初一数学上册同步讲解练习 有理数的乘方 17页

专题 1.5 有理数的乘方 典例体系 一、知识点 1.乘方的概念 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。 3.有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 4.科学记数法 把一个大于 10 的数表示成 na 10 的形式（其中 101  a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。 5.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 二、考点点拨与训练 考点 1：乘方的定义及计算 典例：（2020·江苏省初三二模）   32 的结果是（ ） A． 6 B． 6 C． 8 D． 8 【答案】C 【解析】   328   ． 故选：C． 方法或规律点拨 本题考查了有理数的乘方，即正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的 任何正整数次幂都是 0． 巩固练习 1．（ 2020·河南省郑州一中初三其他）如果 a 的倒数是﹣1，则 a2020 的值是（ ） A．2020 B．﹣2020 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解析】 解：因为 a 的倒数是﹣1， 所以 a＝﹣1． 所以 a2020＝（﹣1）2020＝1． 故选：C． 2．（ 2020·四川省初三二模）下列各数，最小的是（ ） A．  2 B． 2 C． D． 22 【答案】C 【解析】 解：因为  22   ， 22    ，   328   ，   224，所以最小的数是   32 ． 故选：C． 3．（ 2020·山东省初三二模）计算 32( 2) ( 2)   的结果等于（ ） A．－4 B．4 C．12 D．－12 【答案】D 【解析】 解： 32(2)(2)8412   ． 故选：D． 4．（ 2020·江苏省初三二模）计算（-2）3 所得结果是（ ） A． 6 B．6 C． 8 D．8 【答案】C 【解析】解：（﹣2）3 表示 3 个（﹣2）的乘积，（﹣2）3=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）=﹣8． 故选 C． 5．（ 2020·陕西省初三一模）计算：（﹣ 1 2 ）2﹣1=（ ） A．﹣ 5 4 B．﹣ 1 4 C．﹣ 3 4 D．0 【答案】C 【解析】原式= 13144   ， 故选 C. 6．（ 2020·天津初三二模）计算（﹣2）3﹣（﹣2）2 的结果是（ ） A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12 【答案】D 【解析】 解：原式＝﹣8﹣4 ＝﹣12． 故选：D． 7．（ 2019·内蒙古自治区初一期中）下列计算错误的是（ ） A． 26 36   B． 211 4 16  C． 10001000(1)(1)1 D． 3( 4 ) 6 4   【答案】C 【解析】 A. 26 36   ，故本选项正确； B. 211 4 1 6  ，故本选项正确； C. 10001000(1)(1)112 ，故本选项错误； D. ，故本选项正确． 故选 C． 8．（ 2020·山东省初三三模）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ） A． 34 和 43 B．   53 和 53 C．   42 和 42 D． 32 3   和 32 3 【答案】B 【解析】 解：A. 344=64,3=81 ，不相等； B. 555(3)(1)3243  ，相等； C.   4216， 4216 ，不相等； D. 328=3 27  ， 328=33 ，不相等； 故答案选：B. 9．（ 2018·偃师市实验中学初一月考）下列各组数中，结果一定相等的是（ ） A．-a2 与（-a）2 B．a2 与-（-a）2 C．-a2 与-（-a）2 D．（ -a）2 与-（-a）2 【答案】C 【解析】 因为-a2=-a2，(-a)2=a2，-（-a）2=-a2，所以 A 错误；B 错误；C 正确；D 错误． 故选 C． 10．（ 2020·常州市第二十四中学初三月考）定义一种新的运算：a•b= 2ab a  ，如 2•1= 2 2 1 2 =2，则（2•3） •1=（ ） A． 5 2 B． 3 2 C． 9 4 D． 