人教版初一数学上学期 数轴与相反数 22页

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 数轴与相反数 知识框架 ‎ ‎ 基础知识点 知识点2.1 数轴的概念 ‎1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴 ‎2）三要素：‎ ①原点—参考点，正负数分界点；‎ ②方向—一般选取向右为正方向；‎ ③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致 知识点2.2 数轴的读数与画法 ‎1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。‎ ‎2）画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…） e.标数（用实心点标数）.‎ 例1．（2020·罗平县腊山一中初一月考）下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？‎ ‎① ② ③ ‎ ‎④⑤ ⑥ ⑦‎ ‎【答案】①②③④⑥画的数轴不对，⑤和⑦画的数轴正确，原因见解析.‎ ‎【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．‎ ‎【解析】解：①画的数轴不对，缺原点；②画的数轴不对，缺正方向；‎ ‎③画的数轴不对，数轴不是射线而是直线；④画的数轴不对，缺单位长度；‎ ‎⑥画的数轴不对，单位长度不统一．⑤和⑦画的数轴正确．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴的识别． 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．  数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．‎ 例2．（2020·广西壮族自治区初一期中）下列说法错误的是（ ）‎ A．数轴的三要素是原点，正方向、单位长度 B．数轴上的每一个点都表示一个有理数 C．数轴上右边的点总比左边的点所表示的数大 D．表示负数的点位于原点左侧 ‎【答案】B ‎【分析】根据数轴的定义与性质进行判别.‎ ‎【解析】解：数轴上的点与实数是一一对应的，所以数轴上的点也可以表示无理数.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了数轴的基本概念，对数轴概念的掌握是解决此题的关键.‎ 例3．（2020·绵阳市初一期中）如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，墨迹盖住部分对应的整数共有_____个．‎ ‎【答案】7‎ ‎【分析】根据图中的信息可知，墨迹盖住的有两个部分：（1）-5到0之间（不包括-5和0）；（2）0到4之间（不包括0和4），由此即可得到被墨迹盖住的整数，从而得到答案.‎ ‎【解析】根据图中信息可知：墨迹盖住的有两个部分：（1）-5到0之间（不包括-5和0）；（2）0到4之间（不包括0和4），‎ ‎∵在-5到0之间（不包括-5和0）的整数有：-4、-3、-2、-1；‎ 在0到4之间（不包括0和4）的整数有：1、2、3，∴被墨迹盖住的整数共有7个.故答案为：7.‎ ‎【点睛】本题考查了数轴，熟知“在数轴上：-5到0之间（不包括-5和0）有哪些整数和0到4之间（不包括0和4）有哪些整数”是解答本题的关键.‎ 知识点2.3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）‎ ‎1）数轴上的点并不是都是有理数 2） 正方向可以不按照常规方向选取 ‎3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是a（存在多解的情况）‎ 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向 例1. （2019·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）下列说法：‎ ‎①规定了原点、正方向的直线是数轴 ‎②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ‎③有理数数轴上无法表示出来 ‎④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（ ）‎ A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案．‎ ‎【解析】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；‎ ‎②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误；‎ ‎③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；‎ ‎④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．‎ ‎【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念．‎ 例2．