用方程组解决问题教案 9页

‎ ‎ ‎10.5.1用方程组解决问题 ‎【教学目标】‎ ‎1. 能够正确地找出题目中的等量关系，列出方程组并且求解，能够检验所得的结果是否符合实际意义.‎ ‎2. 提高学生分析问题、解决问题的能力.‎ 此外让学生受到环境保护的思想教育；能够让学生在经历和体验列二元一次方程组解决问题的基础上，体会到方程组是刻画现实世界的一个有效的数学模型及其应用价值；领悟整体思想在解题中的作用.‎ ‎【情境设计】‎ 本课时的情境是“十一”国庆长假旅游及收集废旧电池活动，容易让学生构想出当时的现实情形，便于寻找数量关系，初步建立方程组这一数学模型.也可以选用下列的情境以情趣或勾起学生解决问题的欲望导入.‎ 情境一、有这样一个传说，清朝康熙皇帝有一年微服南巡，在扬州城一个集市上看见两位公差和几个卖马、牛的伙伴正在争执.只听伙计们苦苦地央求两公差：“这位大爷，按我们讲好的价钱，您若买四匹马、六头牛，共四十八两银子；您若买三匹马、五头牛共三十八两银子.你们现在买的加起来，一共应该是八十八两银子.可你们只给八十两，还少八两，我们可亏不起这么多呀！”而两公差反而瞪眼呵斥，强赶牛马就要走.正在这时，身着便服的康熙气定神闲地走到公差面前说：“买卖公平，一匹马、一头牛都有个价，要想买马牵牛，那该多少银子就付多少，怎么能仗势欺人？”两公差见此人竟敢当众管教他们，大怒：“你找死呀！我们讲好的什么价，你怎么知道？少管闲事！”康熙微微冷笑，略微思索一会，便准确地报出了价格.伙计们和围观的人群一听无不惊奇.你知道怎样算的吗？‎ 情境二、小亮的爸爸是个懂得经营、善于运算的企业家.今天又遇到了一个新问题想考考小亮.某船的载重为260吨，容积为1000m3.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8 m3，乙种货物每吨体积为2 m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时无任何空隙）‎ ‎【活动设计】‎ 出示问题1：‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎1．用自己的话说说本题叙述的是一件什么事，主要讨论旅游中的哪两个问题.‎ ‎2．你能就这两条线索分别用等量关系表示出来吗？同桌交流，互相说说.‎ ‎3．在你所找的等量关系中已知了什么，未知什么，假如将未知的用字母设出来，你会表示出来吗？‎ ‎4．学生自主尝试列方程组并完成解答.教师板书讲解时提问：本题在列方程组时，你还应该注意什么？教师利用统一单位这一事，不失时机地进行细心、认真的思想教育.‎ ‎5．分析应用题检验的必要性.同时写上答语.‎ ‎6．学生小结列方程组解应用题的一般步骤.即：一找、二设、三列、四解、五验、六答 ‎7．利用相同的问题情境，改编应用题.某旅行社组织了甲、乙两个旅游团分别到庐山、五台山旅游，已知甲团的人数比乙团的人数的2倍多5人.甲、乙两个旅游团的人数各是多少？（让学生先尝试去做，待学生发现问题后分析，通常情况下两个未知数要有两个等量关系式.你能再补充一个条件，使问题得以圆满解决吗？）‎ 出示问题2‎ 1． 题目看完后，先对学生进行爱护环境的教育.‎ 2． 让学生进行找“题眼”的训练，找准等量关系的切入点.‎ 3． 让学生互说等量关系，自主探索列方程组，解答并检验.‎ ‎4．在学生完成问题2的解答后，教师提问：假如把问题改为一节1号电池比一节5号电池多多少克？怎么办？渗透间接设法.假如将问题改为一节1号电池和一节5号电池共多少克呢？渗透整体的数学思想.培养学生留心观察的习惯（本题数据自身较特殊，可以不必求出一节1号电池和5号电池分别多少克.）‎ ‎【例题设计】‎ ‎ 在学生初步掌握方程组这一模型后，可选用下列例题，进一步体验方程的意义.‎ ‎ 某车间有28名工人，生产一种配套的螺栓和螺帽，1个螺栓要配2个螺帽，平均每人每小时能生产螺栓12个或螺帽18个，应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺帽，才能使生产出来的螺栓和螺帽正好配套？‎ ‎1．让学生自己分析问题，找等量关系.‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎2．