人教版七年级上册数学第三章一元一次方程课件（一） 138页

第三章 一元一次方程 3. 1 从算数到方程 3.1.1 一元一次方程 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 了解一元一次方程及相关概念 ，会判断某个数值是不是一元一次方程的解 ． ( 重点） 2 . 初步学会寻找实际问题中的等量关系，列出方程 ． 学习目标 义. 新课导入 小学 我们已经学过简易方程，你能判断出下列各式哪些是方程吗？   √ × √ × √ × 含有未知数的等式叫做 方程 . 新课讲解 知识点 1 方程及一元一次方程的概念 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是 70 km/h ，卡车的行驶速度是 60 km/h ，客车比卡车早 1 h 经过 B 地 . A ， B 两地间的路程是多少？ 你会用算术方法解决这个问题吗？ （ km ） 新课讲解 A B 客车 卡车 解：设 A ， B 两地间的路程是 x km ， 客车从 A 地到 B 地的行驶时间可以表示为： 卡车从 A 地到 B 地的行驶时间可以表示为： 因为客车比卡车早 1 h 经过 B 地，所以 比 小 1 ， 即 ． 新课讲解 ★列 算式 列出 的算式表示解题的计算 过程 ， 只能 用已知数 . 对于较复杂的 问题，列 算式比较 困难 . ★ 列方程 方程是根据题中的等量关系列出的 等式，既 可用已知数 , 又可用 未知数，解决问题 比较方便 . 思考 新课讲解     方 程 含有 未知数 的 等式 一元一次方程 只含有 一个未知数 （元 ） , 未知数的 次数都是１ ，等号两边都是 整式 的方程 新课讲解 知识点 2 列一元一次方程 典例分析 例 1. 根据下列问题，设未知数并列出方程： （ 1 ）用一根长 24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形 的边长是多少？ 解：设正方形的边长为 x cm. 列方程 4 x = 24. 新课讲解 典例分析 （ 2 ）一台计算机已使用 1700 h ，预计每月再使 用 150 h ，经过多少月这台计算机的使用时 间达到规定的检修时间 2450 h ？ 解： 设 x 月后这台计算机的使用时间达到 2450 h ，那么在 x 月里这台计算机使用了 150 x h. 列方程 1700 + 150 x = 2450 新课讲解 典例分析 （ 3 ）某校女生占全体学生人数的 52% ，比男生多 80 人，这个学校有多少学生？ 解：设这个学校的学生数为 x ，那么女生数为 0.52 x ，男生数为 (1-0.52) x . 列方程 0.52 x -(1 - 0.52) x = 80 新课讲解 怎样 将一个实际问题转化为方程问题？ 设未知数列方程 一元一次方程 抓关键句子找等量关系 实际问题 思考 新课讲解 知识点 3 解方程和方程的解 列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数 . 上面例题中的三个方程，可以发现， 当 x =6 时， 4 x 的值是 24 ，这时方程 4 x =24 等号左右两边相等 . x =6 叫做方程 4 x =24 的解 . 新课讲解 同样的， x =5 时，方程 1700+150 x =2450 等号左右两边相等， x =5 是方程 1700+150 x =2450 的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解． 结论 新课讲解 思考 x =1000 和 x =2000 中哪一个是方程 0.52 x - (1 - 0.52) x = 80 的解？ x =2000 新课讲解 方法归纳 1. 将数值代入方程左边进行 计算； 2. 将数值代入方程右边进行 计算； 3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是． 判断 一个数值是不是方程的解的步骤： 新课讲解 练一练 根据下列问题，设未知数，列出方程： 1. 环形跑道一周长 400 m ，沿跑道跑多少周，可 以跑 3 000 m ？ 解： 设沿跑道跑 x 周， 400 x = 3000 新课讲解 练一练 解：设甲种铅笔买了 x 支，乙种铅笔买了（ 20- x ）支， 0.3 x +0.6 （ 20- x ） = 9 2. 甲种铅笔每支 0.3 元，乙种铅笔每支 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共 20 支，两种铅笔各买了多少 支？ 新课讲解 练一练 3. 用买 10 个大水杯的钱，可以买 15 个小水杯， 大水 杯比小水杯的单价多 5 元，两种水杯的单价各是 多少元？ 解：设小水杯的单价是 x 元，大水杯的单价是（ x +5 ） 元， 15 x = 10 （ x +5 ） 课堂小结 实际问题 一元一次方程 设未知数 列方程 当堂小练 1. 下列等式中，是方程的是（ ） ① 3+6 = 9 ② 2 x -1 ③ x +1 = 5 ④ 3 x + 4 y = 12 ⑤ 5 x 2 + x = 3 A. ①②③④⑤ B. ①③④⑤ C. ②③④⑤ D. ③④⑤ D 2. 下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A.3 x -2= y B. x 2 -1=0 C. =2 D. =2 C 当堂小练 3. 