第一件赚了27元；
第二件可列方程：（1﹣25%）x＝135，解得：x＝180，
比较可知亏了45元，两件相比则一共亏了45﹣27＝18元．故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出计算式，计算结果，难度一般．
5．（2020·山东东阿·初二期末）某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要 保持利润不低于10%，那么至多打（ ）
A．6折 B．7折 C．8折 D．9折
【答案】C
【分析】设该商品可打x折，则该商品的实际售价为550×0.1x元，根据“利润不低于10%”列出不等式求解可得．
【解析】解：设该商品可打x折，根据题意，得：550×0.1x﹣400≥400×10%，
解得：x≥8，故选C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据利润率公式列出一元一次不等式是解题的关键．
6．（2020·河北饶阳·初一期末）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是 ( )
A．(1＋50%)x×80%＝x－28 B．(1＋50%)x×80%＝x＋28
C．(1＋50%x)×80%＝x－28 D．(1＋50%x)×80%＝x＋28
【答案】B
分析：根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%=进价+28，把相关数值代入即可．
【解析】标价为：x（1+50%），八折出售的价格为：（1+50%）x×80%；
∴可列方程为：（1+50%）x×80%=x+28，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
7．（2020·安徽合肥·初三三模）受新冠肺炎疫情的影响，某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降，3月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降，已知1月份电器的销售额为50万元．设3月份电器的销售额为万元，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据某电器经销商今年2月份电器的销售额比1月份电器的销售额下降20%，3
月份电器的销售额比2月份电器的销售额下降m%，1月份电器的销售额为50万元，可以得到2月份是销售额，从而可以得到a的值，本题得以解决．
【解析】解：由题意可得，a=50（1-20%）（1-m%），故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．（2020·荆州市楚都中学初一月考）小明在某商店购买商品A，B共3次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量(个)
购买商品B的数量(个)
购买总费用(元)
第一次购买
7
6
1350
第二次购买
4
8
1320
第三次购买
10
9
1188
（1）小明以折扣价购买商品的是第_____次购物；
（2）求商品A，B的标价；（3）若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售的这两种商品．
【答案】（1）三；（2）商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；（3）商店是打6折出售这两种商品的．
【分析】（1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买10个A商品和9个B商品共花费1188元，列出方程求解即可．
【解析】解：（1）根据表格中，第三购买A，B商品的数量都比前两次多，购买总费用反而少，
则小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物．故答案为：三；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，解得：，
∴商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，
由题意得，，解得：．答：商店是打6折出售这两种商品的．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
9．（2020·重庆綦江·初一期末）重庆市某商场通过互联网销售某品牌新型台灯，第一周的总销售额为4000元，第二周的总销售额为4520元，第二周比第一周多售出13盏台灯．（1）求每盏台灯的售价；（2）该公司在第三周将每盏台灯的售价降低了，并预计第三周能售出140盏灯恰逢期末考试，极大的提高了中学生使用台灯的数量，该款台灯在第三周的销量比预计的140盏还多了．已知每盏台灯的成本为16元，该公司第三周销售台灯的总利润为5040元，求的值．
【答案】（1）每盏台灯的售价为40元；（2）的值为20
【分析】（1）设每盏台灯的售价为x元，根据“第一周的总销售额为4000元，第二周的总销售额为4520元，第二周比第一周多售出13盏台灯”列出方程，求解即可；
（2）根据每盏台灯的利润销售量=利润，列出关于a的方程，解方程即可.