19 8 【答案】B 【解析】解：∵ 2abab a  ， ∴（2•3）•1 2 2 3 2  •1 =4•1 4 4 2 1 3 2 ， 故选 B． 考点 2：非负数的和为零 典例：21．（ 2019·浙江省初一期中）方程|x－y|＋(2－y) 2＝0 且 x＋2y－m＝0，则 m 的值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 解：∵|x－y|＋(2－y) 2＝0， ∴2−y＝0，x−y＝0， ∴x＝y＝2， 将 x＝y＝2 代入 x＋2y−m＝0 中得：2＋4−m＝0， 解得：m＝6． 故选：B． 方法或规律点拨 此题考查了绝对值与偶次幂的非负性，利用非负数的性质求出 x，y 的值是解题关键． 巩固练习 1．（ 2020·广东省初三一模）若｜x+1｜+(y－2019)2=0，则 yx =( )。 A．0 B．1 C． 1 D．2019 【答案】C 【解析】 解：根据题意，得： 10,20190xy ，解得： 1 , 2 0 1 9xy   ，所以   2019= 1 1yx    . 故选：C. 2．（ 2020·四川省初三其他）已知|a﹣2|+（b+3）2=0，则下列式子值最小是（ ） A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab 【答案】D 【解析】 解：根据题意得，a﹣2=0，b+3=0， 解得 a=2，b=﹣3， 所以，a+b=2+（﹣3）=﹣1， a﹣b=2﹣（﹣3）=2+3=5， ba=（﹣3）2=9， ab=2×（﹣3）=﹣6， 所以值最小的是﹣6． 故选：D． 3．（ 2017·贵州省初一课时练习）如果 22(1)(1)0ab ，那么 2 ( )ab 的值为( ) ． A．0 B．4 C．－4 D．2 【答案】C 【解析】根据非负数的非负性可得: 10,10ab ,解得 1,1,ab 所以    2 2 1 1 4ab       ,故选 C. 4．（ 2019·内蒙古自治区初一期中）已知 2(23)20xy  ，那么 yxxy__________． 【答案】 21 4 【解析】 解：∵ ， 2(2 3) 0, 2 0xy     ∴ 2 3 0, 2 0xy     解得： 3 ,22xy   ∴ yx x y 233222  21 4 故答案为： ． 5．（ 2020·云南省初一期末）若|x- 1 2 |+（y+2）2=0，则（xy）2019 的值为______． 【答案】-1 【解析】 ∵|x- |+(y+2)2=0， ∴x- =0，y+2=0， ∴x= ，y=-2， ∴(xy)2019=(-1)2019=-1， 故答案为-1. 6．（ 2020·绵竹市孝德中学初一期中）若 2a - ＋（b－3）2008＝0，则 ab＝_____； 【答案】8 【解析】解：∵ ＋（b－3）2008＝0， ∴a-2=0，b-3=0， ∴a=2，b=3， ∴ab=8. 故答案为：8. 7．（ 2019·长沙市稻田特立中学初一期中）如果|m﹣3|+(n+2)2＝0，那么 mn 的值是_____． 【答案】-6 【解析】 ∵|m﹣3|+(n+2)2=0， ∴m﹣3=0，n+2=0， 解得：m=3，n=﹣2， 故 mn=﹣6， 故答案为﹣6． 考点 3：含有乘方的四则混合运算 典例：（2019·内蒙古自治区初一期末）计算：﹣23﹣[（﹣3）2﹣22× 1 4 ﹣8.5]÷（﹣ 1 2 ）2 【答案】﹣6 【解析】 ﹣23﹣[（﹣3）2﹣22× 1 4 ﹣8.5]÷（﹣ 1 2 ）2 ＝﹣8﹣[9﹣4× ﹣8.5]×4 ＝﹣8﹣[9﹣1﹣8.5]×4 ＝﹣8﹣（﹣0.5）×4 ＝﹣8+2 ＝﹣6． 方法或规律点拨 本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 巩固练习 1．（2020·衡水市第九中学初一期中）现定义一种新运算“*”，规定 a*b=ab+a-b，如 1*3=1×3+3-1，则（ -2*5） *6 等于（） A．120 B．125 C．-120 D．-125 【答案】D 【解析】 解：∵a*b＝ab＋a−b， ∴（−2*5）*6＝（−2×5−2−5）*6＝−17*6＝−17×6＋（−17）−6＝−125． 故选：D． 2．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）某程序如图所示，当输入的 x 为 5 时，输出的值为____________． 输入 x→平方→减去 x→除以 2→取相反数→输出 【答案】 10 【解析】 由题意列式得： 22( ) 2 (5 5) 2 10xx         ， 故答案为：-10． 