（2019·苏州市吴江区青云中学初一月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数－2017将与圆周上的哪个数字重合（      ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，根据此规律即可解答．‎ ‎【解析】圆在滚动的过程中，圆上的四个数，每滚动一周即循环一次，则与圆周上的0重合的数是﹣2，﹣6，﹣10…，即﹣4n+2，同理与3重合的数是：﹣4n+1，与2重合的数是﹣4n，与1重合的数是﹣（1+4n），其中n是正整数．而﹣2017=﹣（1+4×504），∴数轴上的数﹣2017将与圆周上的数字1重合．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．‎ 例3.（2020·邹平双语学校初一月考）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（ ）个 A．13或14个 B．14或15个 C．15或16个 D．16或17个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 若在数轴上随意画线段AB，其左侧端点A的位置存在两种可能性：一种可能是点A与数轴上某一个整点重合(如图中数轴①所示；为清楚起见，图中用长方形代表线段AB)，另一种可能是点A落在数轴上某两个整点之间的区域内(如图中数轴②所示). 因为线段AB的长是一个定值，所以当线段左侧端点A的位置确定时线段右侧端点B的位置也随之确定.‎ ‎(1) 分析图中的数轴①可知，由于数轴的单位长度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A与一个整点重合，所以线段AB的两个端点各自盖住1个整点，线段的其他部分盖住了14个整点，故线段AB一共盖住了16个整点.‎ ‎(2) 分析图中的数轴②可知，由于数轴的单位长度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A落在两个整点之间的区域内，所以线段AB的两个端点均无法盖住任何整点，线段的其他部分盖住了15个整点，故线段AB一共盖住了15个整点.‎ 综上所述，线段AB盖住的整点的个数共有15或16个.故本题应选C.‎ 点睛：本题不仅考查了数轴的相关知识，还考查了利用简单的数形结合思想解决问题的能力. 解决本题的关键在于结合图形针对可能出现的情况进行分类讨论. 在分析的过程中，线段左侧端点在数轴上可能的位置是分情况讨论问题的一个重要出发点，左侧端点是否与某一整点重合直接影响线段所能覆盖的整点数量.‎ 知识点2.4 数轴与数的大小 1） 正方向上，离原点越远，数越大 2） 负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）‎ 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。‎ 例1.（2020·湖北省初三三模）有理数在数轴上对应的点如图所示，则、、的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据相反数的定义在数轴上找到-a、-1对应的点，根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大解答即可．‎ ‎【解析】根据相反数的定义，-a应在1的右边，-1在a的右边，0的左边，所以．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握相反数的定义及“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”是关键．‎ 例2．（2019·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（　　）‎ A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等 C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大 D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 ‎【答案】C ‎【分析】根据数轴的特点进行判断，结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可．‎ ‎【解析】∵实数与数轴上的点一一对应，故答案A正确；‎ ‎∵两个互为相反数的数绝对值相等，∴表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确；‎ ‎∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误；‎ ‎∵通常以向右的方向表示数轴的正方向，∴右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案D正确．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴的概念及数轴与实数的对应关系，把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键．‎ 例3．