初一数学上册同步讲解练习 有理数 19页

有理数 典例体系 一、知识点 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限 小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 总结：①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0 统称为非正整数；③正有理数、0 统称为 非负有理数；④负有理数、0 统称为非正有理数； 3.数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （2）数轴上的点与有理数的关系 ①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的 点表示，0 用原点表示。 ②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴 上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点 π 不是有理数） （3）利用数轴表示两数大小 ①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ②正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； ③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 （4）数轴上特殊的最大（小）数 ①最小的自然数是 0，无最大的自然数； ②最小的正整数是 1，无最大的正整数； ③最大的负整数是-1，无最小的负整数 （5）a 可以表示什么数 ①a>0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a>0； ②a<0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a<0 ③a=0 表示 a 是 0；反之，a 是 0,，则 a=0 4.相反数 （1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0。 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ③0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。 （2）相反数的性质与判定 ①任何数都有相反数，且只有一个； ②0 的相反数是 0； ③互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0 （3）相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点 （0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 （4）相反数的求法 ①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5）； ②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b）。化 简得-5a-b）； ③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5），化简得 5) （5）相反数的表示方法 ①一般地，数 a 的相反数是-a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。 当 a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数） 当 a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0，（ 0 的相反数是 0） 5.绝对值 ①绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 ②绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： 如果 a>0，那么|a|=a； 如果 a<0，那么|a|=-a； ③如果 a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。） 6.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大 于负数。 二、考点点拨与训练 考点 1：有理数分类 典例：（2020·偃师市实验中学初一月考）把下列各数分别填在相应的集合内： －11，4.8，73，－2.7， 1 6 ，3.141 592 6，－ 3 4 ， 7 3 ，0. 正分数集合：{ }； 负分数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 非正整数集合：{ }. 【答案】详见解析. 【解析】 正分数集合： 174.8,,3.1415926,...63  ； 负分数集合： 32.7, ...4  ； 非负整数集合：  73 ,0... ； 非正整数集合：  11,0... 方法或规律点拨 本题考查了有理数概念,属于简单题,熟悉有理数的分类是解题关键. 巩固练习 1．（ 2020·江门市第二中学初一月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣23，﹣|﹣ 4 3 |，0， 22 7 ，﹣（﹣3.14）， 2006，﹣（+5）， +1.88， （1）整数集合：{ }； （2）正数集合：{ }； （3）负分数集合：{ }； （4）非负有理数集合：{ }． 