人教版初一数学上学期 三视图与展开折叠 32页

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 三视图与展开折叠 知识框架 基础知识点：‎ 知识点1-1.常见几何体的特征 几何体 底面 侧面 顶点 圆柱 两个底面，平行，形状大小相等的圆 曲面 无 圆锥 ‎1个底面，是圆形 曲面 ‎1个 棱柱 两个底面，平行，形状大小相等的多边形 平面 有 棱锥 ‎1个底面，是多边形 平面 有 ‎ ‎ ‎（圆柱） （圆锥） （棱柱） （棱锥）‎ 例 1．（2020·江苏赣榆·初一月考）下列几何中，属于棱柱的是（ ）‎ ‎①②③④⑤⑥‎ A．①③ B．① C．①③⑥ D．①⑥‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据棱柱的定义解答即可．‎ ‎【解析】解：①棱柱；②圆柱；③棱柱；④棱锥；⑤圆锥；⑥棱柱．故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是认识立体图形，掌握棱柱的定义是解题的关键．‎ 例2．（2019·广东茂名·初一期中）下列说法中，正确的个数是（ ）.‎ ‎①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤正棱柱的侧面一定是长方形.‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【分析】根据柱体，锥体的定义结合各选项作答．‎ ‎【解析】解：①柱体包括圆柱、棱柱，柱体的两个底面一样大，正确，‎ ‎②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确；③棱柱的底面可以为任意多边形，错误；‎ ‎④长方体一定是柱体，正确；⑤正棱柱的侧面一定是长方形，正确；共有4个正确，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了柱体，锥体的定义，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面是全等的多边形．‎ 例3．（2020·全国初一单元测试）下列说法正确的个数为（   ） ‎ ‎①柱体的上、下两个面一样大；②圆柱的侧面展开图是长方形；③正方体有6个顶点；④圆锥有2个面，且都是曲面；⑤球仅由1个面围成，这个面是平面；⑥三棱柱有5个面，且都是平面 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①正确，②正确，③错误，正方体有8个顶点，④错误，有一个是曲面，有一个是平面, ⑤错误，球仅由1个面围成，这个面是曲面；⑥正确.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握立体图形的性质是解题的关键．‎ 例4．（2019·河北省初一期末）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是(　　)‎ A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 ‎【答案】D ‎【解析】根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三 角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.故选D 考点：几何体的形状 知识点1-2：几何体的分类:‎ ① 按柱、锥、球来划分; ②按组成面的平或曲划分; ③按“底面的个数”划分; ④按 “是否含有顶点”划分。 ‎ 例1．（2019·全国初一课时练习）如图所示，给出了6个立体图形.找出图中具有相同特征的图形，并说明相同特征.‎ ‎① ② ③ ④⑤ ⑥‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等.其中长方体、正方体、棱柱、棱锥是多面体，能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内.‎ ‎【解析】①③都是由六个面组成的；①③④的面都是平的；②⑤⑥都有一个面不是平的；②⑥至少有一个面是圆；①③的六个面都是四边形，等等.‎ ‎【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握常见立体图形的特征；‎ 例2．（2020·全国初一课时练习）将正方体、圆锥、三棱柱、球四种几何体分类正确的是（ ）‎ A．正方体、圆锥、三棱柱是柱体，球是球体 B．正方体、三棱柱是柱体，圆锥是锥体，球是球体 C．圆锥、三棱柱是柱体的一类，正方体的面都是平面的一类，球的面是曲面的一类 D．正方体、圆锥、三棱柱、球都是柱体 ‎【答案】B ‎【分析】根据柱体、椎体、球体的特点即可求解.‎ ‎【解析】将正方体、圆锥、三棱柱、球四种几何体分类为正方体、三棱柱是柱体，圆锥是椎体，球是球体 故选B.‎ ‎【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式.‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）在如下图所示的图形中，柱体有_______，锥体有______，球体有_____．‎ ‎【答案】①②③⑦ ⑤⑥ ④ ‎ ‎【解析】①是圆柱，②是正方体，属于棱柱，③是长方体，属于棱柱，④是球，⑤是圆锥，⑥是三棱锥，⑦是三棱柱，所以柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④，故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④.‎ 例4．如图，下图中是圆柱体的有________，是棱柱体的有_________．（只填图的标号）‎ ‎【答案】③、④ ②、⑤、⑥ ‎ ‎【分析】根据圆柱体和棱柱体的结构特点进行判断即可.‎ ‎【解析】①、⑦不符合圆柱体和棱柱体的结构特点，③、④符合圆柱体的结构特点，‎ ‎②、⑤、⑥符合棱柱体的结构特点.