（2020·河北望都初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a ‎【答案】A ‎【分析】根据数轴左边的点所表示的数小于右边的点所表示的数解答即可．‎ ‎【解析】由数轴得：a＞b＞c，故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解题关键．‎ 例4. 下表是四个城市今年二月份某天的气温，请画出数轴，并依据数轴判断气温最低的城市是哪个。‎ 城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温 ‎-8‎ ‎-16‎ ‎5‎ ‎-25‎ ‎【答案】将温度表示在数轴上得：[来源:学+科+网]‎ 因为数轴上的数，从左到右依次增大，－25最小，即阿泰勒温度最低。‎ 知识点2.5 相反数的概念 相反数：像2和—2、5和—5、3和—3这样，只有符号不同的两个数互为相反数（注：0的相反数是0）‎ 注：相反数是成对出现的 知识点2.6 相反数的意义 1） 代数意义：只有符号不同的两个数，一个是另一个的相反数，0的相反数是0‎ 2） 几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。‎ 例1．（2019·浙江省初一期末）下列各组数中，互为相反数的是（ )‎ A．2和-2 B．-2和 C．－2和 D．和2‎ ‎【答案】A 分析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．‎ ‎【解析】A、2和-2只有符号不同，它们是互为相反数，选项正确；‎ B、-2和除了符号不同以外，它们的绝对值也不相同，所以它们不是互为相反数，选项错误；‎ C、-2和-符号相同，它们不是互为相反数，选项错误；‎ D、和2符号相同，它们不是互为相反数，选项错误．故选A．‎ 例2.（2020·辽宁省初三一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据相反数的定义求解即可．‎ ‎【解析】﹣2020的相反数是2020．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ 例3.（2019·浙江省高照实验学校初一一模）下面说法正确的有（ ）‎ ‎①的相反数是-3.14 ②符号相反的数互为相反数 ③的相反数是 3.8‎ ‎④一个数和它的相反数不可能相等 ⑤正数与负数互为相反数[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可.‎ ‎【解析】的相反数是－，所以①错误；只有符号不同的两个数互为相反数，所以②⑤错误；的相反数是－3.8，所以③错误；0的相反数是0，等于它本身，所以④错误；‎ 综上，5个说法皆错，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数的绝对值相等，明确定义是解题的关键.‎ 例4．（2020·山东省初一期末）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是______.‎ ‎【答案】④‎ ‎【分析】a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，当a=0时，a和-a都是0，不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，根据以上内容判断即可．‎ ‎【解析】解：∵a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，同样-a可能是正数、也可能是0，还可能是负数，①错误；②错误；∵当a=0时，a和-a都是0，都不是负数，∴③错误； ∵不论a是正数、0负数，a与-a都互为相反数，∴④正确.故答案为：④.‎ ‎【点睛】本题考查了对正数、0、负数，有理数，相反数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．‎ 例5.在数轴上描出表示5、－2、－5、+2 这四个数的点。‎ 观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是2的点有 个，这些点表示的数是 ；与原点的距 离是5的点有 个，这些点表示的数是 。从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两个，即一个表示a，另一个是 ，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称。‎ ‎【答案】2；±2；2；±5；－a。‎ ‎【解析】数轴如下 数轴上与原点距离是2的点有2个，这些点表示的数是：±2‎ 与原点距离是5的点有2个，这些点表示的数是：±5；另一个是－a ‎【点睛】本题考查了相反数的概念，熟记概念是解题关键．‎ 知识点2.7 多重符号的化简 ‎1）“﹣”表示否 “+”表示是 ‎2）看“﹣”的个数，奇数个为负，偶数个为正。“+”个数不影响结果。‎ ‎3）a.负负得正；b.负正得负；c.正正得正 例1．（2019·天津市北仓第二中学初一月考）下列各式中，化简正确的是（　　）‎ A．﹣（+7）=﹣7 B．﹣（﹣7）=﹣7 C．+（﹣7）=7 D．﹣[+（﹣7）]=﹣7‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据相反数的定义逐个分析即可：-a表示数a的相反数.