让学生说说本题的关键在什么地方.加强对“配套”的理解.‎ ‎3．无论何时都必须注意方程两边的平衡.用天平和跷跷板给予形象的说明.‎ ‎4．学生自己完成解答.‎ ‎【练习设计】‎ 课堂练习：‎ ‎① P115 练一练 （1）、（ 2）‎ ‎② 某船逆水航行于一条长360千米的A、B两码头，用去18小时，当这艘船沿原路返回时，用去了10小时.求这条船在静水中的航行速度及水的速度.（让学生体会一下逆水航行与顺水航行的区别，理清“逆水船速=静水船速-水速、顺水船速=静水船速+水速，再利用基本公式列方程组.）‎ 课堂作业：‎ ‎① P120 第1题 ‎② P120 第2题 （让学生体会在一次的变化中，两个量都发生了变化，不过总量不变.教师还要举一次变化中只有一方变化的例子加以区别.）‎ ‎ 课后作业：‎ ‎① 小红家种植水果，去年收支相抵，结余1200元.今年她家水果丰收，估计收入可比去年增加15%；而因改进了种植技术，支出可望比去年减少5%，这样，今年可结余2340元，小红家去年种植水果的收入、支出各多少元？‎ ‎② 小赵为班级购买笔记本作晚会上的奖品，回来时向生活委员小陈交帐说：“一共买了36本，有两种规格，单价分别为1.80元和2.60元，去时我领了100元，现在找回27.60元.”小陈算了一下说：“你肯定搞错了.”小赵一想，发觉的确不对，因为他把自己口袋里的2元钱一起当作找回的钱款给了小陈，请你算一算两种笔记本各买了多少？想一想，有没有可能找回27.60元.‎ ‎（让学生体验用方程组解决问题后，需要代入实际情境进行检验的重要性.）‎ ‎③ 为彻底战胜SARS病毒，世界上许多科学家夜以继日地工作在实验室中.在每次实验中，他们都要做精确的记录，以便于相应数据的处理.在一次实验中，甲、乙两容器分别有水49ml和56ml.若将乙容器中的水倒满甲容器，则乙容器中剩下的水是这个容器的容量的1/2 ；若将甲容器中的水倒满乙容器，则甲容器中剩下的水是这个容器的容量的1/3 .据此，求两个容器的容量.‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎【设计说明】‎ 本课时通过现实性的问题情境，让学生自主探索，寻找解决问题的策略，初步建立方程组这一模型.能使学生掌握用方程组解应用题的一般步骤.教师要注意对学生参与度的评价.力求让学生多说，敢想、主动参与到模型的构建中来.通过对课本例题的延伸，渗透一些数学思想及解题技巧.‎ ‎10.5.2用方程组解决问题 ‎【教学目标】‎ 1． 让学生通过列表，能较准确的找出题目中的数量关系.列方程组解决问题.‎ 2． 提高分析问题、解决问题的能力.‎ 此外，让学生受到提倡节约，反对铺张的思想教育；进一步体会方程组这一数学模型在解决问题中的作用；领悟量不变思想、对应思想、分类讨论思想在解决问题中的作用.‎ ‎【情境设计】‎ 本课时提供的问题情境主要是让学生感受到列表格能够使复杂的问题情境清晰化、条理化，便于寻找等量关系.我们还可以选用下列问题情境：‎ 运往某地一批化肥，化肥吨数与所需火车皮及汽车辆数之间的关系如下表所示，则10节火车皮、5辆汽车可运化肥多少吨？‎ 化肥吨数 火车皮数 汽车辆数 第一次 ‎360‎ ‎6‎ ‎15‎ 第二次 ‎440‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（对问题进行一下分析，让学生体会间接设元较好.）‎ ‎【活动设计】‎ 出示问题3：‎ ‎1．让学生说说本题研究的是产品生产问题中的哪两方面的问题.‎ ‎2．让学生找解决问题的“题眼”.提醒学生这是一个较好的寻找等量关系的方法.‎ ‎3．让学生讨论如何设计表格.（时间一条线索、用铜的数量一条线索，则表格可分为两横栏，甲、乙两产品则可分为两纵栏.）‎ ‎4．设好未知数，填好表格（强调对应），完成整个解题过程.‎ ‎5．让学生体会列表格的作用.‎ ‎6．让学生将其中的一组条件与问题交换，进一步训练数量间的关系.‎ - 9 -‎ ‎ ‎ 出示问题4：‎ 1． 进行节约用水的思想教育.‎ ‎2．根据“基本价是6吨，那么看到8吨、9吨你联想到什么？则水费由几部分组成.‎ ‎3．学生自己设计表格，同桌交流设计方案.