【解析】解：（1）设每盏台灯的售价为元，由题意得解得：
答：每盏台灯的售价为40元．
（2）由题意，得，
整理，得，∴，解得：；答：的值为20．
【点睛】本题考查了一元一次方程与一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．（2019·陕西延安·初一期末）某水果批发市场苹果的价格如表
购买苹果（千克）
不超过20千克
20千克以上但不超过40千克
40千克以上
每千克的价格
6元
5元
4元
（1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元，小明第一次购买苹果_____千克，第二次购买_____千克．
（2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，且两次购买每千克苹果的单价不相同，共付出432元，请问小强第一次，第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）
【答案】（1）16，4；（2）第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．
【分析】（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40-x）千克苹果，由题意可得x＜20，根据小明分两次购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出216元建立方程，求解即可；
（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100-x）千克苹果．分两种情况考虑：①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克；根据小强分两次购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，共付出432元建立方程，求解即可．
【解析】（1）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（40﹣x）千克苹果，由题意可得
6x+5（40﹣x）=216，解得：x=16，40﹣x=24．
答：第一次买16千克，第二次买24千克．故答案为16，24；
（2）设第一次购买x千克苹果，则第二次购买（100﹣x）千克苹果．
分三种情况考虑：①第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果20千克以上但不超过40千克；两次购买的质量不到100千克，不成立；
②第一次购买苹果少于20千克，第二次苹果超过40千克．根据题意，得：6x+4（100﹣x）=432，
解得：x=16． 100﹣16=84（千克）；
③第一次购买苹果20千克以上但不超过40千克，第二次苹果超过40千克
根据题意，得：5x+4（100﹣x）=432，解得：x=32．100﹣32=68千克；
答：第一次购买16千克苹果，第二次购买84千克苹果或第一次购买32千克苹果，第二次购买68千克苹果．
商品销售问题（复杂）
解题技巧：在解决复杂商品销售问题时，通常会多设原价为a这个未知数，虽然在解题过程中，这个未知数会被消掉。但是，若不设这个未知数，许多关系就不好表达了。
1．（2020·重庆巴南·初二期末）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率是；当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少时，这个商人得到的总利润率是__________. （注：利润率，总利润率）
【答案】45%.
【分析】设甲的进价为a元，则售价为1.4a元，乙的进价为b元，则售价为1.6b元，根据售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数多时，这个商人得到的总利润率是得到，求得a=1.5b，再根据售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少时，即可得到这个商人的总利润率.
【解析】设甲的进价为a元，则售价为1.4a元，乙的进价为b元，则售价为1.6b元，若售出甲x
件，则乙售出1.5x件，
，得a=1.5b，
∴售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少时，甲商品的件数为y件，则乙商品的件数为0.5y件，
∴这个商人的总利润率为=，故答案为：45%.
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，解题中注意各字母代表的含义，它们之间的关系，根据公式即可列出方程解决问题.
2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学）春节来临之际，元祖蛋糕店对凤梨味，核桃味、绿茶味年糕(分别记为)进行混装，推出了甲、乙两种礼盒.礼盒的成本是盒中年糕的成本与包装盒成本之和，每盒甲装有个，个， 个，每盒乙装有个，个，个，每盒甲中年糕的成本之和是个成本的倍每盒甲的包装盒成本与每盒乙的包装盒成本的之比为.每盒乙的利润率为，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%当该店销售这两种礼盒的总利润率为时，甲、乙两种礼盒的销售量之比为____.
【答案】
【分析】根据题意表达出甲乙的成本及利润后，根据甲的利润+乙的利润= (甲的成本+乙的成本) , 根据等式的性质，可得答案.
【解析】设A的单价x元，B的单价y元，C的单价为 z元，甲的包装盒成本为3m元，每盒乙的包装盒成本为：4m元，当销售这两种礼盒的总利润率为25%时，甲的销售量为a盒,乙的销售量为b盒,由题意,得
甲盒中年糕的成本是15x= 6x+ 2y+2z，化简,得2y+2z=9x
乙盒中年糕的成本是：2x + 4y+ 4z=2x+ 2(2y+2z)= 2x+ 18x= 20x元
∴甲的成本是：（15x+3m）元，乙的成本是：(20x+4m)元
∴乙的售价为： 元；甲的售价为(20x+4m) 元.
∴乙的单件利润为：元；甲的单件利润为：20x+4m-（15x+m）=5x+m(元)
∵当该店销售这两种礼盒的总利润率为时
∴
∴
∴ ∴
∴甲、乙两种礼盒的销售量之比为
【点睛】
本题主要考查了方程的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题.