根据条件列出等式： （ 1 ）比 a 大 5 的数等于 8 ___________________ a +5=8 ___________________ b =9 （ 3 ） x 的 2 倍与 10 的和等于 18 ___________________ 2 x +10=18 （ 2 ） b 的三分之一等于 9 当堂小练 （ 4 ） x 的三分之一减 y 的差等于 6 __________________ （ 5 ）比 a 的 3 倍大 5 的数等于 a 的 4 倍 __________________ 3 a +5=4 a （ 6 ）比 b 的一半小 7 的数等于 a 与 b 的和 __________________ b -7= a + b 当堂小练 4. x =3 ， x =0 ， x =- 2 ， 各 是下列哪个方程的解？ （ 1 ） 5 x +7=7-2 x ; （ 2 ） 6 x -8=8 x -4; （ 3 ） 3 x -2=4+ x . 当堂小练 5. 列方程： （ 1 ）某校七年级（ 1 ）班共有学生 48 人，其中女生人数比男生人数的 多 3 人，这个班有男生多少人？ 解：设这个班有男生 x 人 x + （ x +3 ） =48 当堂小练 （ 2 ）把 1400 元奖学金按照两种奖项奖给 22 名学生，其中一等奖每人 200 元，二等奖每人 50 元，获得一等奖的学生有多少人？ 解： 设获得一等奖的学生有 x 人 200 x +50 （ 22- x ） =1400 拓展与延伸 小明从家到学校时，每小时行 5 千米，按原路返回家时，每小时行 4 千米，结果返回的时间比去学校的时间多花 10 分钟，小明家到学校有多远？（用两种方法列方程） 解：方案一：设小明家离学校 x 千米， 由题意，得 方法二：设小明去学校时花了 y 小时，则小明家到学校的距离为 5 y 千米 . 由题意，得 第三章 一元一次方程 3. 1 从算式到方程 3.1.2 等式的性质 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 理解等式的概念，掌握等式的性质 （重点）． 2. 能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程 （难点） 学习目标 新课导入 把一个天 平看 作一个等式，把天平两边的砝 码看 作等号两边的式子，则天平保持两边平 衡就 可看作是等式成立 . 对比天平与等式，你有什么发现？ 等式的左边 等式的右边 等号 新课导入   √ √ √ √ √ 用 等号 表示 相等关系 的式子叫做 等式 . 我们可以 用 a = b 表示一般的等式 . 新课讲解 知识点 1 等式的基本性质 观察天平有什么特性？ 天平两边同时加入相同质量的砝码 天平仍然平衡 天平两边同时拿去相同质量的砝码 天平仍然平衡 新课讲解 + — 等式的性质 1 ：等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 结 果 仍相等 .   新课讲解     ? ? 等式的性质 2 ：等式两边乘同一个数 , 或除以同一个不为 0 的数 ， 结果 仍相等 .     新课讲解 1. 等式 两边 都要参加 运算，并且 是作 同一种 运算 . 　 　　　　　　　　　 2. 等式两边加或 减，乘 或除以的数一定是同 一 个数或同 一个式子 . 3. 等式两边 不能都除以 0 ，即 0 不能作除数或分母 . 新课讲解 根据等式的性质，小红得到以下一个结论，你知道她错在哪里吗？ 等式 3 a ＋ b － 2 ＝ 7 a ＋ b － 2 ，其过程如下： 两边加 2 ，得 3 a ＋ b ＝ 7 a ＋ b . 两边减 b ，得 3 a ＝ 7 a. 两边除以 a ，得 3 ＝ 7. a 的值为 0 ，而等式的性质 2 是除以同一个 不为 0 的数，结果才相等 . 新课讲解 例 1. 利用等式的性质解下列方程 （ 1 ） x +7=26 解： （ 1 ）两边减 7 ，得 x = 19 于是 x +7-7=26-7 知识点 2 利用等式的性质解简单的一元一次方程   新课讲解 （ 2 ） -5 x =20 （ 3 ） 解：（ 2 ）两边除以 -5 ，得 于是 x = -4 （ 3 ）两边加 5 ，得 化简，得 两边乘 -3 ，得 x = -27 为 使 未知 项的系数化为 1 ，将要用到等式的什么性质 ？ 新课讲解 一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等 . 例如， 将 x = -27 代入方程 的左边，得 方程的左右两边相等，所以 x = -27 是方程 的解 . 新课讲解 练一练 用等式的性质解下列方程并检验： （ 1 ） x － 5 ＝ 6 ； （ 2 ） 0.3 x ＝ 45 ； （ 3 ） 5 x ＋ 4 ＝ 0 ； （ 4 ） 　　　 . 解 : （ 1 ）两边加 5 ，得 x － 5 ＋ 5 ＝ 6 ＋ 5. 于是 x ＝ 11. 检验 : 当 x ＝ 11 时，左边＝ 11 － 5 ＝ 6 ＝右边， 所以 x ＝ 11 是原方程的解 . 新课讲解 （ 2 ）两边除以 0.3 ，得 . 于是 x =150. 检验：当 x ＝ 150 时，左边＝ 0.3 × 150 ＝ 45 ＝右边， 所以 x ＝ 150 是原方程的解 . （ 3 ）两边减 4 ，得 5 x +4-4=0-4. 化简，得 5 x =-4. 