初一数学上册同步讲解练习 整式 29页

整式 典例体系 一、知识点 1.代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如 n,-1,2n+500,abc。单独的一个数或一 个字母也是代数式。 2.单项式：表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 单项式的系数：单项式中的数字因数 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和 3.多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。常数项的次数为 0。 4.整式：单项式和多项式统称为整式。 注意：分母上含有字母的不是整式。 5.代数式书写规范： ① 数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前； ② 出现除式时，用分数表示； ③ 带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数； ④ 若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。 二、考点点拨与训练 考点 1：单项式的定义及判定 典例：（2020·安徽省初一期末）下列代数式 1, , , 22 a xy x yc中，单项式有（ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【答案】B 【解析】 解：代数式 中， ,2 a xy 是单项式， 故选：B． 方法或规律点拨 本题考查了单项式的定义，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 巩固练习 1．（ 2020·河北省初一期末）下列结论正确的是( ) A．﹣3ab2 和 b2a 是同类项 B． 2  不是单项式 C．a 比﹣a 大 D．2 是方程 2x+1＝4 的解 【答案】A 【解析】选项 A. 23ab 和 2ba是同类项，正确. 选项 B. π 2 是单项式.错误. 选项 C.因为 a=0, a = a .错误. 选项 D. 2 代入方程 22154 .错误. 故选 A. 2．（ 2020·内蒙古自治区中考真题）下列说法不正确．．．的是( ) A． 2 a 是 2 个数 a 的和 B． 是 2 和数 a 的积 C． 是单项式 D． 是偶数 【答案】D 【解析】解：A、 =a+a，是 2 个数 a 的和，故选项正确； B、 2 a =2×a，是 2 和数 a 的积，故选项正确； C、 是单项式，故选项正确； D、当 a 为无理数时， 是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选 D. 3．（ 2020·贵州省初三学业考试）下列说法中正确的是（ ） A．单项式 x 的系数和次数都是零 B． 433 x 是 7 次单项式 C． 0 是单项式 D． 22 R 的系数是 2 【答案】C 【解析】A. 单项式 的系数和次数都是 1，故不正确； B. 是 3 次单项式，故不正确； C. 是单项式，正确； D. 的系数是 π，故不正确； 故选 C． 4．（ 2020·内蒙古自治区初一期末）下列说法正确的是：（ ）． A．单项式 m 的次数是 0 B．单项式 5×105t 的系数是 5 C．单项式 22 3 x 的系数是 2 3 D．－2 010 是单项式 【答案】D 【解析】A. 单项式 m 的次数是 1，故 A 选项错误；B. 单项式 5×105t 的系数是 5×105，故 B 选项错误；C. 单 项式 22 3 x 的系数是 2 3 π，故 C 选项错误；D. －2 010 是单项式，正确， 故选 D. 5．（ 2020·广东省初一期末）单项式﹣x3y2 的系数与次数分别为（ ） A．﹣1，5 B．﹣1，6 C．0，5 D．1，5 【答案】A 【解析】解：根据单项式系数的定义，单项式﹣x3y 的系数是﹣1，次数是 5． 故选：A． 6．（ 2019·内蒙古自治区初一期中）式子中 2 x ， 3a  ， 2 ， 7 a ， 2b  ， 210 3 xy，0 单项式个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】解： 2 x 不是单项式； 3a  不是单项式； 2  是单项式； 7 a 是单项式； 2 b  是单项式； 210 3 xy是单项式； 0 是单项式． 综上：共有 5 个单项式 故选 A 7．（ 2019·广西壮族自治区初一期末）单项式 22 xy 的系数和次数依次是 （ ） A．-2,3 B．-2,4 C．2,3 D．2,4 【答案】A 【解析】单项式 的系数是−2，次数是 3， 故选：A． 8．（ 2019·广西壮族自治区初一期末） 23ab 的系数与次数分别为 A． 3? ，2 次 B． 3 ，2 次 C． 3? ,3 次 D．3,3 次 【答案】C 【解析】系数为：－3 次数为：1+2=3 故选：C． 9．（ 2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）下列式子中： ab， 1 2 ， ， 1 x ， 5a 中，单项式的个 数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】 ab为多项式，故不是单项式； 1 x 为分式，而单项式是整式的一种，因此单项式有 1 2 ， ， 5a 共计 3 个 故选择：C 10．