3．（2020·重庆西南大学附中初一期末）某超市销售糖果，将、、三种糖果搭配成甲、乙、丙三种礼盒方式销售，每个礼盒的成本分别为礼盒中、、糖果的成本之和，礼盒成本忽略不计.甲种礼盒每盒分别装有、、三种糖果、、，乙种礼盒每盒分别装有、、三种糖果、、，每盒甲的成本是每千克成本的12倍，每盒甲的销售利润率为25%，每盒甲的售价比每盒乙的售价低，丙每盒在成本上提高30%标价后打九折销售获利为每千克成本的1.7倍，当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，销售的总利润率为__________.（用百分数表示）
【答案】18.5%
【分析】分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每盒成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每盒成本和利润用x表示出来即可求解．
【解析】设每千克A、B、C三种水果的成本分别为x、y、z，依题意得：7x+2y+z=12x，∴2y+z=5x，
∴每盒甲的销售利润=12x×25%=3x 乙种方式每盒成本=x+6y+3z=x+15x=16x，
乙种方式每盒售价=12x•（1+25%）÷（1-）=18x，∴每盒乙的销售利润=18x-16x=2x，
设丙每盒成本为m，依题意得：m（1+30%）×0.9-m=1.7x，解得m=10x．
∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：1：4时，
总成本为：12x×2+16x×1+10x×4=80x，
总利润为：3x×2+2x×1+1.7x×4=14.8x，
销售的总利润率为×100%=18.5%，故答案为：18.5%．
【点睛】本题主要考查了利润率的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题．
题型7 数字与日历问题
解题技巧：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
1．（2020·南通市崇川学校初一期中）一个两位数的十位上的数是个位上的数的2倍，若把两个数字对调，则新得到的两位数比原两位数小36，则原两位数是_______.
【答案】84
【分析】设原两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为2x
，根据数位问题的数量关系建立方程求出其解就可以得出结论．
【解析】解：设原两位数的个位上的数为x，则十位上的数字为2x，由题意，得
10×2x+x-（10x+2x）=36，解得：x=4，则十位数字为：2×4=8，则原两位数为84．故答案为：84.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-数字问题，考查了百位数字×100+十位上的数字×10+个位数字的运用，解答时根据数位问题的数量关系建立方程式是关键．
2．（2020·河北饶阳·初一期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文 明文（解密）．已知加密规则为：明文对应的密文a+1,b+4,3c+9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（ ）
A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，6
【答案】B
【解析】解：根据题意得：a+1=7，解得：a=6．2b+4=18，解得：b=7．3c+9=15，解得：c=2．
故解密得到的明文为6、7、2．故选B．
3．（2020·安徽芜湖·初一月考）将正整数至按照一定规律排成下表：
……
记表示第行第个数，如表示第行第个数是．
（1）直接写出_______________，_______________；
（2）①如果，那么_________________，________；②用，表示__________；
（3）将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出这个数中的最小数，若不能说明理由．
【答案】（1）26，35；（2）①253，3；②8i+j-8；（3）将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和不能等于．
【分析】（1）从表格中直接得出26，根据表示第行第个数，以及每一行从左到右由小到大排列
8个数，即可求出；
（2）①根据每一行从左到右由小到大排列8个数，用2019除以8，根据商与余数，即可求出i与j的值；②根据表格数据的排列规律即可求解；
（3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为：x+4，x+9，x+11，x+18，根据这5个数之和等于2027，列出方程，求出x，再根据5个阴影格子的排列规律结合表格即可得到结论．
【解析】（1）∵第4行第2个数是26，∴26，