两边除以 5 ，得　 x = 　 . 检验：当 x ＝ 时，左边＝ 0 ＝右边， 　　　　所以 x ＝ 是原方程的解 . 新课讲解 （ 4 ）两边减 2 ，得 . 　化简，得 　　 . 两边乘以－ 4 ，得 x ＝－ 4. 检验：当 x ＝－ 4 时， 左边＝ 2 － × ( － 4) ＝ 3 ＝右边， 　 所以 x ＝－ 4 是原方程的解 . 课堂小结 等式的 基本性质 基本性质 1 基本性质 2 应用       当堂小练 1. 下列说法错误的是（ ） A. 若 x =3 ，则 3= x . B. 若 x = y ， y = z ，则 x = z . C. 若 ab =1 ，则 a = . D. 若 2+ a = b -3 ， 则 4+2 a =2 b -3. D -6 当堂小练 2. 如果 mx=my ， 那么下列等式中不一定成立的是 ( ) A. mx +1= my +1 B. mx － 3= my － 3 C.- mx =- my D. x = y D m ≠0 当堂小练 3. 利用等式的性质解下列方程并检验 . （ 1 ） 5- x =-5 解：两边减 5 ，得 5- x -5=-5-5 化简，得 x = -10 两边除以 ，得 x = 50 检验：当 x = 50 时，左边 =5- ×50 = -5 = 右边 所以 x ＝ 50 是原方程的解 . 当堂小练 （ 2 ） 解：两边加 ，得 化简，得 两边除以 ，得 检验：当 时，左边 = = 右边 所以 是原方程的解 . D 拓展与延伸 一个两位数个位上的数是 1 ，十位上的数是 x ，把 1 与 x 对调，新两位数比原两位数小 18 ，试列出关于 x 的方程，并解这个方程 . 解：依题意可得： 10 x +1-(10+ x ) = 18 ， 9 x -9 = 18 ， 9 x = 27 ， x = 3. 第三章 一元一次方程 3.2 解一元一次方程（一） — 合并同类项与移项 课时 1 解一元一次方程 — 合并同类项 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体会等式变形中的化归思想. （重点） 2. 能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值. 学习目标 新课导入 知识回顾 (1) 含有相同的 _____ ，并且相同字母的 _____ 也 相同 的项，叫做同类项； ( 2) 合并同类项时，把各同类项的 _____ 相加减， 字母 和字母的指数 _____. 字母 指数 系数 不变 新课导入 约公元 820 年，数学家阿尔 — 花拉子米写 了一本代数书，重点论述怎样解 方程 , 这 本书的拉丁译本为 《 对消与还原 》. “ 对消 ” 与“ 还原 ”是什么意思呢？ 情境导入 新课讲解 知识点 1 解一元一次方程 — 合并同类项 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买数量是前年的 2 倍，今年购买数量又是去年的 2 倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 方法一： 　　设前年这个学校购买了计算机 x 台，则去年购买计算机 2 x 台，今年购买计算机 4 x 台 . 前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝ 140 台 根据题意，列得方程 x +2 x +4 x ＝ 140. 新课讲解 还有不同的设法吗？ 还可以列怎样的方程？ 方法二：设去年购买 x 台 . 方法三：设今年购买 x 台 . 新课讲解 如何将此方程转化为 x ＝ a （ a 为常数）的形式 ? 把含有 x 的项合并同类项，得 7 x ＝ 140. x +2 x +4 x =140 合并同类项 系数化为 1 等式的性质 2 理论依据？ 7 x =140 x =20 回顾本题列方程的过程，可以发现：“总量 = 各部分量的和”是一个基本的相等关系 . 新课讲解 思考 在解方程过程中，合并同类项起了什么作用？ 　 合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 x ＝ a 的形式转化． 新课讲解 例 典例分析 1. 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 x = 4 （ 1 ） 新课讲解 典例分析 （ 2 ） 7 x -2.5 x +3 x -1.5 x =-15×4-6×3 解：合并同类项，得 6 x = -78 系数化为 1 ，得 x = -13 新课讲解 例 典例分析 2. 有一列数，按一定规律排列成 1 ，－ 3 ， 9 ，－ 27 ， 81 ，－ 243 ， ···. 其中某三个相邻数的和是－ 1 701 ，这三个数各是多少？ 分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与 -3 的乘积 . 如果三个相邻数中的第 1 个记为 x ，则后两个数分别是 -3 x ， 9 x . 新课讲解 典例分析 解：设所求三个数分别是 x ， -3 x ， 9 x . 由三个数的和是 -1701 ，得 x - 3 x + 9 x = -1701. 合并同类项，得 7 x = -1701. 系数化为 1 ，得 x = -243. 所以 -3 x = 729 , 9 x = -2187. 