（ 2020·河北省初一期末）在下列式子 ab 3 ，﹣ 4x，﹣ 3 5 abc，a，0，a﹣b，0.95 xy 3 ， 中，单项式有（ ） A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 【答案】B 【解析】解： ，﹣4x，﹣ 3 5 abc，a，0，a﹣b，0.95 中，单项式有 ，﹣4x，﹣ abc，a，0， 0.95 共 6 个． 故选：B． 11．（ 2019·重庆实验外国语学校初一期中）下列说法正确的是( ) A． 4v t 5 的系数是 4 B． 322 a b 是 6 次单项式 C． xy 2  是多项式 D． 2x2x1的常数项是 1 【答案】C 【解析】A、 的系数是 4 5 ，故此选项错误；B、 是 3 次单项式，故此选项错误；C、 是 多项式，故此选项正确；D、 的常数项是 1 ，故此选项错误；故选：C． 12．（ 2019·河北省初一期末）单项式 25 2 at 的系数是_______． 【答案】 5 2  【解析】解：单项式 的系数是 ， 故答案为： ． 13．（ 2018·内蒙古自治区初一期末）单项式 23xyz 的系数是________，次数是_______． 【答案】-1 6 【解析】解：单项式 的系数是-1，次数是 6． 故答案为：-1，6． 14．（ 2020·贵州省初三学业考试）单项式 25 9 a b c 的系数是_______________________． 【答案】 5 9 【解析】∵单项式 的数字因数是 5 9 ， ∴其系数是 ， 故答案为： ． 15．（ 2020·江苏省初三二模）单项式 2 3 xy 的系数是_______． 【答案】 3  【解析】解：在单项式 中，系数是 ； 故答案为： ． 16．（ 2020·广东省初三二模）若单项式 5 ma 的次数是 3 ，则 m=__________． 【答案】 【解析】解： 单项式的次数是 m=3， 故答案为：3． 17．（ 2019·内蒙古自治区初一期中）已知 12 mnxy 的次数为 10，求 2 2 1mn的值________． 【答案】17 【解析】解：∵ 的次数为 10， ∴m+n+1=10， ∴m+n=9， ∴2m+2n-1=2（m+n）-1=2×9-1=17． 故答案为： 17. 18．（ 2020·湖北省初三二模）单项式 343410 ab 的次数是__________． 【答案】 7 【解析】解：a 的指数是 4，b 的指数是 3，4+3=7 故答案为：7. 19．（ 2020·黑龙江省初一期末）单项式﹣3πxy3z2 的系数是______，次数为______． 【答案】﹣3π 6 【解析】解：单项式 323 xy z 的系数和次数分别是： 3 ,6. 故答案为： ． 20．（ 2019·四川省初一期末）请写出一个单项式，同时满足下列条件：①含有字母 m、n：②系数是负整数； ③次数是 3，你写的单项式为______. 【答案】−2m 2 n(答案不唯一). 【解析】根据题意,得−2m n(答案不唯一)， 故答案为：−2m n(答案不唯一). 考点 2：多项式的定义及判定 典例：（2019·广西壮族自治区初一期末）已知 1 31mxx  是关于 x 的三次三项式，那么 m 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 ∵ 是关于 x 的三次三项式 ∴ 1mx  的次数为 3，即 m-1=3 解得：m=4 故选：B． 方法或规律点拨 本题考查多项式的概念，注意，多项式的次数指的是组成多项式的所有单项式中次数最高的那个单项式的 次数． 巩固练习 1．（ 2020·湖北省初一期末）下列说法错误的是 （ ） A． 2231xxy是二次三项式 B． 1x不是单项式 C． 22 3 xy 的系数是 2 3 D． 222 xab 的次数是 6 【答案】D 【解析】根据多项式和单项式的有关定义判断即可. A．根据多项式的次数：次数最高的那项的次数. 22x 次 数为 2； 3 xy 次数为 2；-1 的次数为 0，所以 22 3 1x x y是二次三项式 ，正确； B．根据单项式是数字与字母的积可得 1x不是单项式 ，正确； C．根据单项式系数：字母前边的数字因数可得 22 3 xy 的系数是 2 3 ，正确； D．根据单项式的次数是所有字母指数的和可得 222 x a b 的次数是 4,，错误. 所以选 D. 2．（ 2020·河北省初一期末）下列说法错误的个数是( ) ①单独一个数 0 不是单项式；②单项式-a 的次数为 0；③多项式-a2+abc+1 是二次三项式；④-a2b 的系数是 1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解：①单独一个数 0 是单项式，故①错误； ②单项式﹣a 的次数为 1，故②错误； ③多项式﹣a2+abc+1 是三次三项式，故③错误； ④﹣a2b 的系数是﹣1，故④错误； 故选：D． 3．（ 2020·河南省初一期末）下列说法正确的是（ ） A．多项式 ab c 是二次三项式 B．单项式 24 5 xy 的系数是 4 ，次数是 3 C．多项式 2923xyy的常数项是 D．