∵第5行第1个数是33，则第5行第3个数是35，∴35．故答案是：26，35；
（2）①∵2019÷8=252…3，∴2019是第253的第3个数，∴i=253，j=3．故答案是：253，3；
②∵第行第1个数是：1+8×(i-1)= 8i-7，∴第行第j个数是: 8i-7+(j-1)=8i+j-8．故答案是：8i+j-8；
（3）设这5个数中的最小数为x，则其余4个数可表示为：x+4，x+9，x+11，x+18，
根据题意得：x+ x+4+x+9+x+11+x+18=2027，解得：x=397，
∵397÷8=49…5，∴397是第50行的第5个数，
而此时，x+4=401是第51行的第1个数，与397不在同一行，
∴将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和不能等于．
【点睛】本题主要考查用代数式表示数据的变化规律，找到表格中的数据的排列规律，是解题的关键．
4．（2020·重庆奉节·）一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果a＝b，那么称这个四位数为“心平气和数”例如：1625，a＝1+6，b＝2+5，因为a＝b，所以，1625是“心平气和数”．（1）直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数” ；
（2）将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组 “相关心平气和数”．例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”，求证：任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．
（3）求千位数字是个位数字的3倍，且百位数字与十位数字之和是14的倍数的所有“心平气和数”．
【答案】（1）1001，9999；（2）见解析；（3）3681和6592
【分析】（1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，一个是以9开头的四位数，不难得到1001和9999这两个答案．
（2）可以设千位和百位的数字之和为m，十位和个位的数字之和为m，千位数字为a，十位数字为b，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了，即可证明得任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．
（3）先讨论出千位与个位数字分别为3，6，9和1，2，3，也可以讨论出，百位数字与十位数字之和只能是14，进而得到最后两组符合题意的答案．
【解析】解：（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字要尽可能在0﹣9这九个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999．故答案为：1001；9999．
（2）证明：设千位和百位的数字之和为m，十位和个位的数字之和为m，千位数字为a，十位数字为b，所以个位数字为（m﹣b），百位数字为（m﹣a）.依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为：
（m﹣b）+10b+100（m﹣a）+1000a+b+10（m﹣b）+100a+1000（m﹣a），
＝11（m﹣b）+11b+1100a+1100（m﹣a）
＝11（m﹣b+b+100a+100m﹣100a）
＝11×101m，因为m为整数，所以11×101m是11的倍数，
所以任意的一组“相关心平气和数”之和是11的倍数．
（3）设个位数字为x，则千位数字为3x，显然1≤3x≤9，且x为正整数，故x＝1，2，3．
又因为百位数字与十位数字之和是14的倍数，而百位数字与十位数字之和最大为18，所以百位数字与十位数字之和只能是14．
故可设十位数字为n则百位数字为14﹣n，依题意可得，x+n＝14﹣n+3x，
整理得，n﹣x＝7，故，当x＝1时，n＝8，当x＝2时n＝9，当x＝3时，n＝10（不合题意舍去），
综上所述x＝1，n＝8时“心平气和数”为3681，
x＝2，n＝9时，“心平气和数”为6592．
所以满足题中条件的所有“心平气和数”为3681和6592．
【点睛】本题考查整数的有关知识，熟练掌握数的组成、倍数和约数等概念是解题关键．
5．（2020·全国初一课时练习）我们知道写成小数形式为，反过来，无限循环小数也可以转化成分数形式．方法如下：
设，由，可知，所以．解方程，得，所以．
例如：把无限循环小数化为分数的方法如下：
设，由，可知，所以，解方程，得
，所以．根据上述材料，解答下列问题：
（1）把下列无限循环小数写成分数形式：①________；②________；③________．
（2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的①②③中任选一个，写出你的转化过程．