故答案为：（1）③、④ （2）②、⑤、⑥‎ ‎【点睛】本题考查圆柱体和棱柱体的结构特点，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，熟练掌握圆柱体和棱柱体的结构特点是解题关键.‎ 例5．（2019·全国初一课时练习）数学课上，左老师给出了这样一道题：将图中的几何体进行分类，并简要说明理由.‎ 小明认为：若按柱、锥、球来划分：②③⑥是柱体；④⑤是锥体；①是球体.‎ 小彬认为：若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④是一类，因为组成它们的面中至少有一面是曲面；②③⑤⑥是一类，因为组成它们的各个面都是平面.‎ 同学们，你认为小明和小彬的划分方法正确吗？若不正确，请加以改正.‎ ‎【答案】都不正确，按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体；按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面.‎ ‎【分析】分别按柱、锥、球来分类与按平面或曲面来分类，分别求解即可.‎ ‎【解析】解：都不正确.‎ 若按柱、锥、球来划分：②③⑤⑥是柱体；④是锥体；①是球体.‎ 若按组成几何体的面是平面或曲面来划分：①④⑥是一类，至少有一面为曲面；②③⑤是一类，没有曲面.‎ ‎【点睛】此题主要考查几何体的分类，解题的关键是熟知几何体的分类方式与方法.‎ 知识点1-3.点、线、面、体之间的关系。‎ ‎（点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体）‎ 例1．（2020·广东番禺初一期末）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时就形成了线，这可以说点动成线；汽车的雨刷在档风玻璃上画出一个扇面，这可以说______.‎ ‎【答案】线动成面 ‎【分析】利用雨刷可看成线，扇面是面，即可求出答案．‎ ‎【解析】汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这说明线动成面的数学原理．故答案为：线动成面．‎ ‎【点睛】本题考查了点，线，面、体，此题较简单，解题时要灵活应用点、线、面、体之间的关系．‎ 例2．（2020·陕西神木·期末）如图，下列图形绕直线旋转一周后，能得到圆锥体的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个以旋转直角边为高，另一直角边为底面半径的圆锥．‎ ‎【解析】解：只有直角三角形绕直角边旋转一周，可以得到一个圆锥．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，抓住旋转的定义和圆锥的特征即可解决此类问题．‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了 ‎_________.‎ ‎【答案】面动成体 ‎【分析】根据面动成体的原理即可解．‎ ‎【解析】三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，说明了面动成体.故答案：面动成体 ‎【点睛】本题考查点、线、面、体，解题的关键是理解面动成体的原理.‎ 例4．（2020·全国初一单元测试）假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了________ ．‎ ‎【答案】点动成线 ‎【解析】笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了点动成线．‎ 知识点1-4基本几何体的三视图 注:主视图:从正面看到的图；左视图（侧视图）:从左面看到的图；俯视图:从上面看到的图.‎ 例1．（2020·福建泉州外国语学校其他）如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 ‎【答案】A ‎【分析】由题意直接根据三视图以及三棱柱的特征，进行分析可得此几何体为三棱柱．‎ ‎【解析】解：根据几何体的三视图即可知道几何体是三棱柱．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查三视图以及三棱柱的特征，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．‎ 例2．（2020·湖北武汉·初三一模）下列图形中主视图，左视图不相同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据几何体的主视图，左视图是否相同进行判断即可．‎ ‎【解析】解：A．长方体的主视图，左视图分别是长方形和正方形，故A选项符合题意；‎ B．圆柱的主视图，左视图都是相同的长方形，故B选项不合题意；‎ C．正方体的主视图，左视图都是相同的正方形形，故C选项不合题意；‎ D．球的主视图，左视图都是相同的圆，故D选项不合题意；故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图，从左边看到的图形是左视图．‎ 例3．(20.成都市青羊区二诊)某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（　　）‎ A．正方体 B．长方体 C．圆柱体 D．圆锥体 ‎【答案】C ‎【分析】俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．‎ ‎【解析】‎ 俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了立体图形的三视图，掌握根据三视图判断立体图形的方法是解题的关键．‎ 例4．（20.成都市五城区二诊）下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】选项A，圆柱主视图是矩形，俯视图是圆；选项B，圆锥主视图是三角形，俯视图是圆；‎ 选项C，正方体的主视图与俯视图都是正方形；选项D，三棱柱的主视图是矩形与俯视图都是三角形；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查几何体的三视图．