多项式 223342xyxyx 的次数是 5 【答案】D 【解析】A、多项式 是二次二项式，故本选项错误； B、单项式 的系数是 4 5 ，次数是 ，故本选项错误； C、多项式 的常数项是 3 ，故本选项错误； D、多项式 的次数是 ，故本选项正确； 故选：D． 4．（ 2019·内蒙古自治区初一期中）下列判断中正确的是( ) A．单项式 22ab 3 的系数是-2 B．单项式 2 3 的次数是 1 C．多项式 2222x 3 x y y 的次数是 2 D．多项式 21 2 a b a b 是三次三项式 【答案】D 【解析】单项式的系数是指前面的常数项，所有字母的指数之和是这个单项式的次数；在多项式中，单项 式的最高次数为这个多项式的次数，单项式的个数为这个多项式的项数．A、单项式的系数为 ，故错误； B、单项式的次数为 0 次，故错误；C、多项式的次数为 4，故错误；D、正确，故选 D． 5．（ 2020·广东省绿翠现代实验学校初一期中）多项式 2422 5 3x y x y 的次数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．3 【答案】C 【解析】在 中， 第一个单项式为： 242 xy ，其次数为 6 第二个单项式为： 25 xy ，其次数为 3 第三个单项式为： 3 ，其次数为 0 综上，这个多项式的次数为 6 故答案选：C． 6．（ 2019·曲靖市沾益区播乐乡罗木中学初一月考）下列说法正确的是（ ） A．ab+c 是二次三项式 B．多项式 2x 223y 的次数是 4 C．0 是单项式 D． b a 是整式 【答案】C 【解析】A. ab+c 是二次二项式，所以 A 选项错误； B. 多项式 2x 的次数是 2，所以 B 选项错误； C. 0 是单项式，所以 C 选项正确； D. 为分式，所以 D 选项错误. 故选 C. 7．（ 2019·重庆市大坪中学初一期中）若关于 x，y 的多项式 2215(1)3 4 mxymy  是三次三项式， 则 m 等于（ ） A．-1 B．0 C．1 D．±1 【答案】C 【解析】解:由题意可得 2+ m =3,且- (m+1)≠0， 解得 m=1. 故选 C. 8．（ 2018·湖北省初一期末）关于多项式 x2＋y2－1 的项数及次数，下列说法正确的是（ ） A．项数是 2，次数是 2 B．项数是 2，次数是 4 C．项数是 3，次数是 2 D．项数是 3，次数是 4 【答案】C 【解析】多项式 x2+y2-1 是 3 个单项式的和，因此该多项式的项数是 3； 组成多项式的单项式的最高次数是 2，因此该多项式的次数是 2． 故选：C． 9．（ 2019·山西省初一期中）下列说法正确的是（ ） A．单项式 7 ab 的次数是 1 B．单项式 2 3 ab 的系数是 2 C．多项式 2326aabab的次数是 3 D． 24ab ，3ab ，5 是多项式 2435abab 的项 【答案】C 【解析】解：选项 A：单项式 的次数为 2,故选项 A 错误； 选项 B：单项式 的系数为 2 3 ，故选项 B 错误； 选项 C：多项式 的次数是 3 次，故选项 C 正确； 选项 D： 的项是： ， 和 5 ，故选项 D 错误. 故答案为：C. 10．（ 2020·绵竹市孝德中学初一期中）下列说法正确的是（ ） A．－4x2＋x3y2＋5 是五次三项式 B．－25 x 3 y 的次数 9 C． 1 y 是单项式 D． 2 a 不是整式 【答案】A 【解析】解：A、－4x2＋x3y2＋5 是五次三项式，故选项正确； B、－25 x 3 y 的次数 4，故选项错误； C、 是分式，故选项错误； D、 是整式，故选项错误； 故选 A. 11．（ 2020·成都市金花中学初一期中）下列式子中，和 3 2 32 x y z 次数相同的是（ ）． A． 64ab B． 328 ab C． 253 6 7a b a b   D． 62 【答案】C 【解析】解：单项式 的次数是 6 次． A、 的次数是 7 次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意； B、 的次数是 5 次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意； C、多项式 的次数是 6 次，与已知式子的次数相同，所以本选项符合题意； D、 的次数是 0 次，与已知式子的次数不相同，所以本选项不符合题意． 故选：C． 12．（ 2019·苏州市景范中学校初一期末）下列关于多项式 221abab的说法中，正确的是（ ） A．次数是 5 B．二次项系数是 0 C．最高次项是 22ab D．常数项是 1 【答案】C 【解析】A、多项式 的次数是 3，故此选项错误； B、多项式 的二次项系数是 1，故此选项错误； C、多项式 的最高次项是-2ab2，故此选项正确； D、多项式 的常数项是-1，故此选项错误． 故选 C． 13．（ 2020·张家界市民族中学初三月考）多项式 2 4 2 3 83 7 2x y x y xy   是______次_____项式，最高次项 的系数是_______． 【答案】六 四 -7 【解析】解：根据定义，多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数 项；多项式的次数为，多项式中次数最高项的单项式次数就是这个多项式的次数；系数：单项式中的数字 因数叫做这个单项式的系数． 故这个多项式是六次四项式，最高次项的系数是-7． 故答案为六、四、-7． 14．