2020-2021初二数学上册同步练习：与三角形有关的角 21页

专题 11.2 与三角形有关的角 典例体系 一、知识点 1、三角形的内角：三角形的内角和等于 180 。 如图： 180321  2、三角形的外角 （1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。 18041  （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 324  （3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4 ＞ 2 或 4 ＞ 3 二、考点点拨与训练 考点 1：三角形内角和 典例：（2019·河北省初一期末）已知△ABC 中，BE 平分∠ABC，点 P 在射线 BE 上． 4 3 2 1 （1）如图 1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC 的度数； （2）如图 2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC 的度数； （3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线 CP 与△ABC 的一条边垂直，画出相应图形并求∠BPC 的度数． 【答案】（1）∠BPC＝20°；（ 2）∠BPC=100°；（ 3）画出相应图形见解析；∠BPC 的度数为 70°或 40°或 110°． 【解析】 （1）∵BE 平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴∠ABP＝ 114022ABC   ∠ ＝20°， ∵CP∥AB， ∴∠BPC＝∠ABP＝20°； （2）∵BE 平分∠ABC，∠PBC＝∠PCA ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCA △ABO 中，∠A+∠ABP+∠AOB＝180°， △PCO 中，∠BPC+∠PCA+∠POC＝180°， ∵∠ABP=∠PCA, ∠AOB=∠POC ∴∠A＝∠BPC =100° 即∠BPC=100°； （3）①当 CP⊥BC 时，如图 3，则∠BCP＝90°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠BPC＝70°； ②当 CP⊥AC 时，如图 4，则∠ACP＝90°， △BCP 中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°； ③当 CP⊥AB 时，延长 CP 交直线 AB 于 G，如图 5，则∠BGC＝90°， ∵∠ABC＝40°， ∴∠BCG＝50° △BPC 中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°； 综上，∠BPC 的度数为 70°或 40°或 110°． 方法或规律点拨 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和等于 180°，是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·隆昌市知行中学初三月考）如图，直线 a∥b，点 B 在 a 上，且 AB⊥BC，若∠1＝35°，那么∠2 等于（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】C 【解析】 解：∵直线 a∥b， ∴∠BAC=∠1＝35°（两直线平行，内错角相等）， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴ 180903555BCA  （三角形内角和定理）， ∴ 255 BCA （对顶角相等）， 故选：C． 2．（ 2020·河北省初一月考）一个最小的锐角是 50°，这个三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】180°﹣50°=130°， 另外两个角的和是 130°，最小的内角是 50°， 假设另外两个角中还有一个是 50°，另一个就是：130°﹣50°=80°， 最大的内角最大只能是 80°，所以这个三角形的三个角都是锐角，这个三角形一定是锐角三角形， 故选 B． 3．（ 2020·江阴市云亭中学初一月考）若△ABC 内有一个点 P1，当 P1、A、B、C 没有任何三点在同一直线 上时，如图 1，可构成 3 个互不重叠的小三角形；若△ABC 内有两个点 P1、P2，其它条件不变，如图 2，可 构成 5 个互不重叠的小三角形：……若△ABC 内有 n 个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三 角形，这些小三角形的内角和为（ ） A．n·180° B．（ n+2）·180° C．（ 2n-1）·180° D．（ 2n+1）·180° 【答案】D 【解析】解：图 1 中，当△ABC 内只有 1 个点时，可分割成 3 个互不重叠的小三角形； 图 2 中，当△ABC 内只有 2 个点时，可分割成 5 个互不重叠的小三角形； 图 3 中，当△ABC 内只有 3 个点时，可分割成 7 个互不重叠的小三角形； 根据以上规律，当△ABC 内有 n 个点（P1，P2，…，Pn）时，可以把△ABC 分割成 S=2n+1 个互不重叠的三 角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°. 4．