答：这三个数是 -243 ， 729 ， -2187. 新课讲解 典例分析 若设所求的三个数中，中间的一个数为 x ，则它前面的一个数为 ，它后面的一个数为 -3 x ，于是，依题意可列方程 + x - 3 x = -1701. 并求出所列方程的解 . x = 729. 新课讲解 典例分析 若 设所求的三个数中第三个数为 x ， 则第一个数为 ，第二个数为 . 依题意可列方程 并求出所列方程的解 . x = -2187 新课讲解 练一练 解下列方程： 解：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 （ 1 ） 5 x - 2 x = 9 3 x = 9 x = 3 解：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 新课讲解 练一练 （ 3 ） -3 x + 0.5 x = 10 解：合并同类项，得 -2.5 x = 10 系数化为 1 ，得 x = -4 （ 4 ） 7 x - 4.5 x = 2.5×3 - 5 解：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 2.5 x = 2.5 x = 1 课堂小结 x +2 x +4 x =140 合并同类项 系数化为 1 等式的性质 2 理论依据？ 7 x =140 x =20 当堂小练 1. 解下列方程： （ 1 ） 2 x + 3 x + 4 x = 18 解：合并同类项，得 9 x = 18 系数化为 1 ，得 x = 2 （ 2 ） 13 x - 15 x + x = -3 解：合并同类项，得 - x = -3 系数化为 1 ，得 x = 3 当堂小练 （ 3 ） 2.5 y + 10 y - 6 y = 15 - 21.5 解：合并同类项，得 6.5 y = - 6.5 系数化为 1 ，得 y = -1 （ 4 ） 解：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 当堂小练 2. 有一列数： 1 ， -2 ， 4 ， -8 ， 16 ，…，若其中三个相邻数的和是 312 ，求这三个数 . 解：设这三个数中的第一个数为 x ，则第二个数为 -2 x ，第三个数为 4 x . 则由题意 ，得 x - 2 x + 4 x = 312. 解得 x = 104. -2 x = -208 ， 4 x = 416. 答： 这三个数是 104 ， -208 ， 416. 当堂小练 3. 随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到了逐步推广，喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式，灌溉三块同样大的实验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式，后两种方式用水量分别是漫灌的 25% 和 15%. （ 1 ）设第一块 实 验田用水 x t ，则 另 两块 实 验田的用水量如何表示？ （ 2 ）如果三块实验田共用水 420 t ，每块实验田各用水多少吨？ 当堂小练 解：（ 1 ）设第一块实验田用水 x t ，则第二块实验田用水 25% x t ，第三块实验田用水 15% x t. （ 2 ） 由 （ 1 ） 及已知 ，得 x + 25% x + 15% x = 420. 合并同类项，得 1.4 x = 420. 系数化为 1 ，得 x = 300. 所以 25% x =75 ， 15% x =45. 即第一块实验田用水 300 t ，则第二块实验田用水 75 t ，第三块实验田用水 45 t. D 拓展与延伸 有一列数： 6 ， 12 ， 18 ， 24 ，…，从中取出三个相邻的数 . （ 1 ）若这三个相邻的数的和为 324 ，求这三个数 . 解：设这三个数中的第一个数为 6 x ，则第二 个 数为 6 （ x +1 ） ，第三 个 数为 6 （ x +2 ） . 则由题意 ， 得 6 x +6 （ x+ 1 ） + 6 （ x + 2 ） = 324. 解得 x = 17. 所以 6 x = 102 ， 6 （ x+ 1 ） = 108 ， 6 （ x + 2 ） = 114. 即这三个数为 102 ， 108 ， 114. 拓展与延伸 有一列数： 6 ， 12 ， 18 ， 24 ，…，从中取出三个相邻的数 . （ 2 ）试判断这三个相邻的数的和能否等于 84 ？若能，求出这三个数 ； 若不能，请说明理由 . 解： 由题意可得第 n 个数为 6 n ， 则第（ n -1 ）个数为 6 （ n -1 ），第（ n +1 ）个数为 6 （ n +1 ） . 则 6 （ n -1 ） +6 n +6 （ n +1 ） =84. 解得 n = 因为 n 为正整数， 所以 这个解不 符 题意 . 即这三个相邻的数的和不能等于 84. 第三章 一元一次方程 3.2 解一元一次方程（一） — 合并同类项与移项 课时 2 解一元一次方程 — 移项 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 理解移项的意义，了解移项的依据，会用移项法则解方程． （重点） 2. 