3．（ 2020·四川省初一期中）已知 a 与 b 互为相反数， x 与 y 互为倒数， m 的绝对值是 1 ， n 的相反数是它本 身，求 20192020223 xy bman 的值 【答案】 4 3 或 2 3 【解析】 解：∵ 与 互为相反数， 与 互为倒数， 的绝对值是 ， 的相反数是它本身， ∴ + =0， 1xy  ， 1m  ， =0 = 201920201 2()03 abm = 20191 2003 m = 20191 3 m 当 =1 时，原式= ； 当 1m  时，原式= ． 4．（ 2020·四川省初一期中）计算： （1）  1 4126  （2）   31246 2   （3） 7.5+（﹣2 1 3 ）﹣（+22.5）+（﹣6 2 3 ） （4）   34 3 6 6.5 0.132         （5） 2 2 125 0.8 255                （6） 10 12111.754883  【答案】（1） 1 2 ；（ 2） 73 8 ；（ 3） 24 ；（ 4） 58 ；（ 5） 3 4 ；（ 6） 1 ． 【解析】（1）原式=  1 1246   =2÷4= ； （2）原式= 14 8    = ； （3）原式=7.5﹣22.5+（﹣2 ）+（﹣6 ）=-15-9= ； （4）原式= 212 +6 503   = 1 2 + 4 5 0= 58 ； （5）原式= 41 512 5 = 3 4 ； （6）原式= 1714848+48834 5 =1-2= 1 ． 5．（ 2020·江门市第二中学初一月考） 11231717(1)5(0.2) 【答案】 433 5 【解析】 原式=    17 17 1 25 0.008       = 11 7 1 7 5   = 6．（ 2017·贵州省初一课时练习）计算： .)3 4()3 2()1()3(2)2.0( 1)1( 22200122 2 2002  【答案】 4 337 【解析】解：原式= 1416149(1)0.0499   = 4925131 916 = 138 4 = 7．（ 2019·云南省初一期末）计算： （1） 10 4 ( 2) ( 3)       （2） 2 211( 3) 5 ( 2) 2       （3） 4 151 ( 24) 186       【答案】（1） 9 （2） 27 4 （3） 42 【解析】（1） 104(2)(3) 1 0 4 2 3     9 ． （2） 2 211(3)5(2) 2    519 24   27 4 ． （3） 4 151 ( 24) 186       1 3 2 0 2 4     42 ． 8．（ 2020·河北省初三一模）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 a☆b＝ab2＋2ab＋a.如： 1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16. (1)求(－2)☆3 的值； (2)若 1 32 a  ☆ ＝8，求 a 的值． 【答案】(1)－32；(2) a＝0. 【解析】解：（1）（ -2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32； （2） = 2111323222 aaa =8a+8=8， 解得：a=0． 9．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）规定一种新的运算：a※b＝a×b－a－b2＋1.例如：3※(－4)＝3×(－4) －3－(－4)2＋1＝－30.请用上述规定计算下列各式： (1)2※5； (2)(－2)※(－5)． 【答案】(1)－16；(2)－12. 【解析】 解：（1）2※5=2 5-2-52+1=-16, （2）(－2)※(－5)= (－2)  (－5)- (－2)-(－5)2+1=10+2-25+1=-12 10．（ 2020·常州市第二十四中学初一期中）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( ) 23﹣22= =2( )， 24﹣23= =2( )， …… （1）请仔细观察，写出第 4 个等式； （2）请你找规律，写出第 n 个等式； （3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020． 【答案】探究：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3；（ 1）25﹣24=2×24﹣1×24=24；（ 2）2n+1﹣2n=2×2n﹣1×2n=2n； （3）﹣2． 