‎ 例5．（20.成都市五城区一诊）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ ‎【解析】解：它的俯视图是：‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ 例6．（2020·江苏兴化·初三一模）如图是一个三视图，则此三视图所对应的直观图是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】由三视图判断几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．‎ ‎【解析】解：由图可得，此三视图所对应的直观图是。故选：B．‎ ‎【点睛】解三视图的定义是关键.‎ 知识点1-5 三视图的画法 常见几何体的三种形状图的画法:确定从不同方向看到的几何体的形状.‎ 虚实要求:画图时,看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.‎ 正方体搭建的几何体的画法 画三种形状图，要注意从相应的方向看几何体有几列,每列有几个正方体(即有几层),根据看到的列数、层数画出相应的图.‎ 例1．（2019·河南省初一期末）如图所示的几何体，从上面看得到的平面图形是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 分析：根据所看位置，找出此几何体的三视图即可．‎ ‎【解析】从上面看得到的平面图形是两个同心圆，故选B．‎ 考点：简单组合体的三视图．‎ 例2 ．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解析】解:从左面可看到2列小正方形的个数从左到右分别为2，1．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ 例3．（2020·全国初一单元测试）如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（　　）‎ A．主视图的面积为4 B．左视图的面积为2‎ C．俯视图的面积为5 D．搭成的几何体的表面积是20‎ ‎【答案】A ‎【解析】A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项正确； B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项错误； C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误； D、搭成的几何体的表面积是22，故D错误．故选A．‎ 例4．（2019·全国初一课时练习）请你画出如图所示的几何体从正面、左面、上面看到的形状图.‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】由简单几何体的三视图的定义即可画出.‎ ‎【解析】如图所示.‎ ‎【点睛】此题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是从各方向直接观察即可画出.‎ 例5．（2019·全国初一课时练习）如图是由几个完全相同的小立方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出这个几何体从正面和左面看到的形状图.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为１，４，２；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为３，４，２．据此可画出图形．‎ ‎【解析】解：如图所示.‎ ‎【点睛】本题考查了作图-三视图， 由三视图判断几何体，能根据俯视图对几何体进行推测分析,有一定的挑战性,关键是从俯视图中得出几何体的排列信息.‎ 知识点1-6 三视图之间的联系 物体长度、高度和宽度的确定:‎ 三种形状图中,从正面看到的形状图和从左面看到的形状图反映物体的高度,‎ 从正面看到的形状图和从上面看到的形状图反映物体的长度,‎ 从左面看到的形状图和从上面看到的形状图反映物体的宽度.‎ 例1．（2019·全国初三单元测试）一个物体的主视图和俯视图如图所示，请根据你对这个物体的想象，画出它的一个左视图．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【分析】根据主视图与俯视图，可大致推出左视图的形状，答案不唯一.‎ ‎【解析】左视图如图所示：（答案不唯一）‎ ‎【点睛】此题主要考察几何体的三视图.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）一仓库管理员需要清点仓库的物品，物品全是一些大小相同的正方体箱子，他不能搬下箱子进行清点，后来，他想出了一个办法，通过从三个不同方向观察物品的形状图，求出了仓库里的存货，他所看到的三个形状图如下，仓库管理员清点出存货的个数是多少？‎ ‎【答案】8个 ‎【分析】从俯视图中可以看出最底层正方体箱子的个数及形状，从主视图可以看出每一层正方体箱子的层数和个数，从左视图确定中间位置应有两排2个，从而算出总的个数．‎ ‎【解析】由三个形状图可判断箱子的堆放数量如图，‎ ‎（个）.所以一共有8个正方体箱子.‎ ‎【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，需要一定的想象力，结合三视图推出每一层的正方体箱子个数，‎ 例3．（2019·全国初一期末）从正面和从左面看一个长方体得到的形状图如图所示(单位： cm)，则其从上面看到的形状图的面积是______．‎ ‎【答案】12cm2‎ ‎【解析】根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得； 从正面看到的形状图是长为4cm宽为2cm的长方形， 从左面看到的形状图是长为3cm宽为2cm的长方形，‎ 则从上面看到的形状图的面积是4×3=12cm2.‎ 例4．