经历运用方程解决实际问题的过程，能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题. （难点 ) 学习目标 新课导入 把 一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如果 每人分 4 本，则还缺 25 本 . 这个班 有多少 名学生？ 每人 分 3 本，共分出 ___ 本，加上剩余的 20 本 ，这 批书 共 __________ 本 . 每人 分 4 本， 需要 ____ 本，减去缺的 25 本 ，这 批书共 ____________ 本 . 分析 :             列方程 : 怎样才能使它向 x = a ( a 为常数 ) 的形式转化呢？ 新课讲解 知识点 1 解一元一次方程 — 移项 (1) 3 x － 15 = 9 ； 解 ：两边都加 15 ，得 3 x － 15 = 9 . 合并同类项，得 3 x = 24. 系数化为 1 ，得 x = 8. +15 +15 你有什么发现？ 请用等式的性质解方程： 3 x － 15 = 9 ①     新课讲解 思考 “ － 15” 这项移动 后 从方程的 左边 移到了方程的 右边 .     观察 方程①到方程②的变形过程，说一说有改变的是哪一项？它有哪些变化？ “ － 15” 这一项 符号由 “ － ” 变为 “ ＋ ” 新课讲解 (2) 2 x = 5 x － 21 . 解 ：两边都减 5 x ，得 2 x = 5 x － 21 . － 5 x － 5 x 2 x － 5 x = － 21. 由 方程③到方程④ 的过程 中有什么 变化 呢 ？ 合并同类项，得 － 3 x = － 21. 系数化为 1 ，得 x = 7.   2 x － 5 x = － 21 ④ 新课讲解 像上面这样把等式一边的某项变号后移到另一边 ，叫做 “移项” . 移项的依据： 等式的基本性质 1 注意：移项一定要变号 新课讲解 3 x + 20 = 4 x – 25 3 x – 4 x = – 25 – 20 – x = – 45 x = 45 移项 合并同类项 系数化为 1 移项变号 新课讲解 例 典例分析 1. 解下列方程 （ 1 ） 3 x + 7 = 32 – 2 x 解：移项，得 3 x + 2 x = 32 – 7 合并同类项，得 5 x = 25 系数化为 1 ，得 x = 5 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为 1 ，得 新课讲解 例 典例分析 2. 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2 ∶ 5 ，两种工艺的废水排量各是多少？ 分析 ：因为新、旧工艺的废水排量之比为 2 ∶ 5 ，所以可设它们分别为 2 x t 和 5 x t ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程 . 新课讲解 典例分析 解：设新、旧工艺的废水排量分别为 2 x t 和 5 x t. 根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得 5 x － 200 ＝ 2 x ＋ 100. 移项，得 5 x － 2 x ＝ 100 ＋ 200. 系数化为 1 ，得 x ＝ 100. 合并同类项，得 3 x ＝ 300. 所以 2 x ＝ 200 ， 5 x ＝ 500. 答：新、旧工艺产生的废水排量分别为 200 t 和 500 t. 等号两边代表哪个数量？ 新课讲解 练一练 解下列方程 : （ 1 ） 6 x – 7 = 4 x – 5 ； 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为 1 ，得 6 x – 4 x = – 5 + 7 2 x = 2. x = 1. 解：移项，得 合并同类项，得 系数化为 1 ，得 新课讲解 练一练 王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg ，李丽平均每小时采摘 7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了李丽，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？ 解：设她们采摘用了 x 小时 ，则 8 x – 0.25 = 7 x + 0.25. 解得 x = 0.5. 答：她们采摘用了 0.5 小时 . 课堂小结 3 x + 20 = 4 x – 25 3 x – 4 x = – 25 – 20 – x = – 45 x = 45 移项 合并同类项 系数化为 1 移项变号 当堂小练 1. 对于方程 – 3 x – 7=12 x +6 ，下列移项正确的是（ ） A A. – 3 x – 12 x =6+7 B. – 3 x +12 x = – 7+6 C. – 3 x – 12 x =7-6 D.12 x – 3 x =6+7 2. 对方程 7 x = 6 + 4 x 进行移项，得 ___________, 合并同类项，得 _________ ，系数化为 1 ，得 ________. 7 x – 4 x = 6 3 x = 6 x = 2 当堂小练 3. 小新出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄比小新年龄的 3 倍小 2 岁 . 求小新现在的年龄 . 解：设小新现在的年龄为 x 岁 . 根据题意，得 3 x – 2 = x + 28. 