（ 2020·广西壮族自治区初三其他）如图，AB∥CD，点 E 在线段 BC 上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D 为（ ） A．85° B．75° C．60° D．30° 【答案】B 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC=30°， 又∵CD=CE， ∴∠D=∠CED， ∵∠C+∠D+∠CED=180°，即 30°+2∠D=180°， ∴∠D=75°． 故选 B． 5．（ 2020·广东华侨中学初三其他）如图，直线 AD∥BC，若 ∠1＝40°，∠BAC＝80°，则 ∠2 的度数为（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】B 【解析】 解：∵∠1＝40°，∠BAC＝80°， ∴∠ABC＝60°， 又∵AD∥BC， ∴∠2＝∠ABC＝60°， 故选：B． 6．（ 2020·山东省初三一模）在 ABC△ 中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ） A．必有一个角等于30° B．必有一个角等于 45 C．必有一个角等于60 D．必有一个角等于90 【答案】D 【解析】 设三角形的一个内角为 x，另一个角为 y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况： ① (180)9090xyxyyxy  或oo ② (180)9090yxxyxxy 或ooo ③ (180)9090xyxyxy 或ooo 综上所述，必有一个角等于 90° 故选 D. 7．（ 2019·四川省南充市高坪中学初一期末）如图，已知 AM∥BN，∠A=60°．点 P 是射线 AM 上一动点（与 点 A 不重合），BC、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线 AM 于点 C，D． （1）求∠CBD 的度数； （2）当点 P 运动时，∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关 系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点 P 运动到使∠ACB=∠ABD 时，直接写出∠ABC 的度数． 【答案】（1）60°；（ 2）不变化，∠APB=2∠ADB ，理由详见解析；（3）∠ABC=30° 【解析】 解：（1）∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∵∠A=60° ∴∠ABN=120° ∵BC、BD 分别平分∠ABP 和∠PBN， ∴∠CBP= 1 2 ∠ABP, ∠DBP= ∠NBP, ∴∠CBD=∠CBP +∠DBP= ∠ABN=60° （2）不变化，∠APB=2∠ADB，理由： ∵AM∥BN， ∴∠APB=∠PBN ∠ADB=∠DBN 又∵BD 平分∠PBN， ∴∠PBN =2∠DBN ∴∠APB=2∠ADB （3）在△ABC 中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°， 在△ABD 中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°， ∵∠ACB=∠ABD,∴∠ABC=∠ADB ∵AD∥BN，∠A=60°， ∴∠ABN=120°，∠ADB=∠DBN=∠ABC， 由（1）知∠CBD=60°， ∴∠ABC= 1 2 (∠ABN-∠CBD)=30° 考点 2：三角形的外角及外角和 典例：（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）如图，已知 OM⊥ON，垂足为 O，点 A、B 分别是射线 OM、ON 上的一点（O 点除外）． （1）如图①，射线 AC 平分∠OAB，若 BC 所在的直线也平分以 B 为顶点的某一个角 α（0°＜α＜180°）， 则∠ACB＝ ； （2）如图②，P 为平面上一点（O 点除外），∠APB＝90°，且 OA≠AP，分别画∠OAP、∠OBP 的平分线 AD、BE，交 BP、OA 于点 D、E，试判断 AD 与 BE 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，随着 P 点在平面内运动，AD、BE 的位置关系是否发生变化？请利用图③画图探 究．如果不变，直接回答；如果变化，画出图形，写出 AD、BE 位置关系并说明理由． 【答案】（1）45°或 135°；（ 2）AD∥BE，理由见解析；（3）变化；当 P 在 AB 的上方时，如图②见解析， 有 AD∥BE； 当 P 在 AB 的下方时，如图③见解析，有 AD⊥BE．理由见解析． 【解析】 （1）若 BC 平分∠ABO，如图①a， ∵∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°， ∵AC，BC 分别平分∠OAB，∠ABO， ∴∠BAC= 1 2 ∠OAB，∠ABC= ∠ABO, ∴∠BAC+∠ABC= （∠OAB+∠ABO）=45° ∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)= 180°-45°=135° 若 BC 平分∠ABO 的外角，如图①b， 同上易知，∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠1+∠2=∠3+∠4+∠AOB=∠3+∠4+90°， ∴2∠2=2∠4+90°， ∴∠2=∠4+45°， ∴∠2-∠4=45°， ∴∠ACB=45°， 综上，∠ACB=45°或 135°. 