（2019·全国初三单元测试）如图是一个由若干个正方体搭建而成的几何体的主视图与左视图，那么下列图形中可以作为该几何体的俯视图的序号是________(多填或错填得0分，少填酌情给分)．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【分析】根据几何体的主视图和左视图用正方体实物搭出图形判断，或者根据主视图和左视图想象出每个位置正方体的个数进行计算.‎ ‎【解析】综合左视图跟主视图，从正面看，第1行第1列有3个正方体，第1行第2列有1个或第2行第2列有1个或都有1个，第2行第1列有2个正方体，第2行第1列有2个正方体.‎ 故答案为: ①②③.‎ ‎【点睛】本题考查了学生的空间想象能力和三视图的综合能力，解题关键是熟练掌握三视图，充分发挥空间想象.‎ 例5．（2019·全国初一单元测试）小明和小彬观察同一个物体，从俯视图看都是一个等腰梯形，但小明所看到的主视图如图（1）所示，小彬看到的主视图如图（2）所示．你知道这是一个什么样的物体？小明和小彬分别是从哪个方向观察它的？‎ ‎【答案】见解析 分析：根据题意，俯视图是一个等腰梯形，而（1）与（2）的形状是相同的，故可知道小明和小彬是从不同方向观察它的，且该几何体是底面为等腰梯形的四棱柱．‎ ‎【解析】底面为等腰梯形的四棱柱（如图所示）．小明是从前面观察的，而小彬则是从后面观察的（答案不惟一）．‎ 知识点1-7几何体的展开与折叠 ‎ ‎ 注意:①棱柱的侧面展开图为长方形，圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为长方形.②将平面图形折叠成几何体时,要注意:折叠中无重合的面.③确定正方体各面数字的口诀:“一个中心”定“四周”,剩下一个是对面..④在展开图中,确定长方形对应点的方法建议:两底放上员下,再定背对面，想象还原图.‎ 例1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列哪一个图形是正方体的侧面展开图（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据已知正方体图形，利用排除法选出正确答案，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对.‎ ‎【解析】根据已知正方体图形，从底面和侧面的情况进行全面的分析，相邻必不相对.‎ 利用排除法可得D选项正确；故选：D ‎【点睛】判断一个平面图形是不是某立体图形的平面展开图，需要从底面和侧面的情况进行全面的分析，反之相同，在分析过程中需谨记:相邻必不相对.此类题目的解答有两种思路:①根据已知立体图形，利用排除法选出正确答案；②将选项中的展开图还原成成立体图形与已知立体图形比较得出正确答案.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）下面四个图形中，是三棱柱的表面展开图的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据三棱柱的展开图进行判断即可.‎ ‎【解析】A是三棱柱的平面展开图，符合题意；B是三棱锥的平面展开图，不符合题意；‎ C是四棱锥的平面展开图，不符合题意；‎ D不是三棱柱的平面展开图，一侧多了一个底，另一侧则少了一个底，不符合题意.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱柱的结构特征，掌握三棱柱的展开图是解题的关键.‎ 例3．（2020·山东省初一期末）下列各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样的是____________．（填序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【分析】根据正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对逐图分析即可解答．‎ ‎【解析】将这四幅图折成正方体时，①+面对○面，#面对△面，☆面对×面；‎ ‎②+面对△面，○面对#面，☆面对×面；③+面对△面，#面对×面，○面对☆面；‎ ‎④+面对△面，#面对○面，☆面对×面．其中两个正方体各面图案完全一样的是②与④．故答案为：②④．‎ ‎【点睛】本题考查了正方体平面展开图的性质，熟练掌握正方体平面展开图的性质是解题的关键，正方体中相对的两个面在展开图中隔一相对，考查了学生熟练运用知识解决问题的能力．‎ 例4．（2019·山东省初一期中）如图是正方体的一种展开图，其中每个面上都有一个数字，在原正方体中，与数字1相对面上的数字是___。‎ ‎【答案】6‎ ‎【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．‎ ‎【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，‎ ‎∴“6”与“1”是相对面，“2”与“4”是相对面，“3”与“5”是相对面，‎ ‎∴与数字1相对面上的数字是6，故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ 例5．（2019·安徽省初一期末）下列图形能围成一个无盖正方体的是_____________________（填序号）‎ ‎【答案】①②④⑤.‎ ‎【分析】通过叠纸或空间想象能力可知；根据正方体的11种展开图，因为本题是无盖的，要少一个正方形.‎ ‎【解析】通过叠纸或空间想象能力可知，①②④⑤可以围成一个无盖正方体.另可根据正方体的11种展开图，因为本题是无盖的，要少一个正方形，也可以得到①②④⑤可以围成一个无盖正方体.‎ 故答案为①②④⑤‎ ‎【点睛】考点：1、立体图形；2、正方体的展开图.‎ 重难点题型：‎ 题型1. 图形的展开、折叠与逻辑关系 解题技巧：①对于比较简单的展开与折叠,可以进行推理；②记住一些常见几何体的展开图(比如长方体、正方体)；③如果是比较复杂的几何体,动手操作最好.‎ 例1．（2020·山东省青岛三十九中初一期末）在图中增加1个小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，在图中适合按要求加上小正方形的位置有_________个.