移项，得 2 x = 30. 系数化为 1 ，得 x = 15. 答：小新现在的年龄是 15 岁 . 拓展与延伸 在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为 30 ？如果能，这三个数分别是多少？ 解：设相邻三行里 同 一列的三个日期数分别为 x -7 ， x ， x +7. 根据题意 ，得 （ x – 7 ） + x + （ x +7 ） =30. 解 得 x = 10. 所以 x – 7=3 ， x +7=17. 所以相邻三行里同一列的三个日期数之和能为 30. 这三个数是 3 ， 10 ， 17. 第三章 一元一次方程 3.3 解一元一次方程 — （二）去括号与去分母 课时 1 解一元一次方程 — 去括号 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.了解“去括号”是解方程的重要步骤. 2. 熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程. (难点、重点) 学习目标 新课导入 移项 合并同类项 系数化为 1 移项时要变号 把同类项的系数相加作为 所 得 项的系数，字母部分不变 方程两边同时除以 未知数前 面的系数 一元一次方程 的解法我们学了哪几步？ 移项 合并同类项 新课讲解 知识点 1 解一元一次方程 — 去括号 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2 000 kW·h （千瓦 · 时），全年用电 15 万 kW·h. 这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？ 月平均用电量 × n ( 月数 ) ＝ n 个月用电量 温馨提示： 1 kW·h 的电量是指 1 kW 的电器 1 h 的用电量 . 新课讲解 分析 : 设上半年每月平均用电 x kW·h ，则下半年每月平均用电为 ( x － 2000) kW·h ．上半年共用电 6 x kW·h ；下半年共用电 6( x － 2000) kW·h ． 6 x ＋ 6( x － 2 000) ＝ 150 000 根据题意列出方程 怎样解这个方程？ 这个方程与我们前面 研究过的方程有什么 不同？ 新课讲解 6 x ＋ 6( x － 2 000) ＝ 150 000 6 x ＋ 6 x － 12 000 ＝ 150 000 6 x ＋ 6 x ＝ 150 000 ＋ 12 000 12 x ＝ 162 000 x ＝ 13 500 去括号 合并同类项 移项 系数化为 1 新课讲解 思考 本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应怎样解？ 设上半年平均每月用电 x kW·h. 新课讲解 通过以上解方程的过程，你能总结出含有括号的一元一次方程解法的一般步骤吗？ 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 新课讲解 例 典例分析 1. 解下列方程： （ 1 ） 2 x – （ x + 10 ） = 5 x + 2 （ x – 1 ） ; 解：去括号，得 2 x – x – 10 = 5 x +2 x – 2. 移项，得 2 x – x – 5 x – 2 x = – 2 + 10. 合并同类项，得 – 6 x = 8. 系数化为 1 ，得 新课讲解 典例分析 （ 2 ） 3 x – 7 （ x – 1 ） = 3 – 2 （ x + 3 ） . 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 –2 x = –10. 系数化为 1 ，得 3 x – 7 x + 7= 3 – 2 x – 6. 3 x – 7 x + 2 x = 3 – 6 – 7. x = 5. 新课讲解 练一练 期中数学考试后，小明、小方和小华三名同学对答案，其中有一道题三人答案各不相同，每个人都认为自己做得对，你能帮他们看看到底谁做得对吗？做错的同学又是错在哪儿呢？ 题目： 一个两位数，个位上的数是 2 ，十位上的数是 x ，把 2 和 x 对调，新两位数的 2 倍还比原两位数小 18 ，你能求出 x 是几吗？ 新课讲解 小方： 解：（ 10 x + 2 ） – 2 （ x + 20 ） = 18 去括号，得 10 x + 2 – 2 x – 20 = 18 合并同类项，得 8 x = 40 移项，得 10 x – 2 x = 18 + 20 + 2 系数化为 1 ，得 x = 5 去括号错 移项错 新课讲解 小华： 解：（ 10 x + 2 ） – 2 （ x + 20 ） = 18 去括号，得 10 x + 2 – 2 x – 40 = 18 合并同类项，得 8 x = 60 移项，得 10 x – 2 x = 18 + 40 + 2 系数化为 1 ，得 x = 7.5 移项错 新课讲解 小明： 解： 2 （ x + 20 ） – （ 10 x + 2 ） = 18 去括号，得 2 x + 40 – 10 x – 2 = 18 合并同类项，得 –8 x = – 20 移项，得 2 x – 10 x = 18 – 40 + 2 系数化为 1 ，得 x = 2.5 方程列错 新课讲解 例 典例分析 2. 