‎ ‎【解析】﹣（+7）=﹣7,故选项A正确； ﹣（﹣7）=7，故选项B错误；‎ ‎+（﹣7）=-7，故选项C错误； ﹣[+（﹣7）]=7，故选项D错误.故选A ‎【点睛】本题考核知识点：相反数；解题关键点：理解相反数的意义.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）阅读理解：因为a的相反数是-a，所以①为+2的相反数，故-（+2）=-2；②为-2的相反数，故.即利用相反数的意义可以对多重符号进行化简.‎ 化简：（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.‎ ‎【分析】根据相反数的意义，一个数的相反数，就是在这个数前面加上一个“-”，然后对（1）（2）（3）（4），分别进行化简即可.‎ ‎【解析】（1）. （2）.‎ ‎（3） （4）.‎ ‎【点睛】本题考查了相反数的意义，解题的关键是熟练掌握相反数的意义，注意不能漏掉一个符号.‎ 例3．（2020·河南嵩县初一期末）化简下列各数：‎ ‎（1）+（﹣2）； （2）﹣（+5）； （3）﹣（﹣3.4）； ‎ ‎（4）﹣[+（﹣8）]； （5）﹣[﹣（﹣9）] ‎ 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？‎ ‎【答案】（1）-2；（2）-5；（3）3.4；（4）8；（5）-9，规律：运算结果与“﹣”的个数有密切关系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．‎ ‎【分析】先根据去括号法则化简（1）~（5），进而总结符号与原式中的“-"号的个数关系即可解答．‎ ‎【解析】解：（1）+（﹣2）=﹣2； （2）﹣（+5）=﹣5； （3）﹣（﹣3.4）=3.4； ‎ ‎（4）﹣[+（﹣8）]=8； （5）﹣[﹣（﹣9）]=﹣9．‎ 归纳发现：运算结果与“﹣”的个数有密切关系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．‎ ‎【点睛】本题主要考查了相反数的定义和去括号法则，根据计算结果归纳变化规律是解答本题关键．‎ 重难点题型 题型1 利用数轴求两点间距离 注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个 解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）如图，将一刻度尺放在数轴上. ‎ ‎①若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 2； ‎ ‎②若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 3； ‎ ‎③若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为-2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-1； ‎ ‎④若刻度尺上 0cm 和 4 cm 对应数轴上的点表示的数分别为-1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-0.5. 上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）‎ A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④‎ ‎【答案】D ‎【分析】首先计算出两点之间的距离为几个单位长度，再除以刻度值的长度，可知每1cm表示的单位长度是多少，再根据0cm刻度对应的数判断1cm刻度对应的数即可.‎ ‎【解析】①数1和5之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示1+1=2.正确.‎ ‎②数1和9之间有8个单位长度，则每厘米表示8÷4=2个单位长度，0cm表示数1，则1cm表示1+2=3.正确.‎ ‎③数-2和2之间有4个单位长度，则每厘米表示4÷4=1个单位长度，0cm表示数-2，则1cm表示-2+1=-1.正确.‎ ‎④数-1和1之间有2个单位长度，则每厘米表示2÷4=0.5个单位长度，0cm表示数-1，则1cm表示-1+0.5=-0.5.正确.故答案为：D.‎ ‎【点睛】本题考查了数轴上两点相对位置关系，本题注意每一个单位长度代表的是实际多少厘米，再根据实际厘米数判断单位长度.‎ 例2．（2019·全国初一课时练习）在数轴上，点A表示的数是﹣5，点C表示的数是4，若AB=2BC，则点B 在数轴上表示的数是_____．‎ ‎【答案】1或13‎ 分析：由于点A表示的数是-5，点C表示的数是4，则线段AC的长度为9；又AB=2BC，分两种情况，①点B在点C的右边；②点B在点C的左边．‎ ‎【解析】∵点A表示的数是-5，点C表示的数是4，∴AC=4-（-5）=9；‎ ‎∴①点B在C的右边，如图1，‎ 又∵AB=2BC，∴B是AC中点，∴其坐标应为4+9=13；‎ ‎②B在C的左边，如图2，‎ 又∵AB=2BC，∴其坐标应为4-9×=4-3=1．‎ 故点B在数轴上表示的数是1或13．