故答案为：45°或 135°. （2）AD∥BE ∵∠AOB＝∠P＝90° ∴∠OAP+∠OBP＝180° ∴ 1 2 ∠OAP+ ∠OBP＝90° ∵AD 平分∠OAP，BE 平分∠OBP ∴∠OAD＝ ∠OAP，∠OBE＝ ∠OBP ∴∠OAD+∠OBE= ∠OAP+ ∠OBP＝90° ∵∠AOB＝90° ∴∠OEB+∠OBE＝90° ∴∠OAD＝∠OEB ∴AD∥BE （3）变化 当 P 在 AB 的上方时，如图②，有 AD∥BE； 当 P 在 AB 的下方时，如图③，有 AD⊥BE 理由是： 延长 AD 与 BE 交于点 G,设 OA 与 PB 交于 H， ∵∠APB＝∠AOB＝90°，∠AHP＝∠BHO ∴∠OAP＝∠OBP ∵AD 平分∠OAP，BE 平分∠OBP ∴∠PAD＝ 1 2 ∠OAP，∠DBE＝ ∠OBP ∴∠PAD＝∠DBE， 又∵∠ADP＝∠BDG， ∴∠AGB＝∠P＝90°， ∴AD⊥BE． 方法或规律点拨 本题考查了平行线的性质和判定、角的平分线性质、三角形的内角和定理及推论，及特殊构图“8”字形对顶 三角形有关角的关系的运用，熟练掌握角平分线的定义是关键． 巩固练习 1．（2020·广东省初三月考）如图，在一个三角形的纸片( ABC )中， 90C   ，将这个纸片沿直线 DE 剪去一个角后变成一个四边形 ABED ，则图中 12   的度数为( ) A．180° B．90 C．270° D．315° 【答案】C 【解析】∵ ∴ 90EDCDEC  ∴ =180180 EDCDEC =  360 EDC DEC     =36090270  故选 C. 2．（ 2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）如图，乐乐将△ABC 沿 DE，EF 分别翻折，顶点 A，B 均落在 点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO.若∠DOF＝139°，则∠C＝( ) A．38° B．39° C．40° D．41° 【答案】D 【解析】 解：∵将△ABC 沿 DE，EF 翻折， ∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE， ∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-139°=41°， 故选：D． 3．（ 2018·北京市第一六一中学初一期中）如图，把△ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠ A=60°，∠1=85°，则∠2 的度数（ ） A．24° B．25° C．30° D．35° 【答案】D 【解析】解：∵∠A=60°， ∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°， ∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°， ∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°， ∴∠1+∠2=240°-120°=120°， ∵∠1=85°， ∴∠2=120°-85°=35°. 故选：D． 4．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度. 【答案】280 【解析】 根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠ 4=140°+140°=280°. 故答案为：280. 5．（ 2020·巨野县高级中学初一月考）如图，在△ABC 中， 90A C B， ,C D A B AF 是角平分线，交 CD 于点 E，证明： 1 2 .   【答案】见解析． 【解析】 ∵ 是 CA B 的角平分线 ∴ C A F F A B   又∵ ， CD A B ∴ 2 90 , 90CAF FAB AED        ∴ 2 AED   又∵ 1 AED ∴ 考点 3：与直角三角形有关的角度计算 典例：（2020·四川省初一期中）如图，在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，C 为 AE 延长线上的一点，D 为 AB 边 上的一点，DC 交 BE 于 F，若∠ADC=80°，∠B=30°，求∠C 的度数． 【答案】∠C 的度数为 40° 【解析】 解：在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，∠B=30° ∴∠A=90°- ∠B=60° 在△ADC 中，∠A=60°，∠ADC=80° ∴∠C=180°- 60° - 80°=40° 答：∠C 的度数为 40°． 方法或规律点拨 此题考查的是三角形的内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余是解决 此题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·河北省初一月考）如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高， AE ， BF 分别是 BAC ， ABC 的角平分线， 50BAC  ， 60ABC   ，则 EAD 的度数为（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】A 【解析】解：在 中， 是 边上的高， 是 的角平分线， ， ∴∠BAE= 1 252 BAC，∠ADB=90° 又因为 ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=30° ∴ =∠BAE-∠BAD=5° 故选：A． 