【答案】（1） 23,0,2006,(5) ；（ 2） 22 ,(3,14),2006,1.887   ；（ 3） 4 3 ；（ 4） 220,,(3.14),2006,1.87   【解析】 【分析】 根据整数、正数、负分数、非负有理数的定义，逐一判定即可. 【详解】 (1) 23,0,2006, ( 5) 22(2), ( 3,14),2006, 1.887 4(3) 3 22(4)0,, ( 3.14),2006, 1.887        2．（ 2019·广西壮族自治区初一期中）将下列各数填在相应的集合里： 0.2 ，-35%，8，0， 7 4 ， 23 ， 53 整数集合｛ ｝； 分数集合｛ ｝； 负数集合｛ ｝ 【答案】见解析． 【解析】 整数集合｛8，0，-32，-53｝ 分数集合｛-0.2，-35%， 7 4 ｝ 负数集合｛ 0.2 ， 35% ， 23 ， 53 ｝ 3．（ 2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-2 1 3 ， 4.5，3.14，-1，+ 4 3 ，+5． 【答案】见解析 【解析】 负整数，即既是负数，也是整数； 正整数，即既是正数，也是整数； 负分数，即既是负数，也是分数； 正分数，即既是正数，也是分数； 故负整数集合为：－1； 正整数集合：20、+5； 负分数集合为：－0.08、 12 3 正分数集合为：4.5、3.14、﹢ 4．（ 2018·福建省初一期中）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列 8 个数填入这两个圈中合适的 位置： －28%，－(－ 3 7 )，－2018，3.14，－(+5)，0，－| 1- 3 |． 【答案】见解析． 【解析】 解：∵－28%=-0.28，－(－ 3 7 )= ，－(+5)=-5，－| 1 3 |= ， ∴如图所示： 5．（ 2019·河北省金华中学初一期中）(1)如下图，下而两个圈分别表示负数集和分数集，请你把下列各数填 入它所在的数集的圈里: 201915%0.618, ，- ， 12790, 3.14, 7223 ，- ，- ， (2)上图中，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合? 【答案】（1）见解析；（2）重叠部分表示负分数集合 【解析】 (1)根据题意如图: (2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合; 考点 2：相反数定义及其应用 典例： 1 2 的相反数是（ ） A． 2 B．2 C． D． 1 2 【答案】D 【解析】 因为- + ＝0，所以- 的相反数是 . 故选 D. 方法或规律点拨 此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键． 巩固练习 1．（ 2020·永德县明朗中学初二期中） 2 3 的相反数是 （ ） A． 3 2 B． 3 2 C． D． 2 3 【答案】D 【解析】 的相反数是 故选：D 2．（ 2020·北京初三二模）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的同侧，分别表示数 a，1，将点 A 向左平移 3 个单 位长度，得到点 C．若点 C 与点 B 互为相反数，则 a 的值为（ ） A．3 B．2 C． 1 D．0 【答案】B 【解析】 由题可知：A 点表示的数位 a，B 点标示的数位 1， ∵C 点是 A 向左平移 3 个单位长度， ∴C 点可表示为：a-3， 又∵点 C 与点 B 互为相反数， ∴a-3=-1 ∴a=2． 故答案选 B． 3．（ 2020·浙江省初三学业考试）2020 的相反数是（ ） A．2020 B．﹣2020 C． 1 2020 D． 1 2020 【答案】B 【解析】解：2020 的相反数是：﹣2020． 故选：B． 4．（ 2020·广东省初三月考）如图，表示互为相反数的两个点是（ ） A．M 与 Q B．N 与 P C．M 与 P D．N 与 Q 【答案】C 【解析】 解：2 和﹣2 互为相反数，此时对应字母为 M 与 P． 故选 C． 5．（ 2020·沐川县实验初级中学初三二模）﹣2 是 2 的（ ） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．平方根 【答案】B 【解析】 -2 是 2 的相反数， 故选 B． 6．（ 2020·云南省初三学业考试） 2020 的相反数为__________． 【答案】2020 【解析】 解： 的相反数为 2020． 考点 3：数轴的定义及应用 典例：（2020·东北师大附属明达学校初三二模）如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（ ） A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣0.5 D．0.5 【答案】C 【解析】 解：由数轴可知小手遮挡住的点在-1 和 0 之间，而选项中的数只有-0.5 在-1 和 0 之间，所以小手遮挡住的 点表示的数可能是-0.5． 故选 C． 方法或规律点拨 本题主要考查了数轴的知识，根据数轴找出小手遮挡的点在-1 和 0 之间是解决此题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·山东省初三二模）数轴上的某一点距离原点的长度为 3 个单位长度，则这个点表示的数是（ ） A． B． 3 C． 3 D．