（ 2019·内蒙古自治区初一期末）多项式 5x3y﹣2x2y3﹣3xy+5 的次数是__次．最高次项系数是______，常 数项是____． 【答案】5 -2 +5 【解析】解：多项式 5x3y−2x2y3−3xy＋5 的次数是 5，最高次项系数是−2，常数项是＋5． 故答案为：5，−2，＋5． 15．（ 2020·四川省初一期中）单项式 7 xy 的系数是_____；多项式 2245 3 2x y y 的次数是_____． 【答案】 1 7 3 【解析】解：单项式 的系数是 ， 多项式 的次数是 3， 故答案为： ，3. 16．（ 2019·广西壮族自治区初一期末）下图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的 代数式，你补充的内容是：_________________________． 【答案】答案不唯一，如: 32x 【解析】由题意可知，可补充 32 x （答案不唯一）. 故答案为： （答案不唯一）. 17．（ 2019·北京市顺义区杨镇第二中学初一期中）多项式 3 22 2843a ba b 是_______次_______项式，常 数项是_______． 【答案】五， 三， 2 3 【解析】 解：多项式 322 2843abab 是五次三项式，常数项是 2 3 ； 故答案为：五，三， ． 18．（ 2019·河南省初一期中）把多项式 3322 43ababab 按字母 a 的升幂排列得____________________． 【答案】 322334bababa 【解析】解：多项式 按字母 a 的升幂排列是：-b3+3ab2-4a2b +a3 故答案是： ． 19．（ 2020·云龙县第三中学初一期中）多项式 2223 2 5x y x y是_______次________项式． 【答案】四 三 【解析】 因为多项式 是单项式 23xy， 222 xy ， 5 的和，而其中 的次数最高为 4，所以多 项式 是四次三项式．故答案为：四；三． 考点 3：数字、字母类规律探究 典例：（2020·湖北省中考真题）有一列数，按一定的规律排列成 1 3 ， 1 ，3， 9 ，27，－81，…．若其中 某三个相邻数的和是 567 ，则这三个数中第一个数是______． 【答案】 81 【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三个相邻数的和是 ，可设第一个数是 n，则三个数为 n，-3 n， 9n 由题意：  n3n9n567  ， 解得：n=-81， 故答案为：-81． 方法或规律点拨 此题主要考查数列的规律探索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用代数式表示常见的数列， 列出方程是解题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·广东省初三月考）观察下面三行数： －2，4，－8，16，－32，64，…； 1，7，－5，19，－29，67，…； －1，2，－4，8，－16，32，…． 分别取每行的第 10 个数，这三个数的和是（ ） A．2563 B．2365 C．2167 D．2069 【答案】A 【解析】解：由题意可知，第 1 行第 10 个数为：210； 第 2 行第 10 个数为：210＋3； 第 3 行第 10 个数为：29； 三数和为：210＋210＋3＋29＝2563， 故选：A． 2．（ 2020·湖北省初三一模）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33 和 43 分别 可以“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若 1003 也 按照此规律来进行“分裂”，则 1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ） A．9999 B．9910 C．9901 D．9801 【答案】C 【解析】解：23＝3+5；33＝7+9+l1；43＝13+15+17+19； ∵3＝2×1+1， 7＝3×2+1， 13＝4×3+1， ∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是 m（m﹣1）+1， ∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是 100×99+1＝9901， 故选：C． 3．（ 2020·广西壮族自治区中考真题）观察下列按一定规律排列的 n 个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后 三个数之和是 3000，则 n 等于（ ） A．499 B．500 C．501 D．1002 【答案】C 【解析】设最后三位数为 x－4,x－2,x． 由题意得: x－4+x－2+x=3000, 解得 x=1002． n=1002÷2=501． 故选 C． 4．（ 2020·河南省初三二模）定义一种对正整数 n 的“ F ”运算：①当 为奇数时 ( ) 3 1F n n ；②当 为偶 数时， () 2 k nFn  （其中 k 是使 ()Fn 为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取 24n  时， 其计算过程如上图所示，若 13n  ，则第 2020 次“ ”运算的结果是（ ） A．