人教版七年级数学上册期末考试复习第四章图形初步认识复习教学课件 43页

第四章 图形初步认识 人教版 七年级数学上册 要点梳理 一、几何图形 1. 立体图形与平面图形 (1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如： (2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如： 2. 从不同方向看立体图形 3. 立体图形的展开图 正方体 圆柱 三棱柱 圆锥 4. 点、线、面、体之间的联系 (1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点； (2) 点动成线、线动成面、面动成体. 二、直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 2. 直线、射线、线段的区别 类型 线段 射线 直线 端点个数 2个 不能延伸 延伸性 能否度量 可度量 1个 向一个方向 无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度量 3. 基本作图 (1) 作一线段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差. 5. 有关线段的基本事实 两点之间，线段最短. 4. 线段的中点 应用格式： C是线段AB的中点， AC ＝BC ＝ AB， AB ＝2AC ＝2BC. 1 2 A C B 6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离. 三、角 1. 角的定义 (1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角； (2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形. 2. 角的度量 度、分、秒的互化 1°＝60′，1′＝60″ 3. 角的平分线 O B A C 应用格式： OC 是 ∠AOB 的角平分线， ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB ∠AOB ＝ 2∠BOC ＝ 2∠AOC 1 2 4. 余角和补角 (1) 定义 ① 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). ② 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). (2) 性质 ① 同角 (等角) 的补角相等. ② 同角 (等角) 的余角相等. (3) 方位角 ① 定义 物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹 角称为方位角，一般以正北、正南为基准， 用向东或向西旋转的角度表示方向. ② 书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西 考点一 从不同方向看立体图形 考点讲练 例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面 看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正 方体的个数,画出从正面和左面方向 看到的平面图形. 1 12 2 考点讲练 1 12 2 从正面看 从左面看 解： 解析：根据图中的数字，可知 从前面看有3列，从左到右的 个数分别是1，2，1；从左面 看有2列，个数都是2 . 1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别 得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来． A B C D a b c d 针对训练 考点二 立体图形的展开图 例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称 (1)_______，(2)_______，(3)________.长方体 三棱柱 三棱锥 (1) (2) (3) 2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)， 可以是一个正方体展开图的是 ( ) Ａ　　 B C D C 针对训练 考点三 线段长度的计算 例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm， CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求 DE 的长． 5 3 E CA D B 解：∵AC =15cm，CB = AC， ∴CB = ×15=9 cm，∴AB =15+9= 24 cm． ∵D，E 分别为 AC，AB 的中点， ∴AE = AB =12 cm，DC = AC = 7.5 cm， ∴DE = AE－AD =12－7.5 = 4.5 (cm)． 3 53 5 1 2 1 2 例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分， M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长． DA B CM 提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差 关系较为复杂，可以尝试列方程解答. 由 MC + CD= M D得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3. 故 BM = AM－ AB =5x－2x = 3x = 3×3 = 9 (cm)， AD =10x =10×3 = 30 (cm)． DA B CM 解：设 AB = 2x cm， BC = 5x cm，CD = 3x cm， 则 AD = AB+BC+CD =10x cm. ∵M 是 AD 的中点， 1 2 ∴AM = MD = AD = 5x cm. 例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点. (1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长； A M C N B ∴CM＝ AC＝4 (cm)，CN＝ BC＝3 (cm)， 1 2 1 2 解：∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MN＝CM＋CN＝4＋3＝7 (cm). (2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm， 其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明 理由； A M C N B 证明：同(1)可得 CM ＝ AC ，CN ＝ BC， ∴ MN ＝ CM＋CN ＝ AC＋ BC ＝ (AC＋BC) ＝ a (cm). 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 猜想：MN = a cm.1 2 (3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 AC－BC = b cm， M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度 吗？请画出图形，并说明理由. A M B N C MN = MC－NC = AC－ BC = (AC－BC) = b (cm)． 1 2 1 2 1 2 1 2 猜想：MN= b cm. 1 2 证明：根据题意画出图形，由图可得 针对训练 3. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 则线段 MC 的长度为__________. BA M CD 4. 如图：AB =120 cm，点C，D在线段AB上，BD = 3BC， 点 D 是线段 AC 的中点. 则线段 BD 的长度为______. BA CD 45cm 72cm 5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度. A M C N B 图① ∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)， BN = BC = ×4 = 2 (cm)， 1 2 1 21 2 1 2 解：如图①，当 C 在 AB 间时， ∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点， ∴ MN = BM－BN = 6－2 = 4 (cm). 