‎ ‎4．完成解答的全过程.‎ ‎5．让学生仔细分析数据，能不能不列方程组，就把答案写出来.培养学生敏锐的观察力和思维能力.（本题的数据较特殊）‎ ‎【例题设计】‎ ‎ 在问题3与问题4解决完之后，可以补充下面例题，让学生进一步体会表格的巨大作用.‎ ‎ 一天，孔子的学生冉生问孔子的年龄.孔子说：“当我象你这么大时，你才刚刚3岁；而当你象我这么大时，我已经39岁了.请你算一算我的年龄有多大？”‎ ‎ 1． 年龄问题较复杂，在学生感到困难的时候，提醒学生列表格.‎ ‎ 2．设元：冉生今年x岁，孔子今年y岁，填好表格.‎ 冉生年龄 ‎ x ‎ 3‎ ‎ y 孔子年龄 ‎ y ‎ x ‎ 39‎ 年龄之差 y-x ‎ x-3‎ ‎ 39-y ‎ 3．让学生说说可以通过什么建立等量关系，强调不变量在建立等量关系中的重要作用.‎ ‎ 4．学生解答，并体会量不变思想及表格在解决问题中的作用.‎ ‎ 5．完成后提醒同学们，在年龄问题中，还有一点需注意：年龄甲长乙也长（特殊情况除外）.‎ ‎【练习设计】‎ 课堂练习：‎ ‎① P117 练一练（1）（让学生先估算，两次购买的本数各处于哪一段，从而排除都买100本的情况.再说说等量关系并自主列方程组解答.）‎ ‎② P117 练一练 (2）（让学生列表解答）‎ ‎③‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎ 两个两位数的差为18，如果在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数.与在较小的四位数的右边接着写上较大的两位数得到的四位数相比，前者要比后者大1782.求这个两位数.（学生先独立静思，不会的可以讨论.让学生发现在较大的两位数的右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数这句话的本质.实在有困难，可以由会的学生举例说明.）‎ 课堂作业：‎ ‎① P120 （3）（题目情境较陌生，先反复读题，再启发学生可以将未知数先设元，再当成已知量代入题目中，以便于等量关系的发现.）‎ ‎② P120 （4）‎ 课外作业：‎ ‎① P120 （6）‎ ‎② 某工厂现有甲种原料350kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产产品，已知生产一件A种产品，需甲原料9kg，乙种原料3 kg,可获利润700元.生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元 （1） 可生产A、B两种产品各多少件？‎ （2） 共可获利润多少元？‎ ‎（可以列表分析数量关系，也可以将未知数先设元，再当成已知量代入题中帮助理解.）‎ ‎③（选做题） 项王故里的门票价格规定如下表：‎ 购票人数 ‎1~50人 ‎51~100人 ‎100人以上 每人门票价 ‎5元 ‎4.5元 ‎4元 某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元.‎ ‎（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱？‎ ‎（2）两班各有多少名学生？‎ ‎ （让学生先估算，试着分类讨论）‎ ‎【设计说明】‎ 用贴近学生生活的实际问题，进一步强化方程组的模型思想.能够让学生自己探索并掌握用表格帮助解决问题的这一策略.注重对数学思想方法的渗透，体会到思想方法在解题中的作用.加强对学生思维深度、广度及参与度的评价.‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎10.5.3用方程组解决问题 ‎【教学目标】‎ ‎1．让学生通过画示意图，较准确的找出题目中的数量关系，并列方程组解题.‎ ‎2．通过解决实际问题，发展学生应用数学的意识，进而提高学生的数学建摸的能力.‎ 此外，通过探究活动，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，培养学生合作、交流的能力.领悟对应、数形结合、算两次、分类讨论等思想方法.