‎ 点睛：此题综合考查了数轴、两点间的距离的有关内容及分类讨论的数学思想，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．‎ 例3.如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点A表示－16，点G表示8.‎ ‎ ‎ ‎（1）表示原点的点是： ，点C表示的数是： ‎ ‎（2）若数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求M，N之间的距离。‎ ‎（3）点P为数轴上一点，且表示的数是整数，点P到A点的距离与P到G点的距离之和为24，则这样的P点有 个。‎ ‎【答案】∵－16与8之间共有24个单位长度，点A与点G之间共有6段 ∴每段的距离为24÷6=4‎ ‎∴A：－16；B：－12；C：－8；D：－4；E：0；F：4；G：8‎ ‎（1）原点是：E，点C表示－8‎ ‎（2）点M到点E的距离为4，则M为4或－4；‎ 点N到点E的距离为3，则N为3或－3，则有4种情况：‎ ①a=4，b=3，M，N两点间的距离为1；②a=4，b=－3，M，N两点间的距离为7；‎ ③a=－4，b=3，M，N两点间的距离为7；④a=－4，b=－3，M，N两点间的距离为1；‎ ‎∴综上得：点M与点N之间的距离为1或7‎ ‎（3）AG之间的距离恰好是24，因此点P在AG之间或A，G上皆可 这样的P点个数有：24+1=25个 题型2 数轴上点的运动 性质：数轴数形结合的应用 注：若题干中有说明运动的方向，则结果为唯一确定值；若未说明运动的方向，则也会存在向左右两边运动的多解情况。‎ 解题技巧：此类题型考察的是数轴数形结合的应用。先画出数轴，根据题干要求标出参考点；再根据题干要求进行相应的运动，确定最终位置并解答题目。需注意点为：若运动过程中未指出运动方向，则会存在多解情况。‎ 例1．（2020·山东省中考真题）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（ ）[来源:Zxxk.Com]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答.‎ ‎【解析】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数为：-2=，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了数轴，利用数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．‎ 例2．（2019·湖北省初一月考）在数轴上，把表示－2的点移动2个单位长度后所得到的对应点表示的数为(　　)‎ A．0 B．－4 C．0或－4 D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据数轴的特点，可知-2的点移动，分为向左和向右，向左为-2-2=-4，向右为-2+2=0.故选C.‎ ‎【点睛】此题考查了数轴中的运动问题，数形结合的思想是解题的关键。‎ 例3. 数轴上点A对应的数是-1，一只小虫从点A出发，沿着数轴以每秒钟4个单位的速度爬行至点B，再立即沿原路返回至点A，共用9秒钟。（1）小虫爬行的路程是多少个单位长度？（2）点B对应的数是多少？‎ ‎【答案】(1)36；（2）－19或17‎ ‎【解析】（1）路程为：9×4=36个单位长度 ‎（2）因为总路程36为往返距离，所以A与B点间的距离为18‎ 当点B在点A左侧时，B为－19； 当点B在点A右侧是，B为17.‎ ‎【点睛】此题考查了数轴中的运动问题，数形结合的思想是解题的关键。‎ 例4．（2020·北京市文汇中学初一期中改编）一只跳蚤在一数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，所在位置表示的数是(　　)‎ A．50 B．－50 C．100 D．－100‎ ‎【答案】B ‎【分析】首先根据题意，求得每一次k1，k2，k3，k4，k5，k6点所表示的数，即可得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-．继而求得答案.‎ ‎【解析】根据题意得：第一次K1点所表示的数为1，第二次k2点所表示的数为-1，第三K3点所表示的数为2，K4点所表示的数为-2，K5点所表示的数为3，K6点所表示的数为-3； ∴K100点所表示的数为：-；故选：B ‎【点睛】此题考查了数轴的性质．此题难度适中，解题的关键是得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-．‎ 题型3 相反数的性质与求法 性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。‎ b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。‎ c.一组相反数的和为0。‎ 解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。‎ ‎（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。‎ 例1．（2020·全国初一课时练习）+（–3）的相反数是（ ） ‎ A．–（+3） B．–3 C．3 D．+(−)‎ ‎【答案】C ‎【分析】依据相反数的定义回答即可．