2020七年级数学上册 第1章 有理数 1 6页

‎1.5　有理数的乘方 ‎1．5.1　乘方 第1课时　乘方的意义 ‎ 情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣 情景导入　同学们，你们吃过拉面吗？你们知道拉面是怎么做出来的吗？‎ 图1－5－1‎ 做一做：用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，作好记录．‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…‎ ‎10‎ ‎…‎ 面条根数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎64‎ ‎…‎ ‎1024‎ ‎…‎ ‎　　[说明与建议] 说明：通过生活中“拉面问题”的实例，让学生经历动手实践，将实际问题抽象为数学问题的过程，感受数学知识与生活的联系，激发学生的学习兴趣．建议：先让学生根据示意图口答捏合后的面条根数，然后再让学生猜想回答第四次、第五次捏合后的根数，随后用准备好的拉面玩具做拉面捏合的练习，最后让一名学生汇报实验结果．质疑如果捏合10次、100次、n次呢？‎ 类比导入　我们学数学就为了能成为一名化繁为简的高手．‎ 问题1：比如3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×(　)，利用乘法将这么长的加法算式变简单．‎ 问题2：我们现在学习了乘法，那么3×3×3×3×3＝(　)，你们打算怎样简化一下呢？‎ ‎[说明与建议] 说明：在简短的对话交流中，学生有了发表独见的机会，引发了学生的学习兴趣，舍弃了贴近生活的导入方式，一是期望能在数学的发展关联上对学生有所启迪，初步培养学生发展数学的意识；二是会使得知识的学习在迁移中更易于让学生接受．建议：让学生在轻松的氛围中自主交流2分钟左右，对学生有思考的每个回答给予积极的评价．‎ 悬念激趣　导语：同学们，我们生活中有很多事件都蕴含了数学的知识，那么你知道下面这个事件所涉及的数学知识吗？(课件展示)‎ 趣味数学【是真的吗？】‎ 6‎ 珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度约是‎8844米．把一张足够大的厚度为‎0.1毫米的纸连续对折30次，厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？‎ ‎[说明与建议] 说明：通过趣味数学创设问题情境，吸引学生的注意力，唤起学生的好奇心，激发学生的兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围．建议：教师可以现场进行演示，唤起学生的求知欲望，从而引入课题．‎ 教材母题——教材第42页例1‎ ‎(1)(－4)3；(2)(－2)4；(3)(－)3.‎ ‎【模型建立】‎ 有理数的乘方运算就是相同因式的乘法运算，在转化、计算的过程中要确定因数，即幂的底数．注意幂的符号的确定．‎ ‎【变式变形】‎ ‎1．[毕节中考] 计算－32的结果是(B)‎ A．9　　　　　　B．－‎9　‎　　　　　C．6　　　　　　D．－6‎ ‎2．[淄博中考] 计算(－3)2等于(D)‎ A．－9 B．－‎6 C．6 D．9‎ ‎3．[聊城中考] 的相反数是(B)‎ A．－6 B．‎8 C．－ D. ‎4．[黄冈中考] －(－3)2＝(C)‎ A．－3 B．‎3 C．－9 D．9‎ ‎5．[威海中考] 若a3＝－8，则a的绝对值是(A)‎ A．2 B．－‎2 C. D．－ ‎6．[贺州中考] 2615个位上的数字是(D)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．8‎ ‎7．某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次(由1个分裂为2个)，经过2个小时，这种细菌由1个可分裂为(B)‎ A．8个 B．16个 C．4个 D．32个 ‎8．(－1)2015的绝对值是__1__．‎ ‎[命题角度1] 有理数的乘方运算 在进行有理数的乘方运算时应注意以下两点：1.步骤：先确定底数和指数，再确定幂的符号，最后计算底数绝对值的积.2.(－a)n与－an的两个不同：(1)底数不同，前者为－a，后者为a.(2)读法不同：前者读为－a的n次方，后者读为a的n次方的相反数．‎ 例　计算：(1)(－5)4；(2)－54；(3)－(－)3；(4)[－(－)]3.‎ 6‎ 解：(1)原式＝＋(5×5×5×5)＝625.(2)原式＝－5×5×5×5＝－625.‎ ‎(3)原式＝－(－)＝.(4)原式＝()3＝.‎ ‎ [命题角度2] 乘方在实际中的应用 利用有理数的乘方解决实际问题：(1)从特殊到一般，发现规律，揭示数学关系，以幂的形式表示出来．(2)结合问题进行有关运算，当指数太大时，结果写为幂的形式．‎ 例　当你把纸对折1次时，可以得到2层；对折2次时，可以得到4层；对折3次时，可以得到8层，…‎ ‎(1)计算对折5次时层数是多少？‎ ‎(2)你能发现层数与折纸的次数的关系吗？‎ ‎(3)如果每张纸的厚度是‎0.1 mm，求对折12次后纸的总厚度．‎ 解：(1)对折1次得到2层，即21层；对折2次得到4层，即22层；对折3次得到8层，即23层；…；那么对折5次时的层数是25.‎ ‎(2)对折n次时的层数是2n ‎(3)根据上述对折次数与层数之间的关系可得：对折12次的层数为212＝4096(层)．