1 B．4 C．2020 D． 20202 【答案】A 【解析】解：当 时，第 1 次“ ”运算为：13×3+1=40， 第 2 次“ ”运算为： 3 40 52  ， 第 3 次“ ”运算为：5×3+1=16， 第 4 次“ ”运算为 4 16 12  ， 第 5 次“ ”运算为 1×3+1=4， 第 6 次“ ”运算为 2 4 12  ， 第 7 次“ ”运算为 1×3+1=4，…， 由此可得，n≥4 时，当 n 为偶数时，结果为 1，当 n 为奇数时，结果为 4， ∵2020 为偶数， ∴第 2020 次“ ”运算的结果是 1， 故选：A． 5．（ 2020·湖南省中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（） 1 4 2 9 2 6 3 20 3 8 4 35 …… a 18 b x A．135 B．153 C．170 D．189 【答案】C 【解析】解：由观察分析：每个正方形内有： 224,236,248, 2 1 8 ,b 9,b 由观察发现： 8,a  又每个正方形内有： 2419,36220,48335, 1 8 ,b a x   1898170.x 故选 C． 6．（ 2020·湖北省中考真题）根据图中数字的规律，若第 n 个图中出现数字 396，则 n  （ ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【解析】根据图形规律可得： 上三角形的数据的规律为： 2 (1 )nn ，若 2 (1 ) 396nn ，解得 n 不为正整数，舍去； 下左三角形的数据的规律为： 2 1n  ，若 2 1396n  ，解得 不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为： 21n  ，若 21396n ，解得 不为正整数，舍去； 下右三角形的数据的规律为： ( 4)nn ，若 ( 4) 396nn ，解得 18n  ，或 22n  ，舍去 故选：B． 7．（ 2020·内蒙古自治区初三三模）按照一定规律排列的 个数：-2，4，-8，16，-32，64，…．若最后三个 数的和为 768，则 为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】由题意，得第 n 个数为（-2）n， 那么（-2）n-2+（-2）n-1+（-2）n=768， 当 n 为偶数：整理得出：3×2n-2=768，解得：n=10； 当 n 为奇数：整理得出：-3×2n-2=768，则求不出整数． 故选 B． 8．（ 2020·湖北省初三其他）已知有理数 1a  ，我们把 1 1 a 称为 a 的差倒数，如：2 的差倒数是 1 = - 112 ， -1 的差倒数是 11=1 ( 1 ) 2 ．如果 1 2a  ，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数……依此 类推，那么 12100a a a   的值是（ ） A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5 【答案】A 【解析】解：∵ ， ∴ 2 11 1(2)3a  ， 3 13 1 21 3 a   ， 4 1 231 2 a     ，…… ∴这个数列以-2， 1 3 ， 3 2 依次循环，且 1312 326  ， ∵100 3 33 1 ， ∴ 12100 1153327.5 62aaa      ， 故选：A． 9．（ 2019·淮安市清河开明中学初一期末）填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得 出 a+b+c=____． 【答案】110 【解析】根据前三个正方形中的数字规律可知：C 所处的位置上的数字是连续的奇数，所以 c=9，而 a 所处 的位置上的数字是连续的偶数，所以 a=10，而 b=ac+1=9×10+1=91，所以 a+b+c=9+10+91=110． 10．（ 2020·浙江省初一期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若 250=m， 则 2100+2101+2102+…+2200=________．（用含 m 的代数式表示） 【答案】m2（2m2-1）． 【解析】解：∵250=m， ∴2100+2101+2102+…+2200 =2100（1+2+22+…+299+2100） =2100（1+2101-2） =（250）2[（250）2×2 -1）] =m2（2m2-1）． 故答案为：m2（2m2-1）． 11．（ 2019·河北省初一期末）观察下列算式：12－02＝1；22－12＝3；32－22＝5；42－32＝7；52－42＝9；…； 若字母 n 表示自然数，请你将观察到的规律用含 n 的式子表示出来：_______． 【答案】(n+1)2-n2=2n+1 【解析】解：根据题意，分析可得 222222222210101 21213 32325 43437 54549； ； ； ； ； 若字母 n 表示自然数，则有：(n+1)2-n2= n+ n+1=2n+1. 故答案为：(n+1)2-n2=2n+1． 12．