‎ ‎【解析】解：+（-3）=-3，而–3的相反数是3，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．‎ 例2．（2019·河北黄骅初一期末）的相反数是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据相反数的定义直接可得出答案 ‎【解析】解：因为-()= . 所以的相反数是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．‎ 例3．（2020·辽宁皇姑初三二模）如果a表示有理数,那么下列说法中正确的是( )‎ A．+a和一(-a)互为相反数 B．+a和-a一定不相等 C．-a一定是负数 D．-(+a)和+(-a)一定相等 ‎【答案】D ‎【解析】A.，两个数相等，故错误. B.当时，与相等，故错误.‎ C.可以是正数，也可以是负数，还可以是故错误. D．正确. 故选D.‎ ‎【考点】本题主要考查的是相反数的定义和性质．‎ 例4．（2019·西安科技大学附属中学初一期末）若和互为相反数，则的值是（ ）‎ A．4 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据相反数的性质得出关于的方程，解之可得．‎ ‎【解析】由题意知，则，，，故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查相反数的性质，解题的关键是熟练掌握相反数的性质和解方程的基本步骤．‎ 例5.如果a，b都是有理数，在什么条件下：a+b与a-b互为相反数 ‎【答案】a=0，b为任意有理数 ‎【解析】∵（a+b）与（a－b）互为相反数 ∴（a+b）+（a－b）=0 化简得：‎2a=0，a=0‎ 因此成立的条件为：a=0，b为任意有理数 ‎【考点】相反数的相关概念及运用 题型4 相反数与数轴相结合 性质：相反数几何意义为数轴上原点两旁，与原点距离相等的点所表示的数。‎ 解题技巧：利用相反数的几何意义，先在数轴上表示出互为相反数的两个点，在根据题干要求，利用数轴分析求解题目。‎ 例1．（2020·广东天河初三月考）如图，表示互为相反数的两个点是（　　）‎ A．M与Q B．N与P C．M与P D．N与Q ‎【答案】C ‎【分析】据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．‎ ‎【解析】解：2和﹣2互为相反数，此时对应字母为M与P．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．‎ 例2．（2020·北京顺义初二期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎【分析】先根据在数轴上的位置判断这四个数的大小，再根据哪个数越大则其相反数就越小判断即可．‎ ‎【解析】由题意，得，所以这四个数中，相反数最大的是a．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴的知识、相反数的定义和实数的大小比较，属于基础题型，明确哪个数越大则其相反数就越小是解本题的关键．‎ 例3．如图，图中数轴的单位长度为2．请回答下列问题：‎ ‎（1）若点B与点D所表示的数互为相反数，求点D所表示的数；‎ ‎（2）若点A与点E所表示的数互为相反数，指出原点的位置；‎ ‎（3）若点B与点F所表示的数的绝对值相等，求点D所表示的数.‎ ‎【答案】（1）点D表示的数是4；（2）原点的位置是点C；（3）D表示的数是2．‎ ‎【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点D表示的数即可；‎ ‎（2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴求出原点所在的位置．‎ ‎（3）根据点B与点F所表示的数的绝对值相等，可求出原点所在的位置，然后根据数轴的单位长度，求出点D所表示的数.‎ ‎【解析】（1）点D表示的数是4； （2）点C表示的数是0，原点即为C点． ‎ ‎（3）若点B与点F所表示的数的绝对值相等，点D所表示的数为2.‎ ‎【点睛】此题考查相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键．‎ 例4．（2020·河北省初一期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，‎ 操作一：‎ ‎（1）折叠纸面，使表示的点1与−1表示的点重合，则−2表示的点与_____表示的点重合；‎ 操作二：‎ ‎（2）折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与_____表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是______、______；‎ 操作三：‎ ‎（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是____．‎ ‎【答案】（1）2；（2）-3，-3.5，5.5；（3）±2.