6 【答案】C 【解析】 这个点表示的数可能在原点的左边，为 ，也可能在原点右边，为 3，故这个点表示的数是 ， 故答案为：C． 2．（ 2020·吉林省初三一模）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（ ）． A．1 B． 3 C． 1 D．0 【答案】A 【解析】 设盖住的点表示的数为为 x ,则 20x ，在这个范围里面的整数只有-1，-1 的相反数是 1，故选 A． 3．（ 2020·沐川县实验初级中学初三二模）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点 C．若 CO=BO，则 a 的值为（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 【答案】A 【解析】 解：∵点 C 在原点的左侧，且 CO=BO， ∴点 C 表示的数为-2， ∴a=-2-1=-3． 故选：A． 4．（ 2020·吉林省初三一模）在数轴上表示下列四个数中，在 0 和 1 之间的数是（ ） A． 11 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 21 3 【答案】B 【解析】 在数轴上表示各数如图所示： 观察可知在 和 之间的数是 ， 故选 B． 5．（ 2020·广东省初三其他）已知实数 a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ________ （填“>”“<” 或“=”）． 【答案】< 【解析】 ∵在数轴上，a 在 b 的左边， ∴a＜b， 故答案为：＜ 6．（ 2019·罗平县腊山一中初一月考）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 【答案】①②③④⑥画的数轴不对，⑤和⑦画的数轴正确，原因见解析. 【解析】 解：①画的数轴不对，缺原点； ②画的数轴不对，缺正方向； ③画的数轴不对，数轴不是射线而是直线； ④画的数轴不对，缺单位长度； ⑥画的数轴不对，单位长度不统一． ⑤和⑦画的数轴正确． 7．（ 2018·偃师市实验中学初一月考）在数轴上表示下列各数，并用“＞”连接起来． 3 1 2 ，-4， 12 2 ，0，-1，1． 【答案】见解析，3 ＞1＞0＞-1＞-2 ＞-4 【解析】 【分析】 先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【详解】 解：在数轴上表示如图示，  3 ＞1＞0＞-1＞-2 ＞-4， 考点 4：绝对值的几何意义及应用 典例：（2020·青岛超银中学初一月考）某景区一电瓶小客车接到任务从景区大门出发，向东走 2 千米到达 A 景区，继续向 东走 2.5 千米到达 B 景区，然后又回头向西走 8.5 千米到达 C 景区，最后回到景区大门． （1）以景区大门为原点，向东为正 方向，以 1 个单位长表示 1 千米，建立如图所示的数轴，请在数轴上表 示出上述 A、B、C 三个景区的位置． （2）若电瓶车充足一次电能行走 15 千米，则该电瓶车能否在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此 次任务？请计算说明． 【答案】（1）见解析;（2）电瓶车不能在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务． 【解析】 解：（1）如图， （2）电瓶车一共走的路程为：|+2|+|2.5 |+|﹣8.5|+|+4|=17（千米）， ∵17＞15， ∴该电瓶车不能在一开始充好电而途中不充电的情况下完成此次任务． 方法或规律点拨 本题考查的是数轴，注意注意根据题意画数轴. 巩固练习 1．（ 2020·安徽省初三二模）﹣5 的绝对值是（ ） A．﹣5 B．5 C．0.2 D．﹣0.2 【答案】B 【解析】 ﹣5 的绝对值是|﹣5|=5． 故选 B． 2．（ 2020·重庆八中初三期末）﹣2020 的绝对值是（ ） A．﹣2020 B．2020 C．﹣ 1 2020 D． 【答案】B 【解析】 解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020， 故选：B． 3．（ 2020·山东省初三学业考试）实数 ,ab在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ） A． 55ab B．66ab C． ab  D． 0ab 【答案】C 【解析】 由图可知， 0ba，且 ba ， ∴ ， ， ab   ， ， ∴关系式不成立的是选项 C． 故选：C． 4．（ 2020·重庆南开（融侨）中学校初三月考）若 m 是﹣2020 的绝对值，那么 m 的值为（ ） A．2020 B．﹣2020 C． 1 2020 D． 1 2020 【答案】A 【解析】解：∵m 是﹣2020 的绝对值， ∴m=2020． 故选：A． 5．（ 2020·湖北省初三学业考试）在下列各数中，绝对值最大的数是( ) A．－2 B．1 C． 1 2 D．－ 1 3 【答案】A 【解析】解：∵|-2|=2，|1|=1，| |= ,|- |= ∴2>1> 11 23 . 故选 A. 6．（ 2020·山东省初三三模）实效 m，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（ ） A． mn B． nm C． mn D． mn 【答案】C 【解析】解：因为 m、n 都是负数，且 m＜n，|m|＜|n|， A、m＞n 是错误的； B、-n＞|m|是错误的； C、-m＞|n|是正确的； D、|m|＜|n|是错误的． 