（ 2020·山东省初三其他） 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 6a ，…，是一列数，已知第 1 个数 1 4a  ，第 5 个数 5 5a  ，且任意三个相邻的数之和为 15，则第 2020 个数 2020a 的值是_________． 【答案】4 【解析】解：由题意可知： 123234345456 15aaaaaaaaaaaa ∴ 1 4 3 2 2 5 3 1 3 6 3= 4, = 5, =n n na a a a a a a a a      …… …… …… ∴ 363 = naaa…… =15-4-5=6 ∴这组数列为 4,5,6,4,5,6,4,5,6,…… ∵2020÷3=673……1 ∴ 2020 4a  故答案为：4 13．（ 2020·广西壮族自治区中考真题）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有8 排， 其中第1排共 有 20 个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共 有 10 排，则该礼堂的座位总数是_____． 【答案】556 个 【解析】∵前区共有 8 排， 其中第 1 排共有 20 个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位， ∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2) =8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2 =216(个)； ∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34， ∴后区的座位数为：34×10=340（个） 因此，该礼堂的座位总数是 216+340=556（个） 故答案为：556 个． 14．（ 2020·安徽省初一期末）有一列数按一定规律排列为1,3,5,7,9, ．．．，如果其中三个相邻的数之和为 1 5 1, 则这三个数中最小的数是________________________． 【答案】-151 【解析】由题意，设相邻三个数中间的数为 x，则相邻两个数分别为（-x-2）和（-x+2）, 根据题意得：（-x-2）+x+(-x+2)=151， 解得：x=﹣151， 则这三个数分别为 149、-151、153， 所以最小的数是-151， 故答案为：-151． 15．（ 2020·青海省中考真题）观察下列各式的规律：① 2132341  ；② 2243891  ； ③ 23 5 4 15 16 1      ．请按以上规律写出第 4 个算式________．用含有字母的式子表示第 n 个算式为 ________． 【答案】 24 6 5 24 25 1         2211nnn  【解析】（1） ， ② ， ③ 235415161 ， ④ 246524251 ； 故答案为 ． （2）第 n 个式子为：    2211nnn ． 故答案为 ． 16．（ 2020·广东省初三一模）观察下列等式： 133 ， 239 ， 33 2 7 ， 43 8 1 ， 53 2 4 3 ， 63 7 2 9 ，…， 试猜想， 20173 的个位数字是_________． 【答案】3 【解析】∵ ， ， ， ， ， ， 2017 4= 504 …1， ∴ 的个位数字是 3． 故答案为 3． 考点 4：图形规律探究 典例：（2020·安徽省初三月考）下图中每个小正方形的边长均为 1，观察图中正方形的面积与等式关系，完 成后面的问题： 22(22)21121 22(3 3) 3 2 1 2 2      22(44)43123 ()nn （1）根据你发现的规律，在 nn 图的后面的横线上填上所对应的等式，并证明等式成立； （2）利用上述规律，求  1 2 3 1n     ； （3）利用（2）的结论求10 11 12 13 99     的值． 【答案】（1）    22 1121nnn ，证明见解析；（2） 2 2 nn ；（ 3）4905． 【解析】解：（1） ； 证明：∵等式左边  2 2 2 22 1 2 1 2 1n n n n n n n          ， 等式右边 12221nn ， ∴等式左边＝等式右边， ∴等式成立． （2）把 1 到 n 的等式相加得       222222222132431 nn         121122123121 n ， ∴  2 112[1231]nnn ， ∴   2 1231 2 nnn  ． （3）1011121399    123991239 221001001010 22  4950 45 4905 ． 方法或规律点拨 此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律 解决问题是解题的关键． 巩固练习 1．（ 2020·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有 5 个实心圆点，第②个图形一共有 8 个实心圆点，第③个图形一共有 11 个实心圆点，⋯，按此规律排列下 去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【解析】解：通过观察可得到 第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2， 第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2， 第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2， …… ∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20， 故选：C． 