‎ ‎【分析】（1）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可得出答案；‎ ‎（2）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可答案；先求出点A和点B到折痕点的距离，再根据距离公式计算即可得出答案；‎ ‎（3）分两种情况进行讨论：①往左移动，②往右移动，再利用相反数的性质计算即可得出答案.‎ ‎【解析】（1）∵折叠纸面，点1和点-1表示的点重合 ‎∴折痕点为0 ∴-2表示的点与2表示的点重合 ‎（2）∵-1表示的点与3表示的点重合 ‎∴折痕点为1 ∴5表示的点与-3表示的点重合 ‎∵AB之间的距离为9 ∴AB两点与中心点的距离为9÷2=4.5‎ ‎∴点A表示的点为-3.5，点B表示的点为5.5‎ ‎（3）①若点A往左移动4个单位长度 则可得：a-4+a=0 解得：a=2‎ ‎②若点A往右移动4个单位长度 则可得：a+4+a=0 解得：a=-2‎ 综上所述a=±2‎ ‎【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，难度适中，需要理解并记忆两点之间的距离公式.‎ 课后训练：‎ ‎1．（2020·四川大邑初一期中）下列说法: ①﹣1乘以任何一个有理数得这个有理数的相反数；②任何互为相反数的商都等于﹣1；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④互为相反数的两个有理数分别立方所得到的两个数也一定是互为相反数．其中正确说法的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【分析】根据乘法法则、相反数的意义、乘方的意义判断即可．‎ ‎【解析】解：（1）﹣1乘以任何一个有理数得这个有理数的相反数，这个说法正确；‎ ‎（2）任何互为相反数的商都等于﹣1，这个说法错误，例如0的相反数是0，但0除以0没有意义；‎ ‎（3）数轴上原点两侧的数互为相反数，这个说法错误，例如﹣1和6是数轴上原点两侧的数，但不是互为相反数；‎ ‎（4）互为相反数的两个有理数分别立方所得到的两个数也一定是互为相反数，这个说法正确；‎ 则说法正确的个数有2个．故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了有理数的乘法法则、相反数的意义、乘方的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎2.（2020·河北石家庄初三月考）下列各数中，相反数等于本身的数是（ ）‎ A．–1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．‎ ‎【解析】解：相反数等于本身的数是0．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．‎ ‎3．（2019·河北省初三二模）如图，在数轴上，若A、B两点表示一对互为相反数，则原点的大致位置是（　　）‎ A．点C B．点D C．点E D．点F ‎【答案】B ‎【分析】根据相反数的几何意义和线段中点的意义，综合得结论．‎ ‎【解析】∵互为相反数的两数到原点的距离相等，所以原点到A、B的距离相等 若线段AB的中点为D，则DA=DB．所以，数轴上A，B两点所表示的数互为相反数， 其原点与线段AB的中点重合．故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查相反数和线段的中点．解题的关键是理解相反数的几何意义和线段中点的含义．‎ ‎4．（2019·安徽省初一期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度在圆周的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的原点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的1949所对应的点与圆周上字母　　所对应的点重合．‎ A．A B．B C．C D．D ‎【答案】D ‎【分析】因为圆沿着数轴向右滚动，依次与数轴上数字顺序重合的是A、D、C、B，且A点只与4的倍数点重合，即数轴上表示4n的点都与A点重合，表示4n+1的数都与D点重合，依此按序类推．‎ ‎【解析】解：设数轴上的一个整数为x，由题意可知 当x=4n时（n为整数），A点与x重合；当x=4n+1时（n为整数），D点与x重合； 当x=4n+2时（n为整数），C点与x重合；当x=4n+3时（n为整数），B点与x重合； 而1949=487×4+1，所以数轴上的1949所对应的点与圆周上字母D重合．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的是数轴上数字在圆环旋转过程中的对应规律，看清圆环的旋转方向是重点，关键要找到旋转过程中数字的对应方式．‎ ‎5．（2019·江阴市利港中学初一月考）下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎①一定是负数； ②只有负数的绝对值是它的相反数；‎ ‎③任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点； ④最大的负整数是；‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【解析】由于a的值不确定，可知-a的值也不确定，故①不正确；0的相反数也是其相反数0，故②不正确；‎ 任意一个有理数都可以在数轴上找到一个对应点，故③正确；最大的负整数是-1，故④正确.