2020学年七年级数学上册 一次函数与几何综合（一）讲义 （新版）鲁教版 7页

一次函数与几何综合（一）（讲义）‎ Ø 课前预习 ‎1. 小明认为，在一次函数 y=kx+b 中，x 每增加 1，kx+b 就增加了 k，y 也就增加了 k．因此要想求出一次函数表达式中的 k， 只需要知道x 每增加1 个单位长度，y 增加的单位长度即可．例如：在如图所示的一次函数图象中，x 从 1 变到 2 时，y 的值由 3 变到 5，即 x 每增加 1 个单位长度，y 就增加 2 个单位长度，因此 k 的值就是 2．再结合 b 为函数图象与 y 轴交点纵坐标，可得 b=1．故容易求出一次函数表达式为 y=2x+1．请你用待定系数法验证小明的说法．‎ 请根据小明的思路，直接写出下图中一次函数的表达式．‎ y ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎1 2 3 4‎ x ‎1‎ y ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-3‎ ‎2 3 4‎ x 7‎ Ø 知识点睛 ‎1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b 为常数，k≠0）‎ k 直线与 x 轴的 夹角（锐角）‎ k = 3‎ ‎3‎ ‎30°‎ k =1‎ ‎45°‎ k = 3‎ ‎60°‎ ‎①k 是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比） 来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM 即为 ，BM 即为 ，则 k = AM ．‎ A B M BM 举例 根据 k，b 几何意义，求表达式或角度：‎ ‎① y= ‎ y ‎60° O x ‎(0,- 3)‎ ‎② y= ‎ y O ‎30°‎ ‎3‎ x ‎③ α= ‎ y y=x α O x ‎②b 是截距，表示直线与 y 轴交点的纵坐标．‎ ‎2. 设直线 l1：y1=k1x+b1，直线 l2：y2=k2x+b2，其中 k1，k2≠0．‎ ‎①若 k1=k2，且 b1≠b2，则直线 l‎1 ‎ l2；‎ ‎②若 k1·k2= ，则直线 l‎1 ‎ l2．‎ ‎3. 一次函数与几何综合解题思路 坐标 ‎ ‎ 一次函数 几何图形 ‎①要求坐标， ；‎ ‎②要求函数表达式， ；‎ ‎③要研究几何图形， ．‎ 7‎ Ø 精讲精练 y y=2x y=kx B C O A D x y B A C O D x 1. 如图，点 B，C 分别在直线 y=2x 和 y=kx 上，A，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是正方形，则 k 的值为 ．‎ 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，点 A，B 分别在直线 y=kx 和 y=-4x 上，C，D 是 x 轴上的两点，若四边形 ABCD 是长方形，且 AB:AD=3:2，则 k 的值为 ．‎ 7‎ 3. 如图，已知直线 l： y = - ‎3 x + 与 x 轴交于点 A，与 y 轴 ‎3‎ ‎3‎ 7‎ 交于点 B，将△AOB 沿直线 l 折叠，点 O 落在点 C 处，则直线 AC 的表达式为 ．‎ y l C B O A x y y=x+b B α O A x 第 3 题图 第 4 题图 4. 已知点 A 的坐标为(5，0)，直线 y=x+b（b>0）与 y 轴交于点B，连接 AB，∠α=75°，则 b 的值为 ．‎ 5. 7‎ 1. 如图，△OAB 是边长为2 的等边三角形，过点A 的直线y=-x+m y A O B C x 与 x 轴交于点 C，则点 C 的坐标为 ．‎ 2. 在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标为( - ，0)，直线 PQ 的斜率为- ，则将直线 PQ 绕点 P 逆时针旋转 90°所得直线的表达式为 ．‎ ‎3‎ ‎3‎ 3. 如图，直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，OA=m，OB=n， 将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到△COD，CD 所在直线 y l1‎ B C E l2‎ D O A x y B D C O A x l2 与直线 l1 交于点 E，则 l‎1 ‎ l2；若直线 l1，l2 的斜率分别 为 k1，k2，则 k1·k2= ．‎ 第 7 题图 第 8 题图 4. 如图，直线 y = - 4 x + 8 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，线段 ‎3‎ AB 的垂直平分线交 x 轴于点 C，交 AB 于点 D，则直线 CD 的表达式为 ．‎ 7‎ 1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中放入一张长方形纸片 ABCO， 点 D 在 AB 边上，将纸片沿 CD 翻折后，点 B 恰好落在 x 轴 上的点 B′处．若 OC=9， OC = 3 ，则折痕 CD 所在直线的解 CB 5‎ y C B D O B' A x y B A O C x D 析式为 ．‎ 第 9 题图 第 10 题图 7‎ 2. 如图，直线 y = - ‎3x + 2‎ ‎3 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，‎ 7‎ D 是 y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线 DA 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处，则直线 CD 的解析式为 ‎ ．‎ 3. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 l 是第一、三象限的角平分线．‎ 探索：若点 A 的坐标为(3，1)，则它关于直线 l 的对称点 A'‎ 的坐标为 ；‎ 猜想：若坐标平面内任一点 P 的坐标为(m，n)，则它关于直线 l 的对称点 P′的坐标为 ；‎ y A'‎ l A O x 应用：若已知两点 B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线 l 上确定一点 Q，使点 Q 到 B，C 两点的距离之和最小，则此时点 Q 的坐标为 ．‎ 7‎ 1. 如图，已知直线 l1： y = 2 x + 8 与直线 l2：y=-2x+16 相交于点 ‎3 3‎ C，直线 l1，l2 与 x 轴分别交于点 A，B，长方形 DEFG 的顶点 D，E 分别在 l1，l2 上，顶点 F，G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合，则 S长方形DEFG : S△ ABC = ．‎ C y l2‎ E l ‎1‎ D A O B F (G) x 7‎ ‎【参考答案】‎ Ø 课前预习 ‎1. 小明的说法正确，验证过程略 y = 3x - 2 ， y = -2x + 2‎ Ø 知识点睛 ‎1. 竖直高度，水平宽度 ‎2. ①∥；②-1，⊥‎ ‎3. ①利用函数表达式或线段长转坐标 ‎②待定系数法或 k，b 的几何意义 ‎③坐标转线段长或 k，b 的几何意义 Ø 精讲精练 ‎1. 2‎ ‎3‎ ‎2. 4‎ ‎3‎ ‎5‎ 7‎ ‎5 3‎ ‎3‎ ‎3. y = - ‎4.‎ ‎3x + 3‎ 7‎ ‎3‎ ‎5. (1+ ，0)‎ 7‎ ‎6. y = ‎3 x+1‎ ‎3‎ 7‎ ‎7. ⊥，-1‎ ‎8. y = 3 x + 7‎ ‎4 4‎ ‎9. y = - 1 x + 9‎ ‎3‎ 7‎ ‎10. y = ‎3 x - 2‎ ‎3‎ ‎3‎ 7‎ ‎11. (1，3)；(n，m)；( - 13 ， - 13 )‎ ‎5 5‎ ‎12. 8:9‎ 7‎