2．（ 2020·山东省初一月考）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，第 1 个 图中有 5 个“〇”，第 2 个图中有 8 个“〇”，第 3 个图中有 11 个“〇”，则第（ ）个图中所贴剪纸“〇”的 个数为 2018． A．671 B．672 C．670 D．673 【答案】B 【解析】解：第一个图案为 3+2＝5 个窗花； 第二个图案为 2×3+2＝8 个窗花； 第三个图案为 3×3+2＝11 个窗花； …从而可以探究： 第 n 个图案所贴窗花数为（3n+2）个， ∴3n+2＝2018， 解答：n＝672， 故选：B． 3．（ 2019·河北省初二期末）（1）中共有 1 个小正方体，其中一个看的见，0 个看不见；（2）中共有 8 个小 正方体，其中 7 个看得见，一个看不见；（3）中共有 27 个小正方体，其中 19 个看得见，8 个看不见；…， 则第（5）个图中，看得见的小正方体有（ ）个． A．100 B．84 C．64 D．61 【答案】D 【解析】（1）中共有 1 个小正方体，其中一个看的见，0 个看不见，即 331 0 1 ； （2）中共有 8 个小正方体，其中 7 个看得见，一个看不见，即 332 1 7； （3）中共有 27 个小正方体，其中 19 个看得见，8 个看不见，即 333 2 1 9； …… 第（5）个图中，看得见的小正方体有即 33541256461 个； 故选：D． 4．（ 2020·广东省初三月考）如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： ①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作， 当完成第 2020 次操作时，余下纸片的面积为（ ） A．22019 B． 2019 1 2 C． 2020 1 2 D． 2021 1 2 【答案】C 【解析】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：余下面积 S1＝ 1 2 ， 第二次：余下面积 S2＝ 2 1 2 ， 第三次：余下面积 S3＝ 3 1 2 ， 当完成第 2020 次操作时，余下纸片的面积为 S2020＝ 2020 1 2 ． 故选：C． 5．（ 2020·曲靖市马龙区通泉中学初二期中）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中 第①个图形中一共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，…，按此 规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（ ） A．42 B．43 C．56 D．57 【答案】B 【解析】第①个图形中一共有 3 个菱形，3=12+2； 第②个图形中共有 7 个菱形，7=22+3； 第③个图形中共有 13 个菱形，13=32+4； …， 第 n 个图形中菱形的个数为：n2+n+1； 第⑥个图形中菱形的个数 62+6+1=43． 故选 B． 6．（ 2020·山东省中考真题）如图①，某广场地面是用 A ． B ． C 三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖 上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（ 型）地砖记作 (1,1)， 第二块（ 型）地时记作 (2 ,1) …若 ( , )mn 位置恰好为 型地砖，则正整数 m ，n 须满足的条是__________． 【答案】m、n 同为奇数或 m、n 同为偶数 【解析】解：观察图形，A 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的 位置上， 若用（m，n）位置恰好为 A 型地砖，正整数 m，n 须满足的条件为 m、n 同为奇数或 m、n 同为偶数， 故答案为：m、n 同为奇数或 m、n 同为偶数． 7．（ 2019·内蒙古自治区初一期末）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图 形有________个小圆.（用含 n 的代数式表示） 【答案】 4 ( 1)nn或（ 2 4nn） 【解析】第 1 个图有 1×2+4 个小圆； 第 2 个图有 2×3+4 个小圆； 第 3 个图有 3×4+4 个小圆； … 第 n 个图形有 (1)4nn或 个小圆． 8．（ 2020·海南省中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的 图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第 4 个图中的规律编织图案，则第 5 个图中有 _____________个菱形， 第 n 个图中有____________个菱形(用含 的代数式表示)． 