【解析】探究： 2 1 1 1 12 2 2 2 1 2 2      322222222122 433332222122 （1）第 4 个等式为 544442222122 ； （2）归纳类推得：第 n 个等式为 12222122nnnnn  ； （3）原式 2020 2019 3 2 12 2 2 2()2       2019321()2222  21(22) 2 ． 考点 4：科学计数法 典例：（2020·合肥市第四十六中学初三三模）响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款， 表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持．据统计，截至 3 月 10 日，全国已有 7436 万多名党员自愿捐款，共 捐款 76.8 亿元，则 76.8 亿元用科学记数法可表示为（ ） A． 97.6810 元 B． 107.6810 元 C． 1176.8 10 元 D． 100.768 10 元 【答案】A 【解析】 解：76.8 亿元＝7680000000 元＝7.68×109 元． 故选：A． 方法或规律点拨 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 巩固练习 1．（ 2020·广东省初三二模）我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为( ) A．53006×10 人 B．5.3006×105 人 C．53×104 人 D．0.53×106 人 【答案】B 【解析】 解：∵530060 是 6 位数， ∴10 的指数应是 5， 故选 B． 2．（ 2020·河南省初三） 2019 年 10 月 1 日，在天安门广场举行了盛大的阅兵仪式， 14 亿中华儿女喜迎中华 人民共和国建国七十周年华诞， 亿用科学记数法表示为（ ） A． 91 . 4 1 0 B． 101 4 1 0 C． 90.1410 D． 81.4 10 【答案】A 【解析】解： 亿=1400000000= ， 故选：A． 3．（ 2019·广东省初三一模）据《2018 年 A 市国民经济和社会发展统计公报》显示，2018 年，A 市实现地 区生产总值达到 10500 亿元．其中“10500 亿”用科学计数法表示为（ ） A． 130.105 10 B． 121.05 10 C． 1110.5 10 D． 10105 10 【答案】B 【解析】解：10500 亿=10500 0000 0000= 故选择：B 4．（ 2020·广东省惠州一中初三二模）2020 年 2 月 3 日，国家卫生健康委副主任在国务院应对新型冠状病毒 感染的肺炎疫情联防联控机制举行的新闻发布会上表示，国家在政策和经费方面支持做好新型冠状病毒肺 炎疫情防控相关工作截至该日，国家已拨款 665.3 亿元，用于疫情防控．将 665.3 亿用科学记数法表示为（ ） A． 8665.3 10 B． 26.653 10 C． 106.653 10 D． 96.653 10 【答案】C 【解析】665.3 亿 8 2 8 10665.3 10 6.653 10 10 6.653 10       ． 故选 C． 5．（ 2020·河南省初三二模）从新华网获悉：商务部 5 月 27 日发布的数据显示，一季度，中国与“一带一 路”沿线国家在经贸合作领域保持良好发展势头，双边货物贸易总额超过 16553 亿元人民币，16553 亿用科学记数法表示为（ ） A．1.6553×108 B．1.6553×1011 C．1.6553×1012 D．1 .6553×1013 【答案】C 【解析】解：将 16553 亿用科学记数法表示为：1.6553×1012． 故选 C． 6．（ 2020·广东省初三学业考试）2020 年新春之际出现了罕见的新型冠状病毒疫情，面对突如其来的灾害， 全国各族人民万众一心科学防治，全力抗击疫情．我市某县区的一个企业在复工复产后的第一个月，生产 产品产值约为 1 5 2 . 1 万元人民币， 万元用科学记数法表示正确的是（ ） A． 51 . 5 2 1 1 0 元 B． 70.1521 10 元 C． 615.2110 元 D． 61.52110 元 【答案】D 【解析】解： 万元=1521000 元= 元 故答案为 D． 7．（ 2020·济南市济阳区第二实验中学初三其他）预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460 000 000，将 460 000 000 用科学计数法表示为（ ） A． 