‎ 已知每张纸的厚度为‎0.1 mm，那么对折12次后的厚度为：‎ ‎4096×0.1＝409.6(mm)＝40.96(cm)．‎ ‎[命题角度3] 幂的末位数字问题 ‎0，1，5，6的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身；2的正整数次幂的个位数字是按2，4，8，6四个数字循环的；3的正整数次幂的个位数字是按3，9，7，1四个数字循环的；7的正整数次幂的个位数字是按7，9，3，1四个数字循环的；8的正整数次幂的个位数字是按8，4，2，6四个数字循环的；9的正整数次幂的个位数字是按9，1两个数字循环的．‎ 例　实验、观察、找规律．‎ 计算：31＝__3__；32＝__9__；33＝__27__；34＝__81__；‎ ‎35＝__243__；36＝__729__；37＝__2187__；38＝__6561__．‎ 由此推测32015的个位数字是__7__．‎ ‎[命题角度4] 偶次方的非负性 任何一个有理数的偶次方都是非负数．两个非负数的和为零，则每个数都为零．‎ 例　[河北中考] 若实数m，n满足＋(n－2014)2＝0，则m＋n＝__2016__．‎ ‎[命题角度5] 利用数值转换器进行乘方的有关计算 数值转换器就是隐藏的算式，严格根据转换的顺序和条件列式进行计算．‎ 例　[娄底中考] 按照如图1－5－2所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为__55__.‎ 图1－5－2‎ 6‎ ‎ P42练习 ‎1．(1)(－7)8中，底数、指数各是什么？‎ ‎(2)(－10)8中－10叫做什么数？8叫做什么数？(－10)8是正数还是负数？‎ ‎[答案] (1)(－7)8中底数是－7，指数是8；‎ ‎(2)(－10)8中－10叫做底数，8叫做指数．(－10)8是正数．‎ ‎2．计算：‎ ‎(1)(－1)10；　　(2)(－1)7；　　(3)83；　(4)(－5)3；　　(5)0.13；　(6)；‎ ‎(7)(－10)4；　　(8)(－10)5.‎ ‎[答案] (1)1；(2)－1；(3)512；(4)－125；(5)0.001；(6)；(7)10 000；‎ ‎(8)－100 000.‎ ‎3．用计算器计算：‎ ‎(1)(－11)6；　　(2)167；‎ ‎(3)8.43；　　 　(4)(－5.6)3.‎ ‎[答案] (1)1 771 561；(2)268 435 456；(3)592.704；(4)－175.616.‎ ‎[当堂检测]‎ ‎1. 的意义是（ ）‎ A.－3×4 B.4个（－3）相加 ‎ ‎ C.4个（－3）相乘 D.3个（－4）相乘 ‎2. 下列式子中，正确的是（ ）‎ A.－102=(－10)×(－10) B. 32 = 3×2 ‎ C.(－)3=－×× D.23= 32‎ ‎3. 计算（-2）2+（-2）3的结果是（　A　）‎ ‎ A．-4 B．‎2 C．4 D．12‎ ‎4. 如果|a+3|+（b-2）2=0，则（a+b）2013的值是____ 。‎ ‎5．计算：‎ ‎（1）- 3²÷（- 3）²+（- 2）×3;‎ ‎（2）-22 -（-3）3×（-1）2 -（-1）3.‎ 参考答案：‎ ‎1. C ‎ ‎2. C ‎ ‎3. A ‎ ‎4. – 1‎ ‎5.（1）- 7 ‎ ‎（2）24 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎“有理数乘方”解读 ‎ “乘方”是继有理数的加、减、乘、除运算之后又一种新的运算，在有理数一章中占着很重要的地位，为了帮助同学们更好地掌握这部分知识，下面从几个方面进行归纳叙述，供同学们参考.‎ 一、正确理解乘方的含义 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，其结果叫做幂.因此乘方有双重含义，首先它表示一种运算，一种特殊的运算（即因数相同的乘法运算），如表示的运算，读着a的n次方；其次它表示一种运算的结果，如是n个a相乘的结果，读着a的n次幂.所以在理解乘方概念时，应知道它不仅表示一种运算，而且还表示运算的结果.‎ 二、正确理解乘方的结果 上面我们谈到乘方表示一种运算的结果，不少同学就认为只有把乘方写成的形式才叫做幂，这种观点是错误的，实际上，对于具体数的乘方，特别是结果不太大的数，其结果可以写成幂的形式，也可以用具体的数表示.如=27，这里的和27都是乘方的结果，它们之间没有什么不同.当然，对于用字母表示的数的乘方结果只能写成幂的形式.‎ 三、注意分清底数及其写法 的底数是－a，而－的底数是a，前者表示n个(－a)相乘，后者表示n个a相乘结果再取相反数，因此，不能把与－混为一谈，虽然有时它们的结果可能相同，如，－，但它们的具体含义却不一样.当底数是负数或分数时，我们在书写中一定要把底数加上括号，然后再在括号的右上角写上指数，以体现底数的整体性，否则就会出现把的3次方写成－，的平方写成的错误，同学们在初学时一定要注意这一点.‎ 四、注意运算顺序及积和幂的区别 加上我们以前学习的加、减、乘、除四种运算，共有了五种运算（后面我们将还会学习一种运算——开方），其中把加、减称为第一级运算，乘、除称为第二级运算，乘方、开方称为第三级运算.如果在一道题中同时含有几种不同的运算 6‎ ‎，应按照从高级到低级运算依次进行，有括号的当然先算括号内的.如3，而不能算成3.我们知道2×2×2=8，，虽然结果相同，但它们的意义却是完全不同的，前者的8是乘法的结果——积，后者的8是乘方的结果——幂.因此8可以看成1×8，2×4，（-2）×（-4）等等的积，而8作为幂只能表示是2的3次幂.‎ 6‎