故选：C． 7．（ 2020·四川省初一期中）将 1， 2 ， 3 ，2 这四个数分别用点表示在数轴上，其中与 1 所表示的点最 近的数是（ ） A．1 B．-2 C．-3 D．2 【答案】B 【解析】解：∵选项 A：1 与 1 的距离为  1 1 2   ； 选项 B： 2 与 的距离为  2 1 1    ； 选项 C： 3 与 的距离为  3 1 2    ； 选项 D：2 与 的距离为  2 1 3   ； ∴-2 与 的距离最近， 故选：B． 8．（ 2020·河南省初一月考）若（x-3）2+|x+y|=0，求出 x、y 的轴． 【答案】x=3，y=-3． 【解析】 解： 2(3)0xxy ， ∴ 30x  ， 0xy， ∴ 3x  ， 3y  ． 9．（ 2020·南丹县八圩瑶族乡初级中学初一月考）如图，在数轴上有 A、B、C 这三个点． 回答： （1）A、B、C 这三个点表示的数各是多少？ （2）A、B 两点间的距离是多少？A、C 两点间的距离是多少？ （3）若将点 A 向右移动 5 个单位后，则 A、B、C 这三个点所表示的数谁最大？ （4）应怎样移动点 B 的位置，使点 B 到点 A 和点 C 的距离相等？ 【答案】（1）A：－6，B：1，C：4；（ 2）AB 距离为 7，AC 距离为 10；（ 3）C；（ 4）向左移动 2 个单位 【解析】 （1）观察数轴得：A：－6，B：1，C：4； （2）AB 的距离为：1－(－6)=－7； AC 的距离为：4－(－6)=－10； （3）A 向右移动 5 个单位变为：－1 则 A、B、C 此刻分别为：－1、1、4，其中 4 最大，即点 C； （4）∵AC 的距离为 10 ∴要使得 AB、BC 距离相等，则 AB、BC 都为 5 ∴只需将点 B 向左移动 2 个单位即可 考点 5：有理数大小的比较 典例：（2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一期中）画一条数轴，并把-4，4．3，- 9 2 ，2．5，- 3 4 ， 7 2 在数 轴上标示出来，用<连接． 【答案】 - <-4<- <2．5<3< <4 【解析】 解： - <-4<- <2．5<3< <4 方法或规律点拨 本题属于数轴的知识点，能够找到点的位置，再根据大小排列即可. 巩固练习 1．（ 2020·湖北省初三学业考试）在有理数 1，-1，0，-2 中，最小的有理数是（ ） A．-1 B．-2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】∵1＜2， ∴-1＞-2， ∴-2＜-1＜0＜1， ∴在有理数 1，-1，0，-2 中，最小的有理数是-2， 故选：B． 2．（ 2020·安徽省初三二模）下列四个数中，最小的是（ ） A．-2 B．∣-4∣ C．-（-1） D．0 【答案】A 【解析】 解：根据有理数大小比较的法法，可得： -2＜0＜-（-1）＜∣-4∣ ∴最小的是-2． 故选：A． 3．（ 2020·河南省初三二模）下列各数中最大的负数是（ ） A． 1 3 B． 1 2 C．－1 D．－3 【答案】A 【解析】 解：∵ 1131 23 ， ∴最大的负数是 ， 故选：A． 4．（ 2020·山东省初三二模）下列各数中，其相反数最大的数是（ ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】B 【解析】解：A. 1 的相反数是-1； B. 0 的相反数是 0； C. 2 的相反数是-2； D. 的相反数是； 因此，这几个是中相反数最大的是 0， 故选 B． 5．（ 2020·广东省初三二模）在 0，1，3.5，﹣4 四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．1 C．3.5 D．﹣4 【答案】D 【解析】 解：∵﹣4＜0＜1＜3.5， ∴在 0，1，3.5，﹣4 四个数中，最小的数是﹣4． 故选：D． 6．（ 2020·偃师市实验中学初一月考）在一次考试中，6 名同学的成绩与平均分的差值分别为 1151436022， ， ， ， ， 请在数轴上画出表示这些数的点，并用“<”号把它们连接起来． 【答案】答案见解析 【解析】在数轴上表示如下： 用“<”连接如下： 11401 26 352 7．（ 2019·重庆市大坪中学初一期中）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数连接起来． -2.5，-3，0， 12 2 ，22 【答案】-3＜-2.5＜0＜ ＜22 【解析】 解：如图所示， 故，-3＜-2.5＜0＜ ＜22 8．（ 2019·浙江省嘉兴实验初中初一月考）（1）请你在下列数轴上表示下列有理数：0， 1-3 2 ， 2.5- ，  4-- ； （2）比较上述 4 个数的大小，并用“＜”号连结起来； （3）写出绝对值不大于 3 的所有整数． 【答案】（1）从左往右依次为： ，0， ， ； （2） ＜0＜ ＜ ； （3）3，2，1，0，-1，-2，-3 【解析】(1) =2.5， =4 (2)从数轴上可以看出： 1-3 2 ＜0＜ 2.5- ＜  4-- （3）绝对值不大于 3 的整数，就是绝对值小于等于 3 的数：3，2，1，0，-1，-2，-3. 9．（ 2019·广西壮族自治区初一期中）（1）请你在数轴上表示下列有理数： 1 ， | 2 | ，0， 3 ， ( 4 ) ； （2）用“  ”号将（1）的各数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 3 <|2|10(4)   【解析】 解：（1） =-2， =4，如图所示： （2）由数轴可知：将各数用“ ”号连接起来为： ．