‎ ‎【答案】4‎ ‎【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，‎ ‎【解析】解：如图所示，‎ ‎ ‎ 故答案为4，‎ ‎【点睛】本题考查了正方体的展开图，正方体的展开图形式：一四一呈6种，一三二有3种，二二二与三三各1种，展开图共有11种．‎ 例2．（2020·黑龙江省初一期末）一个小立方体的六个面分别标有数字1、2. 3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字 有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6．‎ ‎【解析】解：由图可知，与1相邻的面的数字有2、3、4、6，的对面数字是5，‎ 与4相邻的面的数字有1、3、5、6，的对面数字是2，‎ 数字6的对面是3，故答案为3．‎ ‎【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键．‎ 例3．（2019·福建省初一期末）图（1）是一个小正方形体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是________ ‎ ‎【答案】梦 ‎【分析】利用正方体的展开特点得出“中”和“美”相对；“国”和“水”相对；“梦”和“城”相对，进一步利用翻转得出答案即可．‎ ‎【解析】根据正方体的表面展开图可知：“国”和“水”相对，“城”和“梦”相对，“中”和“美”相对；翻到第1格“梦”在下面，翻到第2格“中”在下面，翻到第3格“国”在下面，翻到第4格“城”在下面，则第4格时朝上一面的字是“梦”．故答案为：梦 ‎【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，两个面相隔一个面是对面，注意翻转的顺序确定每次翻转时下面是解题关键．‎ 例4．（2020·获嘉县第一中学初一月考）有一个正六面体骰子放在桌面上，将骰子沿如图所示顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2022次后，骰子朝下一面的数字是_____．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【分析】观察图形知道点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，分别确定出前四次滚动后朝下的点数；根据题意可知四次一循环，接下来用2022除以4，根据余数即可确定答案.‎ ‎【解析】观察图形知道点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，则点数1与点数6相对，且骰子朝下一面的点数是2，3，5，4依次循环，‎ ‎∵2022÷4=505……2，∴滚动第2022次后与第2次相同，‎ ‎∴朝下的点数为3.故答案为3.‎ ‎【点睛】本题考查了探究规律，解题的关键是根据题意掌握循环的规律.‎ 例5．（2020·全国初一单元测试）如图所示，图①为一个正方体，其棱长为10，图②为图①的表面展开图(数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数)，请根据要求回答问题：‎ ‎(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x＝________，y＝________；‎ ‎(2)如果面“2”是右面，面“4”在后面，则上面是________(填“6”“10”“x”或“y”)；‎ ‎(3)图①中，M，N为所在棱的中点，试在图②中找出点M，N的位置，并求出图②中三角形ABM的面积．‎ ‎【答案】(1)12，8；(2)6；（3）三角形ABM的面积为25或125.‎ 分析：（1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，可得答案；‎ ‎（2）根据临面，对面的关系，可得答案；‎ ‎（3）根据展开图面与面的关系，可得M、N的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．‎ ‎【解析】 (1) 如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则x=12，y=8； (2)6‎ ‎ (3)有两种情况．如图甲，三角形ABM的面积为×10×5＝25.如图乙，三角形ABM的面积为×(10＋10＋5)×10＝125.‎ ‎∴三角形ABM的面积为25或125.‎ 题型2. 多面体的顶点、面、棱的数量关系：‎ 解题技巧：熟练记忆欧拉公式。‎ 欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2‎ 例1．（2020·四川省初一期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为_____个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个_____面体．‎ ‎【答案】12． 12． ‎ ‎【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条.利用欧拉公式构建方程即可解决问题.②设顶点数V、棱数E、面数F、每个点都属于三个面，每条边都属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题.‎ ‎【解析】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．‎ 由题意F＝20，∴n+10﹣＝2，解得n＝12．‎ ‎②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面 由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝‎ 由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：F+﹣＝2‎ 化简整理：F＝12 所以：E＝30，V＝20‎ 即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，故答案为12，12.