94 . 6 1 0 B． 746 10 C． 84.6 10 D． 90.46 10 【答案】C 【解析】460 000 000=4.6×108． 故选 C． 考点 5：近似数与有效数字 典例：（2020·山东省中考真题）3.14159 精确到千分位为（ ） A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 【答案】C 【解析】 解：3.14159 精确到千分位为 3.142． 故选 C． 方法或规律点拨 本题考查近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位， 保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是 0 的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数 的有效数字． 巩固练习 1．（ 2020·山东省初三一模）4604608 取近似数，精确到万位，结果是（ ） A． 64 . 6 0 1 0 B．4600000 C． 64 . 6 1 1 0 D． 64 . 6 0 5 1 0 【答案】A 【解析】 4604608≈4600000≈ ， 故选：A． 2．（ 2020·山东省初三三模）截至北京时间 2020 年 3 月 22 日 14 时 30 分，全球新冠肺炎确诊病例达 305740 例，超过 30 万，死亡病例累计 12762 人，将“305740”这个数字用科学记数法表示保留两位有效数字为( ) A．3.05740×105 B．3.05×105 C．3.0×105 D．3.1×105 【答案】D 【解析】解：305740 这个数字用科学记数法并保留两位有效数字表示为 3.1×105． 故选：D． 3．（ 2020·湖南省初三其他）据《人民日报》“9 组数据看懂新中国成立 70 周年的沧桑巨变”一文报道，我国 国民生产总值从 1952 年 679 亿元到 2018 年 900309 亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法 表示数字 900309（精确到万位）是（ ） A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×104 【答案】B 【解析】900309＝9.00309×105≈9.0×105． 故选：B． 4．（ 2019·山东省初一期中）近似数 35.04 万精确到（ ） A．百位 B．百分位 C．万位 D．个位 【答案】A 【解析】解：∵35.04 万末尾数字 4 表示 4 百， ∴近似数 35.04 万精确到百位． 故选：A． 5．（ 2020·山东省初三二模）据国家卫健委报道，截止到 2020 年 2 月 16 日 24 时，全国 31 省和新疆建设兵 团共报告新冠肺炎确诊病例 28179 人， 将 28179 科学记数法表示为（精确到千位） （ ） A．2.8×10² B．2.8×10³ C．2.8×104 D．2.0×10³ 【答案】C 【解析】解：28179≈2.8×104， 故选：C． 6．（ 2020·镇江实验学校初三三模）某市去年第四季度财政收入为 4 1 . 7 6 亿元，用科学记数法(结果保留两个 有效数字)表示为（ ）元 A． 84 1 1 0 B． 94.110 C． 94 . 2 1 0 D． 841.710 【答案】C 【解析】解：41.76 亿元=4 176 000 000 元=4.176×109 元≈4.2×109 元， 故选：C． 7．（ 2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）用四舍五入法把 3.1415 精确到千分位是_______；近似数 2.5 万精确到_______位． 【答案】3.142， 千 【解析】 解：用四舍五入法把 3.1415 精确到千分位是 3.142； ∵2.5 万=25000， ∴近似数 2.5 万精确到千位； 故答案为：3.142，千． 8．（ 2020·黑龙江省初一期末）据《2011 年国民经济与社会发展统计公报》报道，2011 年我国国民生产总值 为 471564 亿元，471564 亿元用科学记数法表示为（保留三个有效数字）_______元． 【答案】4.72×1013 【解析】 解：471564 亿=47 1564 0000 0000=4.71564× 1310 ≈4.72× ， 故答案为： 134.72 10 .