‎ ‎【情境设计】‎ 问题5、问题6的引入，主要是让学生体会到遇到新的问题情境，能够通过画示意图，分析示意图，这一有效的建模策略，寻找出内隐的数量关系，从而使问题得以解决.此外还可以选用下列问题情境：‎ 一个长方形，它的长减少4cm，宽增加2 cm，所得的是一个正方形，它的面积与原长方形的面积相等.求原长方形的长与宽.‎ ‎【活动设计】‎ 出示问题5‎ 1． 学生独立观察，从中收集信息.从而体会到做一个甲纸盒对应1个正方形、4个长方形;做一个乙纸盒对应2个正方形、3个长方形.‎ 2． 学生互相讨论，找出数量关系.再独立尝试列方程组解决问题并检验.‎ 出示问题6‎ ‎1．让学生说说“完全过桥”、“完全在桥”的意义.比较与以往行程应用题有什么明显区别.‎ ‎2．学生用线段代替桥、用方块代替火车，同桌合作画出示意图.‎ ‎3．让学生仔细观察示意图，同桌交流，说说自己发现了什么？帮助学生找出问题的本质.将此题转化为某一质点的运动（如车头一点）.‎ ‎4．通过质点转化为一般行程问题后，让学生自己完成解答.教师评讲时注意算两次思想（即用不同的方法，表示同一个路程）的渗透.‎ ‎5．让学生体会示意图在解决问题中的作用.‎ ‎6 . ‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎ 6个问题学完了，小结列方程组解决问题的方法.即：一找、二设、三列、四解、五验、六答.找等量关系式的常用方法有：一、从关键词（题眼）中找等量关系；二、运用基本公式找等量关系；三、运用不变的量找等量关系；四、对一种“量”，从不同的角度进行表述（即算两次），得到相等的关系.另外，设未知数要注意直接设元与间接设元的灵活使用.‎ ‎【例题设计】‎ 课本中安排了两个例题，在学生初步掌握了用示意图这一策略帮助建立方程组后，还可酌情选用下列例题.‎ ‎ 如图： 8块相同的长方形地砖拼成了一个矩形图案（地砖间的缝隙忽略不计），拼成的矩形的宽是60 cm，求每块地砖的长和宽.‎ ‎ 1．让学生仔细看图，互相讨论，寻找出图中隐含的小矩形的长与宽的数量关系.‎ ‎ 2．列方程组解答问题并检验.‎ ‎ 3．鼓励学生以后要大胆的从生活情境及图形中收集信息 ‎【练习设计】‎ 课堂练习：‎ ‎ ① P119 练一练（1）（通过动画或示意图让学生发现在圆周上若在同处出发，小明追上小亮，则小明比小亮多走1圈.若在同处背向而行到相遇，则为合走1圈）‎ ‎② P119练一练（2）（本题的题意较复杂，要让学生反复读题，大胆发言.可以直接设元，也可间接设元.尤其注意运用不变的量找等量关系以及对一种“量”，从不同的角度进行表述（即算两次），得到相等的关系，这两种思想方法的强化.）‎ 课堂作业：‎ ‎① P120（5） （让学生画好示意图，提出：4个速度一定要注意与路程的对应.）‎ ‎② P120（7） ‎ ‎③ A、B两地相距36km,甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时出发相向而行，经过4h两人相遇；若经过6h，则此时甲所余下的路程是乙所余下的路程的2倍，甲、乙两人的速度各是多少？‎ 课外作业：‎ ‎① 用一根40米的铁丝网围成一个长方形的篱笆，使较长的一面靠墙，若长比宽多2米，求此长方形篱笆围成的土地的面积.‎ ‎②‎ - 9 -‎ ‎ ‎ ‎ 到商店、银行、工厂或农村等地进行调查，收集实际问题中数据和数量关系，编一个可以用二元一次方程组解决的应用题，并与同学进行交流.‎ ‎③（选做题）有四种原料：A：50﹪的酒精溶液120克；B：40%的酒精150克；C：90﹪的酒精溶液150克； D：水60克.请你设计一种方案，只选取两种原料，配置成60﹪的酒精溶液200克，（1）你选哪两种原料，各取多少？（2）设未知数列方程组解之，说明你配置方法的正确性.（这是一道开放型的题目，具有较强的实际意义.启发学生根据纯酒精（即溶质）及水的质量讨论.加强估算能力的培养及有序思考方法的渗透.）‎ ‎【设计说明】‎ 进一步巩固方程组解决问题的这一模型，让学生走向社会，通过调查，在现实情境中提炼模型，提高数学应用意识.注重对应、数形结合、算两次思想的渗透.注重对学生过程及参与度的评价及思考问题的准确性、广阔性、灵活性的评价.‎ - 9 -‎