‎ ‎【点睛】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是弄清题意、利用等量关系列出方程是解答本题的关键.‎ 例2．（2019·福建省初一期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：‎ 现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝_____．‎ 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 长方体 ‎8‎ ‎6‎ 正八面体 ‎8‎ ‎12‎ ‎【答案】8‎ ‎【分析】直接利用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为V﹣E+F=2，求出答案．‎ ‎【解析】∵现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，‎ ‎∴这个多面体的顶点数V=2+E﹣F，‎ ‎∵每一个面都是三角形，∴每相邻两条边重合为一条棱，∴E=F，‎ ‎∵E+F=30，∴F=12，∴E=18，∴V=2+E﹣F=2+18−12=8，故答案为8．‎ ‎【点睛】本题考查了欧拉公式，正确运用欧拉公式进行计算是解题的关键．‎ 例3．（2019·辽宁省初一期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中项点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列儿种简单多面体模型，解答下列问题:‎ ‎(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格:‎ 多面体 项点数(V)‎ 面数(F)‎ 棱数(F)‎ 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 你发现项点数(V)、面数(F)、棱数(F)之间存在的关系式是__________________________.‎ ‎（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是 20； （3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．‎ ‎【答案】(1) 见解析，V+F-E=2；(2) 20；(3)26‎ ‎【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2； （2）代入（1）中公式进行计算； （3）根据欧拉公式可得顶点数+面数-棱数=2，然后表示出棱数，进而可得面数．‎ ‎【解析】解：（1）根据题意得如下图 多面体 顶点数(V)‎ 面数(F)‎ 棱数(E)‎ 四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 长方体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2， ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2； （2）由（1）可知：V+F-E=2， ∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，∴V+V-8-30=2，即V=20； （3）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有48×3÷2=72条棱， 设总面数为F，48+F-72=2，解得F=26，∴x+y=26．‎ ‎【点睛】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．‎ ‎4．（2019·山西浑源·初一期末）阅读材料，解决下面的问题：‎ ‎（1）如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体．‎ ‎①它是正 面体，有 个顶点， 条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为1:6，若原正方体的棱长为3cm，该正多面体的体积为 cm3；（2）如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体．若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要 个小正方体，他所搭几何体的表面积最小是 ；（3）小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称： ．‎ ‎【答案】（1）①八；6；12；②；（2）21；50；（3）正八面体 ‎【分析】（1）①根据图2的特点即可求解；②先求出原正方体的体积，根据比值即可求出该正多面体的体积；（2）根据题意需搭建为3×3的正方体，根据几何体的特点即可求解；（3）根据这个柏拉图体有6个顶点即可得到为正八面体．‎ ‎【解析】（1）如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体．‎ ‎①它是正八面体，有6个顶点，12条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为1:6，若原正方体的棱长为3cm，则原正方体的体积为33=27∴该正多面体的体积为cm3；‎ ‎（2）如图，新搭的几何体俯视图及俯视图上的小正方体的个位数如下，‎ 则至少需要1+2×4+3×4=21个小正方体，他所搭几何体的表面积最小是2×9+2×8+2×8=50；‎ ‎（3）由图可知这个柏拉图体有6个顶点，故为正八面体；‎ 故答案为：（1）①八；6；12；②；（2）21；50；（3）正八面体．‎ ‎【点睛】此题主要考查立方体的特点及性质，解题的关键是根据题意理解柏拉图体的特点、三视图的应用．