【答案】（1）①；②；③；（2）见解析
【分析】（1）根据题目中的转化方法进行转化即可．（2）根据题目中的转化方法进行转化，并写出过程．
【解析】（1）①；②；③．
（2）从①②③中任选一个转化即可．
①设，则，所以，解方程，得，所以．
②设，则，所以，解方程，得，所以．
③设，则，所以，解方程，得，所以．
【点睛】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．（2020·武汉二中广雅中学初二月考）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出2×2个位置相邻的4个数，若圈出的4个数的和为52，则最大数与最小数的积为（ ）
A．153 B．272 C．128 D．105
【答案】A
【分析】可设正方形框中的第一个数为x，第二个数比x大1，为x+1，第3个数比x大7，为x+7，第4个数比x+7大1，为x+8，再根据四个数的和为52，列出方程求解即可．
【解析】解：设最小的数为x，依题意有x+x+1+x+7+x+8＝52，
解得x＝9则x+1＝10 x+7＝16 x+8＝17． ∴这四个数为9，10，16，17．
∴最大数与最小数的积为9×17＝153．故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是学会寻找等量关系，构建方程解决问题．
7．（2020浙江初一课时练习）图1为全体奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为 a（如图2）．
（1）请用含a的代数式表示框内的其余4个数；
（2）框内的5个数之和能等于 2015，2020 吗?若不能，请说明理由；若能，请求出这5个数中最小的一个数，并写出最小的这个数在图1数表中的位置．（自上往下第几行，自左往右的第几个）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）上下相邻的数相差18，左右相邻的数相差是2，所以可用a表示；
（2）根据等量关系：框内的5个数之和能等于2015，2020，分别列方程分析求解．
【解析】（1）设中间的数是a，则a的上一个数为a−18，下一个数为a＋18，前一个数为a−2，后一个数为a＋2；
（2）设中间的数是a，依题意有5a＝2015，a＝403，符合题意，
这5个数中最小的一个数是a−18＝403−18＝385，
2n−1＝385，解得n＝193，193÷9＝21…4，
最小的这个数在图1数表中的位置第22排第4列．
5a＝2020，a＝404，404是偶数，不合题意舍去；
即十字框中的五数之和不能等于2020，能等于2015．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是看到表格中中间位置的数和四周数的关系，最后可列出方程求解．
8．（2020·浙江上城·初一期末）如图是某月的月历，图中带阴影的方框恰好盖住四个数，不改变带阴影的方框的形状大小，移动方框的位置.
(1)若带阴影的方框盖住的4个数中，A表示的数是x，求这4个数的和(用含x的代数式表示)；
(2)若带阴影的方框盖住的4个数之和为82，求出A表示的数；
(3)这4个数之和可能为38或112吗？如果可能，请求出这4个数，如果不可能，请说明理由.
【答案】(1)；(2)； (3) 不可能；不可能.
【分析】(1) A表示的数是x，可知B表示的数是x+1，C表示的数是x+6，D表示的数是x+7，于是可耱这4个数的和；(2) 令=82，求出x即可； (3) 令=38，求出x=6,此时C超出方格，故不可能；令=112，得x=24.5,因为x是整数，所以也不可能.
【解析】解：(1) A表示的数是x，∴B表示的数是x+1，C表示的数是x+6，D表示的数是x+7，
∴这4个数的和= x+x+1+x+6+x+7=；
(2) =82，∴x=17,∴A表示的数是17；
(3) 当=38时，∴x=6,∴此时C超出方格，故不可能；
当=112时，∴x=24.5,∵x是整数，∴故不可能.
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用．解决本题的难点是掌握日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7．
9．（2020·山西文水·初一期末）在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,下图是2020年1月份的日历,我们用如图所示的四边形框出五个数.
2020年1月
(1)将每个四边形框中最中间位置的数去掉后,将相对的两对数分别相减,再相加,例如:,.不难发现,结果都是16.
若设中间位置的数为,请用含的式子表示发现的规律,并写出验证过程.
(2)用同样的四边形框再框出5个数,若其中最小数的2倍与最大数的和为56,求出这5个数中的最大数的值.
【答案】（1）16；（2）这5个数中最大数的值为28.
