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  • 2021-10-26 发布

湘教版七年级数学下册第3章因式分解常考题型讲解课件

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常考题型讲解 第三章 -- 因式分解 考点一 因式 分解与整式乘法的关系 例 1 判断下列各式变形是不是分解因式,并说明理由: (1) a 2 -4+3 a =( a +2)( a -2)+3 a ; (2)( a +2)( a -5)= a 2 -3 a -10; (3) x 2 -6 x +9=( x -3) 2 ; (4)3 x 2 -2 xy + x = x (3 x -2 y ) 2 . 不是 不是 是 不是 1 . 下列从左到右的变形中是因式分解的有 (    ) ① x 2 - y 2 - 1 = ( x + y )( x - y ) - 1 ; ② x 3 + x = x ( x 2 + 1) ; ③( x - y ) 2 = x 2 - 2 xy + y 2 ; ④ x 2 - 9 y 2 = ( x + 3 y )( x - 3 y ) . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 2. 在下列等式中,从左到右的变形是因式分解的有 ,不是的,请说明为什么? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 -1=( x +1)( x -1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1+ ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式, 是整式乘法 每个因式必须是整式 考点二 提公因式法分解因式 例 2 因式分解: (1)8 a 3 b 2 +12 ab 3 c ; (2)2 a ( b + c )-3( b + c ); (3)( a + b )( a - b )- a - b . 解: (1) 原式 = 4 ab 2 (2 a 2 + 3 bc ) ; (2) 原式 = (2 a - 3)( b + c ) ; (3) 原式 = ( a + b )( a - b - 1) . 3. 把下列多项式分解因式. 例 3 计算: (1)39×37 - 13×91 ; (2)29×20.16 + 72×20.16 + 13×20.16 - 20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解: (1) 39×37 - 13×91 = 3×13×37 - 13×91 = 13×(3×37 - 91) = 13×20 = 260 ; (2) 29×20.16 + 72×20.16 + 13×20.16 - 20.16×14 = 20.16×(29 + 72 + 13 - 14) = 2016. 4. 已知 a= 9 - b , ab = 4 ,求 a 2 b + ab 2 的值. 解:因为 a = 9 - b , ab = 4 , 所以原式= ab ( a + b ) = 4×9 = 36. 考点四 平方差公式分解因式 例 4 分解因式: (1)( a + b ) 2 - 4 a 2 ; (2)9( m + n ) 2 - ( m - n ) 2 . 解: (1) 原式= ( a + b - 2 a )( a + b + 2 a ) = ( b - a )(3 a + b ) ; (2) 原式= (3 m + 3 n - m + n )(3 m + 3 n + m - n ) = (2 m + 4 n )(4 m + 2 n ) = 4( m + 2 n )(2 m + n ) . 5. 已知 x 2 - y 2 =- 1 , x + y = ,求 x - y 的值. 解:因为 x 2 - y 2 = ( x + y )( x - y ) =- 1 , x + y = , 所以 x - y =- 2. 考点五 完全平方公式分解因式 例 5 因式分解: (1) - 3 a 2 x 2 + 24 a 2 x - 48 a 2 ; (2)( a 2 + 4) 2 - 16 a 2 . 解: (1) 原式=- 3 a 2 ( x 2 - 8 x + 16) =- 3 a 2 ( x - 4) 2 ; (2) 原式= ( a 2 + 4) 2 - (4 a ) 2 = ( a 2 + 4 + 4 a )( a 2 + 4 - 4 a ) = ( a + 2) 2 ( a - 2) 2 . 6. 已知 a + b = 5 , ab = 10 ,求 a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 的值. 解: a 3 b + a 2 b 2 + 1/2 ab 3 = ab ( a 2 + 2 ab + b 2 ) = ab ( a + b ) 2 . 当 a + b = 5 , ab = 10 时, 原式= ×10×5 2 = 125. 例 6 分解因式: ………… 一提 (公因式) …… 二套 (公式) 三查 (多项式的因式分解要 分解到不能再分解 为止) 分解因式的一般步骤 考点六 公式法分解因式 7. 把下列各式分解因式: ( 1 ) 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ; 解 : (1) 原式 =3 a ( x 2 +2 xy + y 2 ) =3 a ( x + y ) 2 ; 分析 : ( 1 )中有公因式 3 a , 应先提出公因式,再进一步分解因式; ( 2 )( a + b ) 2 -12( a + b )+36. (2) 中将 a + b 看成一个整体,设 a + b = m , 则原式化为 m 2 -12 m +36. (2) 原式 =( a + b ) 2 -2·( a+b ) ·6+6 2 =( a+b -6) 2 . 8. 把下列多项式分解因式 例 7 .已知 x 2 +mx-n可以分解为一次因式(x-5)和(x+8)的乘积,求(13m-n) 2 017 的值. 考点七 利用因式 分解的恒等变形求值 解:由题意知 x 2 +mx-n=(x-5)(x+8), 因为(x-5)(x+8)=x 2 +3x-40, 所以 x 2 +mx-n=x 2 +3x-40. 所以m=3,n=40. 所以(13m-n) 2 017 =- 1. 9 .如果 x 2 -ax+5有一个因式是x+5,求a的值,并求另一个因式. 解:因为5=1×5,5=(-1)×(-5), 又 x 2 -ax+5有一个因式是x+5, 因此5只能分解为1×5, 所以 x 2 -ax+5可以分解为(x+5)(x+1), 即 x 2 -ax+5=(x+5)(x+1). 而(x+5)(x+1)=x 2 +6x+5, 所以a=-6,且另一个因式为x+1. 考点八 十字相乘法(二次项系数是 1 时) 1 、 不能用乘法公式,用十字相乘法进行分因式分解 1 2 1 3 1 ×3+1 ×2=5 (一次项系数) 解 : 原式 =(x+2)(x+3) 10 、 1 3 1 6 1 ×6+1×3=9( 一次项系数) 解:原式 =(x+3)(x+6) 11 、 1 -2 1 -5 1× ( -5 ) +1× ( -2 ) =-7 (一次项系数) 解:原式 =(x-2)(x-5) 12 、 1 -2 1 -10 1 × ( -1 0 ) +1 ×(-2)=-12( 一次项系数) 解:原式 =(x-2)(x-10) 考点九 十字相乘法(二次项系数不是 1 时) 例 9. 1 2 2 -1 1 × ( -1 ) +2×2=3 (一次项系数) 解:原式 =(x+2)(2x-1) 针对训练 13 、 2 3 3 -1 2 ×(-1)+3×3=7( 一次项系数 ) 解:原式 =(2x+3)(3x-1) 考点十 看错系数型 例 10 . 两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),试求原多项式. 解:设原多项式为 ax 2 +bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0). 因为2(x-1)(x-9)=2(x 2 -10x+9)= 2x 2 -20x+18, 所以a=2,c=18. 又因为2(x-2)(x-4)=2(x 2 -6x+8)= 2x 2 -12x+16, 所以b=-12. 所以原多项式为 2x 2 -12x+18.