‎ 题型3 三视图有关的计数问题 解题技巧: ‎ 这类题目的解题思路如下：先根据从正面和从左面看到的图形，在从上看到的图形的每个小正方形的相应位置上的小正方体的个数，然后求出它们的和，即是组成这个几何体的小正方体的个数.确定每个位置上的小正方的个数时，要分清是哪一行和哪一列，不要张冠李戴.‎ 例1．（2020·山东省初三一模）如图，是由22个边长为1厘米的小正方体拼成的立体图形，该图中由两个小正方体组成的长方体的个数为__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【分析】在求由两个小正方体组成的长方体时，根据方向来推算，可分为上下位、左右位、前后位三种．‎ ‎【解析】由两个小正方体组成的长方体，可分为上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13+14=40（个）． 所以，由两个小正方体组成的长方体有40个．故答案为：40．‎ ‎【点睛】此题实际上是计数问题，在数数时，要注意恰当分类，并在每类数数时要做到不重不漏，这样才能得到正确结果．‎ 例2．（2020·江苏省南师附中初中初一月考）图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是__．‎ ‎【答案】66‎ ‎【分析】可用逐条分析的方法，从最高的那条开始计数．根据所给图形可知，从上到下逐层条是添加四个小正方体，通过计算得出结果．‎ ‎【解析】解：根据题意可得知：图(1)中有1×1＝1个小正方体；‎ 图(2)中有1×2+4×1＝6个小正方体；图(3)中有1×3+4×2+4×1＝15个小正方体；‎ 以此类推第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1＝66个．答案为66．‎ ‎【点睛】此题考查了学生由特殊到一般的归纳能力．注意此题中第六个叠放的图形中，小正方体木块总数应是1×6+4×5+4×4+4×3+4×2+4×1=66个．‎ 例3．（2019·江苏省初一月考）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体．其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，各面都没有涂色的小正方体有1个；现将这个正方体的棱n等分，如果得到各面都没有涂色的小正方体125个，那么n的值为_____．‎ ‎【答案】7‎ ‎【分析】根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律，得将这个正方体的棱等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论．‎ ‎【解析】由题意可知：将这个正方体的棱等分，有个是各个面都没有涂色的，  所以 ，解得n=7，故答案为：7．‎ ‎【点睛】本题是立体几何的规律探究题，解题的关键是结合图形得出规律，列出方程，解方程即可.‎ 例4．（2020·全国初一课时练习）一块方形蛋糕，一刀切成相等的两块，两刀最多切成4块，试问：五刀最多可切成__ 块相等体积的蛋糕，十刀最多可切成____块（要求：竖切，不移动蛋糕）．‎ ‎【答案】16 56 ‎ ‎【解析】当切1刀时，块数为1+1=2块；当切2刀时，块数为1+1+2=4块； 当切3刀时，块数为1+1+2+3=7块；… 当切n刀时，块数=1+（1+2+3…+n）=1+.‎ n=5代入公式得16, n=10,代入公式得56.‎ 点睛：找规律题需要记忆常见数列 ‎1，2，3，4……n.‎ ‎1，3，5，7……2n-1.‎ ‎2，4，6，8……2n.‎ ‎2，4，8，16，32……2n.‎ ‎1，4，9，16，25……n2.‎ ‎2，6，12，20……n(n+1).‎ 学会常见数列的变形，才能具体问题找到规律 题型4 三视图中的最值问题 解题技巧：这类题目的解题思路有两种：‎ ‎（1）由从三个不同的方向看到的形状，可以在俯视图上，标出相应的摆放的最多数量，进而求出答案，做出选择．‎ ‎（2）由两个视图求小立方体个数的最多或最少问题,最多=主视图和俯视图对应列的乘积之和，最少=主视图全部个数+俯视图除去最多一行余下的个数.‎ 例1．（2020·四川省初一期末）如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的从正面看，从上边看到的图形，若组成的这个几何体的小正方体的块数为，则的所有可能的值之和为____________．‎ ‎【答案】38‎ ‎【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出层数和每一层小正方体的个数，从而算出总的个数．‎ ‎【解析】‎ 当个数最少的时候从俯视图看一共有8个正方体，如图一所示（其中一种情况），当个数最多的时候有11个正方体，如图二所示．所以，n所有可能的值为8、9、10、11,则，n的所有可能值之和为38．‎ 故答案为：38.‎ ‎【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．‎ 例2．（2019·山东省初一期中）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要________个小立方块．‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列；由左视图可知，搭成的几何体共有3行；‎ 第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第三层有1个正方体，共有10个正方体，‎ ‎∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成一个大正方体，‎ ‎∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，∴至少还需要64-10=54个小正方体．‎ ‎【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体，即可得出答案．本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体．