【分析】（1）根据题意，用含n的代数式表示数量关系，并化简，即可得到结论；
（2）设中间位置的数为x，根据“最小数的2倍与最大数的和为56”，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
【解析】（1）规律：，
验证： ==2+14=16；
（2）设中间位置的数为x，则最小的数为x-7，最大的数为x+7，
根据题意得：2(x-7)+(x+7)=56， 解得：x=21， ，
10．（2019·河南中牟·初一期中）（1）如图（1），在某年某月的日历中，任意圈出一竖列相邻的三个数，设中间的一个数为，则用含的代数式表示这三个数分别是__________；（按从小到大的顺序写在横线上）
（2）现将连续自然数1~2007按图（2）的方式排成一个长方形阵形然后用一个正方形框出16个数．
①图中框出的这16个数的和是__________；
②在图（2）中，要使一个正方形框出的16个数的和等于2016，2168，是否可能？若不可能，请说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
【答案】（1），，；（2）①352；②框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138；它们的和不可能等于2168，见解析
【分析】（1）经过观察可知，如果中间的数是a，则上面的数是a-7，下面的数是a+7；
（2）①可以把这16个数直接加起来即可，②可以设最小的数是m，那么第一行的四个数的和就是4m+6，第二行的四个数的和就是4m+6+7×4=4m+34，第三行的四个数的和是4m+34+7×4=4m+62，第四行的四个数的和是4m+62+7×4=4m+90，（其中最大数是m+24），然后这16个数相加也就是四行数相加，令其结果等于2016或2168，看计算出的m的值是不是整数，若是整数说明存在，若不是就说明不存在．
【解析】解：（1）若中间的数是a，那么上面的数是a-7，下面的数是a+7，
故这三个数从小到大排列分别是a-7，a，a+7；
（2）①16个数中，第一行的四个数之和是：10+11+12+13=46，
第二行的四个数之和是：46+4×7=74，第三行的四个数之和是：74+4×7=102，
第四行的四个数之和是：102+4×7=130．于是16个数之和=46+74+102+130=352．
故图中框出的这16个数之和是352；
②设这16个数中最小的数为，则这16个数分别为，，，，，，，，，，，，，，，，
它们的和为（为正整数），所以它们的和可以等于2016，
理由：，解得，所以，
因此框出的16个数它们的和可以等于2016，且最小数为114，最大数为138，
它们的和不可能等于2168，理由：，解得，
而应为整数，所以16个数的和不可能等于2168．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
11,（2020·湖北房县·初一期末）如图是2015年12月月历．
（1）如图，用一正方形框在表中任意框往4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______；
（2）在表中框住四个数之和最小记为a1，和最大记为a2，则a1+a2=______；
（3）当（1）中被框住的4个数之和等于76时，x的值为多少；
（4）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于92．若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．
【答案】（1）x+1；x+7；x+8；（2）128；（3）15；（4）不能，理由见解析．
【解析】解：（1）由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x，
则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示x+1；x+7；x+8；
故答案为x+1；x+7；x+8；
（2）∵当四个数是1，2，8，9时最小，a1=1+2+8+9=20；
当四个数是23，24，30，31时最小，a2=23+24+30+31=108，
∴a1+a2=20+108=128．故答案为128；
（3）由题意得，x+x+1+x+7+x+8=76，解得x=15，
答：当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15；
（4）不能．由题意得，x+x+1+x+7+x+8=92，解得x=19，
故由此框住的四个数应是19，20，26，27，但是19，20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92．
12．（2020·福建宁化·期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数， 从下到上的第个至第个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
求前个台阶上的数的和；求第个台阶上的数x的值；从下到上前为奇数)个台阶上的数的和能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）能，n=675．
【分析】（1）根据有理数的加法法则求和即可；（2）根据“任意相邻四个台阶上的数的和都相等”列方程即可求出x的值；（3）根据题意可知台阶上的数每个数循环一次，可设前项中含四个数有组，然后根据为奇数可得有两种情况，分别列出对应的方程即可求出x的值，从而求出n的值．
【解析】解: ．
由题意得．解得：．
能．解答如下:
由题意知：台阶上的数每个数循环一次，可设前项中含四个数有组．
为奇数，有两种情况．
①解得:．．
②．解得．(不合题意，舍去)
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
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