2．（ 2019·山西省初一月考）如图，在直角三角形 ABC 中， 30A ，则 BÐ 的度数为（ ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【解析】 ∵ ABC 是直角三角形， 90C   ， ∴ 90BA     ， ∵ 30A  ， ∴ 60B   ， 故选：B． 3．（ 2020·安徽省初三其他）将两块三角板（分别含 45 和 30° 角）按照如图所示摆放，使得斜边 //A B D E ， 且直角顶点重合，则 A C D 的度数为（ ） A． 15  B． 18  C． 20  D． 25 【答案】A 【解析】 解：∵ ，∠B=45°，∴∠1=∠B=45°. 又∵∠DCB+∠1+∠D=180°，∴∠DCB=180°-45°-60°=75°. ∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-75°=15°. 4．（ 2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A．∠A=2∠B=3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A=∠B=30° D．∠A= 1 2 ∠B= 1 3 ∠C 【答案】D 【解析】A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A= 1080()11 ，所以 A 选项错误； B、∠A+∠B+∠C=180°，而 ∠A+∠B=2∠C，则 ∠C=60°，不能确定△ABC 为直角三角形，所以 B 选项错误； C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=120°，所以 B 选项错误； D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A= 1 2 ∠B= 1 3 ∠C，则∠C=90°，所以 D 选项正确． 故选 D． 5．（ 2020·洪洞县龙马乡龙马中学初三其他）如图所示， ab∥ ， 90BAC ， 30C  ， 1 1 0   ．则 2（ ） A． 40  B． 50 C． 30° D． 20  【答案】A 【解析】 解： 90BAC ， 30C ， 1 1 0   1 180BAC C EBA          180150EBABACC     2 180EBA BAC       218040 EBABAC . 故选 A. 6．（ 2020·甘州区思源实验学校初一月考）如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角 顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若∠1＝55°，则∠2 的度数是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】C 【解析】如图所示， ∵AD∥BE， ∴∠DAB+∠ABE＝180°， 又∵∠1＝55°，∠BAC＝60°，∠ABC＝30°， ∴∠2＝180°﹣55°﹣60°﹣30°＝35°， 故选 C． 7．（ 2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC 为( ) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】 ∵在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x， ∴x+2x+3x=180°，解得 x=30°， ∴∠C=3x=90°， ∴此三角形是直角三角形． 故选：C． 考点 4：与三角形的角平分线（内心）有关角度计算 典例：（2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC 和△ADE 中，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B、C 重合）， 点 B、E 在 AD 异侧，OA、OC 分别是∠PAC 和∠PCA 的角平分线． （1）当∠APC =60°时，求∠AOC 的度数； （2）当 AB⊥AC，AB=AD=4，AC=3，BC=5 时，设 AP=x，用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 AB⊥AC，∠B=20°时，∠AOC 的取值范围为 α°<∠AOC <β°，直接写出 α、β 的值． 【答案】（1）∠AOC 的度数为 120°；（ 2）PD= 4 x ，PD 的最大值为 8 5 ；（ 3）α=100，β=145． 【解析】 解：在△APC 中，∠PAC+∠PCA=180°-∠APC=120° 又∵OA、OC 分别是∠PAC 和∠PCA 的角平分线 ∴∠OAC+∠OCA= 1 2 ∠PAC+ ∠PCA= （∠PAC+∠PCA）=60° ∴在△OAC 中，∠AOC=180°-60°=120° （2）∵AD=AB=4，而 PD=AD-AP=4-AP=4-x， ∴当 AP⊥BC 时，AP 最小，PD 最大， 此时，S△ABC= BC•AP= AB•AC， 即 ×5x= ×4×3， 解得，x= 12 5 ， ∴PD= ，PD 的最大值为：4- = ； （3）如图， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°， 设∠BAP=y，则∠PAC=90°-y，∠PCA=70°， ∵OA、OC 分别是∠PAC 和∠PCA 的角平分线， ∴∠OAC= ∠PAC，∠OCA= ∠PCA， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA） =180°- 1 2 （∠PAC+∠PCA） =180°- （90°-y+70°） = y+100°， ∵0°＜y＜90°， ∴100°＜ y+100°＜145°， 即 100°＜∠AOC＜145°， ∴α=100，β=145． 