‎ 例3．（2019·广东省初一期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14．‎ 点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．‎ 例4．（2020·全国初一课时练习）从正面和左面看由一些完全相同的小正方体搭成的几何体，看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是_____________.‎ ‎【答案】4或5或6或7‎ ‎【解析】根据已知所给的从正面看和从左面看到的图形，可知搭成几何体的小正方体的个数最少如图1所示为4个，最多如图4所示为7个，故组成这个几何体的小正方体的个数可能是4或5或6或7个．‎ 例5．（2020·崇仁县第一中学初一期中）用小立方体搭一个几何体，从左面和上面看如图所示，这样的几何体它最少需要_______.块小立方体，最多需要_______.块小立方体.‎ ‎【答案】5 7 ‎ 分析：观察主视图和俯视图，结合两图即可得出答案.‎ ‎【解析】由主视图和俯视图可知，需要最少的几何体其中一种是：‎ ‎，‎ 需要最少的几何体是：‎ ‎，‎ 所以最少需要1+1+1+2＝5个，最多需要1+2+2+2＝7个.故答案为：5，7.‎ 点睛：本题主要考查三视图的知识，解题的关键是由三视图中的两个视图判断几何体不同形状.‎ 题型5 计算组合体的体积与表面积 此类题型考试较为灵活，把整章知识全部纳入考察范围，难度一般。做到细心仔细即可。‎ 例1．（2020·山西省初一期末）某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料，（单位：）.则此长方体包装盒的体积是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由长方体包装盒的平面展开图，可知该长方体的长为70mm，宽为40mm，高为65mm，根据长方体的体积=长×宽×高即可求解 ‎【解析】由题意，知该长方体的长为70mm，宽为40mm，高为65mm， 则长方体包装盒的体积为：70×40×65=182000（mm3）．故答案为：182000mm3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了长方体的平面展开图，长方体的体积公式，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．‎ 例2．（2019·浙江省初三二模）如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为_____．‎ ‎【答案】76‎ ‎【分析】从5×5×5的正方体的8个顶点进行分割，可得8个2×2×2的正方体，再加上12条棱中间的12个小正方体，依此求得小正方体的个数，再乘以1个小正方体的体积即可求解．‎ ‎【解析】如图所示：该正方体可按如图方式分割，则体积为(1×1×1)×(8×8+12)=1×76=76，‎ 故所得几何体的体积为76． 故答案为：76．‎ ‎【点睛】本题考查了截一个几何体，正方体的体积，关键是得到小正方体的个数．‎ 例3．（2019·全国初一课时练习）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为________cm2．‎ ‎【答案】4π．‎ ‎【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．‎ ‎【解析】由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；‎ 根据三视图知：该圆锥的母线长为3cm，底面半径为1cm，‎ 故表面积=πrl+πr2=π×1×3+π×12=4πcm2．故答案为4π．‎ ‎【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ 例4．（2020·全国初一单元测试）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的体积是________cm3‎ ‎【答案】20cm3.‎ ‎【解析】如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AE= cm， ∴长方体的高为：6-5=1（cm），∴EF=5-1=4（cm）， ∴原长方体的体积是：5×4×1=20（cm3）．故答案是：20cm3．‎ 例5．（2019·峄城区底阁镇中学初一月考）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．‎ ‎【答案】19，48．‎ 分析：首先确定张明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可．‎ ‎【解析】∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，‎ ‎∴该长方体需要小立方体4×32=36个，‎ ‎∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，‎ ‎∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，表面积为：2×（9+7+8）=48，故答案为19，48．‎ 考点：由三视图判断几何体．‎ 例6．（2018·黑龙江省初一月考）如图，5个棱长为1 cm的正方体摆在桌子上，则露在外面的部分(不包括底面)的面积为______cm2.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】从左右和前后看，这四个方向各有三个小正方体的面裸露，从上面看有四个面裸露，所以共有3×4+4=16个面裸露，则裸露的面积为1×1×16=16cm2.‎ 故答案为16cm2.‎ 点睛：有裸露的只有5个面，关键是要把从上面看，从左面看，从上面看所得到的图形搞清楚，得到除底面外的每一个面的平面图形，再计算出这几个平面图形的面积的和即可解决问题，本题特别是要有整体意识，不要纠结到图形的细节.‎