故选B 点睛：此题是一个有理数和数轴的关系的考查题，根据有理数的意义，相反数，绝对值的意义，数轴，可以明确各答案的正确，从而得到结果.‎ ‎6.（2020·广东省初三月考）如图，数轴上有O，A，B三点，点O表示原点，点A表示的数为－1，若OB＝3OA，则点B表示的数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据OB=3OA，求出OB的长度，因为B在数轴上表示正数，从而得解；‎ ‎【解析】∵点A对应的数为-1，OB=3OA，∴OA=1，OB=3， ∴B点对应的数是3．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴上点到原点的距离，数轴上点的特点．利用距离的关系求出OB的长度，结合数轴上B点的位置确定它的对应数的正负是解题的关键．‎ ‎37．（2020·全国初一课时练习）一个数在数轴上所对应的点向左移2 016个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是(　　)‎ A．2 016 B．－2 016 C．1 008 D．－1 008‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：设这个数是x，根据题意得：‎ x-2016=-x，解得x=1008．故选C．‎ 点睛：本题考查了相反数的定义，以及数轴上的点向左移用减，列出方程是解题的关键．‎ ‎8．（2020·广东香洲初三其他）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则________（填“>”“<”或“=”）．‎ ‎【答案】<‎ ‎【分析】根据数轴左边的数小于右边的数即可直接解答．‎ ‎【解析】∵在数轴上，a在b的左边，∴a＜b，故答案为：＜‎ ‎【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，熟练掌握数轴上的数右边的数总是大于左边的数的性质是解题关键．‎ ‎9．（2020·广东省东莞市中堂星晨学校初一月考）如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．‎ ‎【答案】-4 ‎ ‎【解析】该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A 的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．‎ ‎10. 点P从数轴（向右为正方向）上的－1出发，分别按照下列条件移动两次后到达终点，说出点P在终点时所表示的数。‎ ‎ （1）先向右移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度；‎ ‎ （2）先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度。‎ ‎【答案】（1）P为－1，向右移动3个单位长度，变为2；在向右移动2个单位长度，变为4‎ ‎ （2）P为－1，向右移动2个单位长度，变为1；在向左移动3个单位长度，变为－2‎ ‎11．（2019·山西省初一期中）如图，数轴上有A、B两点.‎ ‎⑴分别写出A、B两点表示的数 、 ；⑵若点C表示，请你把点C表示在如图所示的数轴上；‎ ‎⑶若点D与点A表示的两个数互为相反数，则点D表示的数是 ；‎ ‎⑷将A、B、C、D四个点所表示的数用“>”连接起来；⑸C、D两点之间的距离是 ；‎ ‎⑹上述问题体现了 的数学思想．‎ ‎【答案】（1）﹣2，3；（2）答案见解析；（3）2；（4）3＞2＞＞－2；（5）3.5；（6）数形结合．‎ ‎【分析】（1）根据数轴的定义，可得答案；（2）根据数轴的定义，可得答案；‎ ‎（3）根据相反数的定义解答即可；（4）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案；‎ ‎（5）根据有理数加减法法则计算即可；（6）体现了数形结合的思想．‎ ‎【解析】（1）A点表示的数：﹣2，B点表示的数3；‎ ‎（2）若点C表示，把点C表示在如图所示的数轴上，如图：‎ ‎；‎ ‎（3）∵A点表示的数是﹣2，∴A的相反数是2，∴D表示的数是：2．‎ ‎（4）点A、B、C、D所表示的四个数用“＞”连接的结果：3＞2＞＞－2．‎ ‎（5）CD=；‎ ‎（6） 上述问题体现了数形结合的数学思想．‎ ‎【点睛】本题考查了有理数大小比较，把数在数轴上表示出来是解答本题的关键．‎ ‎12．（2019·山东省青岛第六十一中学初一月考）（1）将数－2，+1，0，，在数轴上表示出来．‎ ‎（2）将（1）中各数用“＜”连接起来．‎ ‎（3）将（1）中各数的相反数用“＞”连接起来．‎ ‎【答案】（1）详情见解析；（2）；（3）‎ ‎【分析】（1）画出数轴，然后在数轴上找出各数对应的点即可；‎ ‎（2）根据所画数轴，把各数从左至右依次用“＜”连接起来即可；‎ ‎（3）将各数相反数依次求出来，然后进行大小比较即可。‎ ‎【解析】（1）如图所示：‎ ‎（2）由（1）中数轴可知，数轴上的数从左至右依次增大，所以各数用“＜”连接如下： ‎ ‎（3）；‎ ‎∴各数用“＞”连接为：。‎ ‎【点睛】本题主要考查了数轴的画法以及有理数的大小比较，熟练掌握相关概念是解题关键。‎