方法或规律点拨 本题考查了垂线段最短的性质，三角形角平分线的有关推理计算，三角形的内角和定理等，解题关键是熟 练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等 巩固练习 1．（ 2018·安丘市职工子弟学校初一期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP 平分∠ABC， CP 平分∠ACB，则∠BPC 的大小是（ ） A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【解析】∠ABC=50°，∠ACB=80°， BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC=25°，∠PCB=40°， ∴∠BPC=115°． 故选 C． 2．（ 2020·四川省初一期中）如图，△ABC 中， A α ，延长 BC 到 D，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交 于点 1A ， 1A BC 与 1A CD 的平分线相交于点 2A ，依此类推， 1An BC  与 1An CD  的平分线相交于 点 nA ，则 nA 的度数为( )． A． n  B． 2 n  C． 2n  D． 1 2n    【答案】C 【解析】∵ 1AB 、 1AC 分别平分∠ABC 和∠ACD， ∴∠ACD=2∠ 1AC D ,∠ABC=2∠ 1A B C ， 而∠ =∠ 1A +∠ ，∠ACD=∠ABC+∠A， ∴∠A=2∠ =   ， ∴∠ = 2   ， 同理可得∠ =2∠ 2A ， 即∠A= 22 ∠ = ， ∴∠ = 4   ， ∴∠A= 2 n ∠ nA ， ∴∠ = . 故答案为 C. 3．（ 2019·河北省初一期末）如图，已知在△ABC 中，∠A＝155°，第一步：在△ABC 的上方确定点 A1，使 ∠A1BA＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACB；第二步：在△A1BC 的上方确定点 A2，使 ∠A2BA1＝∠A1BA，∠A2CA1 ＝∠A1CA；…，照此继续，最多能进行_____步． 【答案】6 【解析】 ∵△ABC 中，∠A=155°， ∴∠ABC+∠ACB=25°， 又∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB， ∴∠A1BC+∠A1CB=50°， ∴△A1BC 中，∠A1=180°-50°=130°； ∵25°+25°×6=175°＜180°，25°+25°×7=200°＞180°， ∴最多能进行 6 步， 故答案为： 6． 4．（ 2020·辽宁省初三一模）如图，在△ABC 中，点 P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=__________ 度． 【答案】90 【解析】 解：∵点 P 是△ABC 的内心， ∴PB 平分∠ABC，PA 平分∠BAC，PC 平分∠ACB， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°， 故答案是：90° 5．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）如图，在△ABC 中，∠A=64°，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点 A1， 得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD 的平分线交于点 A2，得∠A2；…依次类推，则∠A4=_______度． 【答案】4 【解析】 解：∵BA1 是∠ABC 的平分线，CA1 是∠ACD 的平分线， ∴∠A1BC＝ 1 2 ∠ABC，∠A1CD＝ ∠ACD， 又∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1， ∴ （∠A＋∠ABC）＝ ∠ABC＋∠A1， ∴∠A1＝ ∠A＝32°， 同理可得：∠A2＝ ∠A1＝16°，∠A3＝ ∠A2＝ 31 2 （ ）∠A =8°…∠A4＝ ∠A3=4° 故答案为：4． 6．（ 2020·江苏省初一期中）如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点 O，若∠A＝50°，则∠BOC＝ _____． 【答案】115°． 【解析】 解；∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠B 和∠C 的平分线交于点 O， ∴∠OBC＝ 1 2 ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝ ×（∠ABC+∠ACB）＝ ×130°＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°， 故答案为：115°．