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h ；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h ．已知水流的速度是 3 km/h ，求船在静水中的速度 . 分析： 一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，顺流速度 __ 顺流时间 __ 逆流速度 __ 逆流时间 . = × × 新课讲解 典例分析 解：设船在静水中的平均速度为 x km/h ，则顺流 的速度为 ( x ＋ 3) km/h ，逆流速度为 ( x － 3) km/h. 根据往返路程相等，列得 去括号，得 移项及合并同类项，得 系数化为 1 ，得 答：船在静水中的平均速度为 27 km/h. 2 （ x + 3 ） = 2.5 （ x – 3 ） . 2 x + 6 = 2.5 x – 7.5. 0.5 x = 13.5. x = 27. 新课讲解 练一练 解下列方程 解：去括号，得 2 x + 6 = 5 x. 移项，得 2 x – 5 x = –6. 合并同类项，得 –3 x = –6. 系数化为 1 ，得 x = 2. （ 1 ） 2 （ x + 3 ） = 5 x 新课讲解 练一练 解下列方程 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 11 x = 17 系数化为 1 ，得 x = （ 2 ） 4 x + 3 （ 2 x – 3 ） = 12 – （ x + 4 ） 4 x + 6 x – 9= 12 – x – 4 4 x + 6 x + x = 12 – 4 + 9 新课讲解 练一练 解下列方程 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为 1 ，得 （ 3 ） 课堂小结 6 x ＋ 6( x － 2 000) ＝ 150 000 6 x ＋ 6 x － 12 000 ＝ 150 000 6 x ＋ 6 x ＝ 150 000 ＋ 12 000 12 x ＝ 162 000 x ＝ 13 500 去括号 合并同类项 移项 系数化为 1 当堂小练 1. 对方程 25 b – （ b – 5 ） = 29 去括号，得 ________________ ，移项，得 _______________ ，合并同类项，得 _________ ，系数化为 1 ，得 _______. 25 b – b + 5 = 29 25 b – b = 29 – 5 24 b = 24 b = 1 当堂小练 2. 买两种布料共 138 米，花了 540 元 . 其中蓝布料每米 3 元，黑布料每米 5 元，两种布料各买了多少米？ 解：设蓝布料买了 x 米，则黑布料买了 (138- x ) 米 . 列方程得 3 x + 5(138 – x ) = 540. 去括号 ， 得 3 x + 690 – 5 x = 540. 移项 ， 得 3 x – 5 x = 540 – 690. 合并同类项 ， 得 – 2 x = – 150. 系数化为 1 ， 得 x = 75. 138 – x = 138 – 75 = 63 答：蓝布料买了 75 米，黑布料买了 63 米 . D 拓展与延伸 x 为何值时，式子 与 的值相等？ 解：由题意得 去括号 ， 得 移项 、 合并同类项 ， 得 – x = 8 系数化为 1 ，得 x = –8 第三章 一元一次方程 3.3 解一元一次方程（二） — 去括号与去分母 课时 2 解一元一次方程 — 去分母 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1. 掌握去分母解方程的方法，总结解方程的步骤. （重点） 2. 经历去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为 “简单”，把“新”转化为“旧”的转化的思想方 法． （难点） 学习目标 新课导入 丢番图的墓志 铭 　　 “ 坟中安葬着丢番图 , 多么令人惊讶 , 它忠实地记录了所经历的道路 . 上帝给予的童年占六分之一 . 又过十二分之一 , 两颊长胡 . 再过七分之一 , 点燃结婚的蜡烛 . 五年之后天赐贵子 , 可怜迟到的宁馨儿 , 享年仅及其父之半 , 便进入冰冷的墓 . 悲伤只有用数论的研究去弥补 , 又过四年 , 他也走完了人生的旅途 .” 你知道丢番图去世时的年龄吗 ? 你认为本题 用算术方法 解方 便 , 还是用方 程方 法解方便 ？ 解：设丢番图活了 x 岁 ，根据 题 意，得 新课导入 你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好 . 　　 像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些 . 结论 新课讲解 知识点 1 解一元一次方程 — 去分母 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33 ，求这个数 . 分析：设这个数为 x ． 根据题意，得 新课讲解 方法 1 ：合并同类项，得 系数化为 1 ，得 新课讲解 方法 2 ：方程两边同乘各分母的最小公倍数，则 得到 合并同类项，得 系数化为 1 ，得 这样做的依据是什么 等式的性质 2 新课讲解 为了更全面的讨论问题，我们再以以下的方程为例。 方程两边乘 10 ， 下面的框图表示解这个方程的流程 . 