【答案】 41 22 2 1nn 【解析】解：∵第 1 个图形有 1 个菱形， 第 2 个图形有 2×2×1+1=5 个菱形， 第 3 个图形有 2×3×2+1=13 个菱形， 第 4 个图形有 2×4×3+1=25 个菱形， ∴第 5 个图形有 2×5×4+1=41 个菱形， 第 n 个图形有 2×n×(n-1)+1= 个菱形. 故答案为：41， . 9．（ 2020·河北省初一期末）如图，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中第（1）个图 形中面积为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第（3）个图形中面积为 1 的 正方形有 9 个，……，按此规律，则第（6）个图形中面积为 1 的正方形的个数为________个．第 n 个图形 中面积为 1 的正方形有________个 【答案】 27 ( 3 ) 2 nn 【解析】解：第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第（2）个图形中面积为 1 的正方形有 2+3=5 个， 第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4=9 个， …， 按此规律，第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+…+（n+1）= (3) 2 nn 个， 则第（6）个图形中面积为 1 的正方形的个数为 2+3+4+5+6+7=27 个， 故答案为：27， ． 10．（ 2020·内蒙古自治区中考真题）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小 正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形……，按这样的方法拼成的第  1n  个正方形比第 n 个正方形 多_____个小正方形． 【答案】2n+3 【解析】解：∵第一个图形有 22=4 个正方形组成， 第二个图形有 32=9 个正方形组成， 第三个图形有 42=16 个正方形组成， ∴第 n 个图形有（n+1）2 个正方形组成，第 n+1 个图形有（n+2）2 个正方形组成 ∴（n+2）2-（n+1）2 =2n+3 故答案为：2n+3． 11．（ 2020·黑龙江省朝鲜族学校中考真题）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图 形中一共有 4 个圆，第 2 个图形中一共有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去，第 9 个图形中圆的个数是___个． 【答案】92 【解析】解：因为第 1 个图形中一共有1 (1 1) 2 4    个圆， 第 2 个图形中一共有 2 (2 1) 2 8    个圆， 第 3 个图形中一共有3 (3 1) 2 14    个圆， 第 4 个图形中一共有 4 (4 1) 2 22    个圆； 可得第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2nn； 所以第 9 个图形中圆的个数9(91)292 ， 故答案为：92． 12．（ 2020·山西省中考真题）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第 1 个图 案有 4 个三角形，第 2 个图案有 7 个三角形，第 3 个图案有 10 个三角形 按此规律摆下去，第 n 个图案有 _______个三角形（用含 的代数式表示）． 【答案】 31n  【解析】解：由图形可知： 第 1 个图案有 3+1=4 个三角形， 第 2 个图案有 3×2+ 1=7 个三角形， 第 3 个图案有 3×3+ 1=10 个三角形， ... 第 n 个图案有 3×n+ 1=（3n+1）个三角形． 故答案为（3n+1）． 13．（ 2020·黑龙江省中考真题）下面各图形是由大小相同的黑点组成，图 1 中有 2 个点，图 2 中有 7 个点， 图 3 中有 14 个点，……，按此规律，第 10 个图中黑点的个数是________． 【答案】119 【解析】解：根据题意， 第 1 个图有 2 个黑点； 第 2 个图有 7 个黑点； 第 3 个图有 14 个黑点； …… 第 n 个图有 2(1)2n个黑点； ∴当 n=10 时，有 2(10 1) 2 121 2 119     （个）； 故答案为：119． 14．（ 2020·广东省初三一模）如图图形都是由同样大小的正方形“□”按照一定规律排列的，其中图①中共有 2 个正方形，图②中共有 4 个正方形，图③中共有 7 个正方形，图④中共有 12 个正方形，图⑤中共有 21 个 正方形，……，照此规律排列下去，则图⑩中正方形的个数为_____． 【答案】522 【解析】解：由图可得， 第①个图形中“□”的个数为：1+1＝2， 第②个图形中“□”的个数为：2+1×2＝4， 第③个图形中“□”的个数为：3+1×2×2＝7， 第④个图形中“□”的个数为：4+1×2×2×2＝12， 第⑤个图形中“□”的个数为：5+1×2×2×2×2＝21， …， 则图⑩中正方形的个数为：10+1×29＝10+512＝522， 故答案为：522．