方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论， 培养分类意识. CA M NB 图② ∴ BM = AB = ×12 = 6 (cm)， BN = BC = ×4 = 2 (cm) 1 2 1 21 2 1 2 如图②，当C在线段AB外时， ∵ M，N 分别是 AB，BC 的中点， ∴ MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm). 考点四 关于线段的基本事实 例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两 个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可 口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到 B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？ A B 解：如图，将台阶面展开成平 面图形. 连接 AB 两点，因为两点 之间线段最短，所以线段 AB 为蚂蚁爬行的最短路线. A B BB 6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面 爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行 的最短路线. A 针对训练 考点五 角的度量及角度的计算 例7 如图，BD平分∠ABC，BE 把∠ABC 分成 2︰5 两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数. E BA CD ∴ ∠ABD= ∠ABC =3.5x°. 1 2 解：设∠ABE = 2x°，则∠CBE = 5x°, ∠ABC =∠ABE+∠CBE= 7x°. ∵ BD 平分∠ABC， ∵∠ABE+∠DBE =∠ABD ，即2x + 21= 3.5x. 解得 x = 14. ∴ ∠ABC = 7x°= 7×14°= 98 °. 例8 如图，∠AOB是直角， ON是∠AOC的平分线， OM是∠BOC的平分线. (1) 当∠AOC=50°时，求∠MON的大小； O B M A N C 提示：先求出∠BOC的度数，再根据 角平分线的定义求出∠COM，∠CON， 然后根据∠MON=∠COM－∠CON 代入数据进行计算即可得解. ∴∠MON=∠COM－∠CON=70°－25°=45°. O B M A N C 解：∵∠AOB是直角，∠AOC=50°， ∴∠BOC =∠AOB+∠AOC = 90°+50°=140°， ∵ON是∠AOC的平分线， OM是∠BOC的平分线， 1 2 1 2 ∴∠COM = ∠BOC = ×140°=70°， 1 2 1 2 ∠CON= ∠AOC = ×50°= 25°， (2) 当∠AOC＝α 时， ∠MON等于多少度？ O B M A N C ∴∠MON=∠COM－∠CON= (90°+α)－α=45°. 1 2 解：∠BOC=∠AOB+∠AOC =90°+α， ∵ON是∠AOC的平分线， OM是∠BOC的平分线， 1 2 1 2 ∠CON= ∠AOC = α， 1 2 1 2 ∴∠COM= ∠BOC = (90°+α)， (3) 当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小 也会发生改变吗？为什么？ 解：不会发生变化. 由(2)可知∠MON的大小与∠AOC 无关，总是等于∠AOB的一半. O B M A N C 针对训练 7. 若∠A = 20°18′，∠B = 20°15′30″，∠C = 20.25°， 则 ( ) A. ∠A＞∠B＞∠C B. ∠B＞∠A＞∠C C. ∠A＞∠C＞∠B D. ∠C＞∠A＞∠B A 8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是 ( ) A. 210° B. 30° C. 150° D. 60° C 9 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的 度数． 解：有两种情况： 如图①所示： ∠AOC =∠AOB+∠BOC =50°+10°=60°； O A C B 图① 如图②所示： ∠AOC =∠AOB－∠BOC =50°－10°=40°. 综上所述，∠AOC的度数 为60°或40°． O A C B 图② 考点六 余角和补角 例9 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α 小30º，求∠α，∠β． 解：设∠α＝xº，则∠β＝180º－xº． 根据题意 ∠β＝2(∠α－30º)， 得 180－ x＝2(x －30)， 解得 x＝80． 所以 ，∠α＝80º，∠β＝100º． 提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答. 例10 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE， ∠FOD=90°． (1) 写出图中所有与∠AOD互补的角； 解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补， ∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF， ∵∠FOD=90°， ∴∠COF=180°－∠FOD=90°. 又∵∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－∠EOF， ∠DOE=∠FOD－∠EOF=90°－∠EOF， ∴∠AOC=∠DOE. ∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE. O A C B D E F (2) 若∠AOE=120°，求∠BOD的度数． O A C B D E F ∴∠AOF = ∠AOE = ×120°=60°. 1 21 2 解：∵OF平分∠AOE， 由(1)知，∠COF=90°， ∴∠AOC=∠COF－∠AOF=90°－60°=30°. 由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD 互补， ∴∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等). 例9 已知∠AOB=90°，∠COD=90°，画出示意图 并探究∠AOC与∠BOD的关系． 解：如图①，∵∠AOB = 90°， ∠COD = 90°， ∴∠AOC = 90°－∠BOC， ∠BOD = 90°－∠BOC， ∴∠AOC =∠BOD； 如图②，∠AOC=90°+∠BOC， ∠BOD=90°－∠BOC， ∴∠AOC+∠BOD=180°； D O A C B 图① D O A C B 图② 如图③，∵∠AOB=90°,∠COD=90°， ∴∠AOC=90°+∠BOC， ∠BOD=90°+∠BOC， ∴∠AOC=∠BOD； 如图④，∠AOC+∠BOD=360°－ 90°×2=180°， ∴∠AOC+∠BOD=180°． 综上所述，∠AOC =∠BOD 或 ∠AOC+∠BOD=180°． O A C B D 图③ O A C B D 图④ 10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． (1) 若∠EOC=70°，求∠BOD的度数； O A C B D E ∴∠AOC = ∠EOC = ×70°=35°. 1 21 2 针对训练 解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC=∠BOD=180°－∠AOD. ∵OA平分∠EOC， ∴∠BOD =∠AOC =35°. (2) 若∠EOC : ∠EOD=2:3，求∠BOD的度数． 解：设∠EOC=2x°∠EOD=3x°， 由∠EOC+∠EOD=180°得 2x+3x =180°， 解得x = 36°. ∴∠EOC = 2x°=72°， ∴∠AOC= ∠EOC= ×72°=36°， ∠BOD=∠AOC=36°． O A C B D E 1 2 1 2 11. 一只蚂蚁从 O 点出发，沿东北方向爬行 2.5 cm， 碰到障碍物 B 后，折向北偏西60°方向爬行3 cm 到 C点. (1) 画出蚂蚁的爬行路线； (2) 求出∠OBC的度数. 北 O B 2.5 cm C 3 cm 60° 45° 解：(1) 如图所示； (2) ∠OBC =75°.