新课讲解 5 （ 3 x +1 ） – 10×2= （ 3 x – 2 ） – 2 （ 2 x +3 ） 15 x + 5 – 20 = 3 x – 2 – 4 x – 6 15 x – 3 x + 4 x = – 2 – 6 – 5+20 16 x = 7 去分母（方程两边乘各分母的最小公倍数） 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 新课讲解 结论 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 等 . 通过这些步骤可以使以 x 为未知数的方程逐步向着 x = a 的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等 . 新课讲解 例 典例分析 1. 解下列方程 : 解 ：去分母（方程两边乘 4 ），得 2 （ x + 1 ） – 4 = 8 + （ 2 – x ） . 去括号，得 2 x + 2 – 4 = 8 + 2 – x. 移项，得 2 x + x = 8 + 2 – 2 + 4 . 合并同类项，得 3 x = 12. 系数化为 1 ，得 x = 4. 新课讲解 典例分析 解 ：去分母（方程两边乘 6 ），得 18 x + 3 （ x – 1 ） = 18 – 2 （ 2 x – 1 ） 去括号，得 18 x + 3 x – 3 = 18 – 4 x + 2 移项，得 18 x + 3 x + 4 x = 18 + 2 + 3 合并同类项，得 25 x = 23 系数化为 1 ，得 新课讲解 练一练 解 ：去分母（方程两边乘 100 ），得 19 x = 21 （ x – 2 ） . 去括号，得 19 x = 21 x – 42. 移项，得 19 x – 21 x = – 42. 合并同类项，得 – 2 x = – 42. 系数化为 1 ，得 x = 21. 解下列方程 : 新课讲解 练一练 解下列方程 : 解 ：去分母（方程两边乘 4 ），得 2 （ x + 1 ） – 8 = x. 去括号，得 2 x + 2 – 8 = x . 移项，得 2 x – x =8 – 2 合并同类项，得 x = 6. 新课讲解 练一练 解下列方程 : 解 ：去分母（方程两边乘 12 ），得 3 （ 5 x – 1 ） = 6 （ 3 x + 1 ） – 4 （ 2 – x ） 去括号，得 15 x – 3 = 18 x + 6– 8 + 4 x 移项，得 15 x – 18 x – 4 x = 6 – 8 + 3 合并同类项，得 – 7 x = 1 系数化为 1 ，得 新课讲解 练一练 某中学组织团员到校外参加义务植树活动，一部分团员骑自行车先走，速度为 9 km/h ， 40 分钟后其余团员乘汽车出发，速度为 45 km/h ，结果他们同时到达目的地，则目的地距学校多少千米？ 解：设目的地距学校 x km ，则骑自行车所用时间为 h ，乘汽车所用时间为 h ． 由题意，得 解得 x =7.5. 答：目的地距学校 7.5 km. 课堂小结 解一元一次方程的一般步骤 : 变形名称 具体的做法与依据 去分母 乘所有的分母的最小公倍数 . 依据是等式性质 2. 去括号 先去小括号 , 再去中括号 , 最后去大括号 . 依据是去括号法则和乘法分配律 . 移项 把含有未知数的项移到一边 , 常数项移到另一边 .“ 过桥变号”，依据是等式性质 1. 合并同类项 将未知数的系数相加，常数项相加 . 依据是合并同类项法则 . 系数化为 1 在方程的两边除以未知数的系数 . 依据是等式性质 2. 当堂小练 1. 解方程 时，去分母正确的是（ ） A. 3 x － 1 = 2( x － 1) B. 3 x － 6 = 2( x － 1) C. 3 x － 6 = 2 x － 1 D. 3 x － 3 = 2 x － 1 B 当堂小练 2. 解方程： 解：第一步 ________ ，得 10 – 2( x + 2) = 5( x – 1). 第二步 ________ ，得 10 –2 x – 4 = 5 x – 5. 第三步 ______ ，得 – 2 x – 5 x = –5 –10 + 4. 第四步 ____________ ，得 – 7 x = –11. 第五步 ____________ ，得 x = . 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 当堂小练 3. 列方程解答下面问题 . y 的 3 倍与 1.5 的 和的二分之一等于 y 与 1 的 差的四分之一，求 y . 解：根据题意，得 解 得 D 拓展与延伸 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天 3 名一级技工去粉刷 8 个房间，结果其中有 50 m 2 墙面未来得及粉刷；同样时间内 5 名二级技工粉刷了 10 个房间之外，还多粉刷了另外的 40 m 2 墙面，每名一级技工比二级技工一天多粉刷 10 m 2 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积 . 解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为 x m 2 . 解得 x = 52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为 52 m 2 . 则