湘教版七年级数学下册第3章因式分解常考题型讲解课件 25页

常考题型讲解 第三章 -- 因式分解 考点一 因式 分解与整式乘法的关系 例 1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a 2 -4+3 a =( a +2)( a -2)+3 a ; (2)( a +2)( a -5)= a 2 -3 a -10; (3) x 2 -6 x +9=( x -3) 2 ; (4)3 x 2 -2 xy + x = x (3 x -2 y ) 2 . 不是 不是 是 不是 1 . 下列从左到右的变形中是因式分解的有 ( 　　 ) ① x 2 － y 2 － 1 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) － 1 ； ② x 3 ＋ x ＝ x ( x 2 ＋ 1) ； ③( x － y ) 2 ＝ x 2 － 2 xy ＋ y 2 ； ④ x 2 － 9 y 2 ＝ ( x ＋ 3 y )( x － 3 y ) ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 2. 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 -1=( x +1)( x -1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1+ ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 考点二 提公因式法分解因式 例 2 因式分解： (1)8 a 3 b 2 ＋12 ab 3 c ； (2)2 a ( b ＋ c )－3( b ＋ c )； (3)( a ＋ b )( a － b )－ a － b . 解： (1) 原式 ＝ 4 ab 2 (2 a 2 ＋ 3 bc ) ； (2) 原式 ＝ (2 a － 3)( b ＋ c ) ； (3) 原式 ＝ ( a ＋ b )( a － b － 1) ． 3. 把下列多项式分解因式. 例 3 计算： (1)39×37 － 13×91 ； (2)29×20.16 ＋ 72×20.16 ＋ 13×20.16 － 20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解： (1) 39×37 － 13×91 ＝ 3×13×37 － 13×91 ＝ 13×(3×37 － 91) ＝ 13×20 ＝ 260 ； (2) 29×20.16 ＋ 72×20.16 ＋ 13×20.16 － 20.16×14 ＝ 20.16×(29 ＋ 72 ＋ 13 － 14) ＝ 2016. 4. 已知 a= 9 － b ， ab ＝ 4 ，求 a 2 b ＋ ab 2 的值． 解：因为 a ＝ 9 － b ， ab ＝ 4 ， 所以原式＝ ab ( a ＋ b ) ＝ 4×9 ＝ 36. 考点四 平方差公式分解因式 例 4 分解因式： (1)( a ＋ b ) 2 － 4 a 2 ； (2)9( m ＋ n ) 2 － ( m － n ) 2 . 解： (1) 原式＝ ( a ＋ b － 2 a )( a ＋ b ＋ 2 a ) ＝ ( b － a )(3 a ＋ b ) ； (2) 原式＝ (3 m ＋ 3 n － m ＋ n )(3 m ＋ 3 n ＋ m － n ) ＝ (2 m ＋ 4 n )(4 m ＋ 2 n ) ＝ 4( m ＋ 2 n )(2 m ＋ n ) ． 5. 已知 x 2 － y 2 ＝－ 1 ， x ＋ y ＝ ，求 x － y 的值． 解：因为 x 2 － y 2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝－ 1 ， x ＋ y ＝ ， 所以 x － y ＝－ 2. 考点五 完全平方公式分解因式 例 5 因式分解： (1) － 3 a 2 x 2 ＋ 24 a 2 x － 48 a 2 ； (2)( a 2 ＋ 4) 2 － 16 a 2 . 解： (1) 原式＝－ 3 a 2 ( x 2 － 8 x ＋ 16) ＝－ 3 a 2 ( x － 4) 2 ； (2) 原式＝ ( a 2 ＋ 4) 2 － (4 a ) 2 ＝ ( a 2 ＋ 4 ＋ 4 a )( a 2 ＋ 4 － 4 a ) ＝ ( a ＋ 2) 2 ( a － 2) 2 . 6. 已知 a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 10 ，求 a 3 b ＋ a 2 b 2 ＋ ab 3 的值． 解： a 3 b ＋ a 2 b 2 ＋ 1/2 ab 3 ＝ ab ( a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ) ＝ ab ( a ＋ b ) 2 . 当 a ＋ b ＝ 5 ， ab ＝ 10 时， 原式＝ ×10×5 2 ＝ 125. 例 6 分解因式： ………… 一提 （公因式） …… 二套 （公式） 三查 （多项式的因式分解要 分解到不能再分解 为止） 分解因式的一般步骤 考点六 公式法分解因式 7. 把下列各式分解因式： （ 1 ） 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ； 解 : (1) 原式 =3 a （ x 2 +2 xy + y 2 ） =3 a （ x + y ） 2 ； 分析 ： （ 1 ）中有公因式 3 a , 应先提出公因式，再进一步分解因式； （ 2 ）（ a + b ) 2 -12( a + b )+36. (2) 中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m , 则原式化为 m 2 -12 m +36. (2) 原式 =( a + b ) 2 -2·( a+b ) ·6+6 2 =( a+b -6) 2 . 8. 把下列多项式分解因式 例 7 ．已知 x 2 ＋mx－n可以分解为一次因式(x－5)和(x＋8)的乘积，求(13m－n) 2 017 的值． 考点七 利用因式 分解的恒等变形求值 解：由题意知 x 2 ＋mx－n＝(x－5)(x＋8)， 因为(x－5)(x＋8)＝x 2 ＋3x－40， 所以 x 2 ＋mx－n＝x 2 ＋3x－40. 所以m＝3，n＝40. 所以(13m－n) 2 017 ＝－ 1. 9 ．如果 x 2 －ax＋5有一个因式是x＋5，求a的值，并求另一个因式． 解：因为5＝1×5，5＝(－1)×(－5)， 又 x 2 －ax＋5有一个因式是x＋5， 因此5只能分解为1×5， 所以 x 2 －ax＋5可以分解为(x＋5)(x＋1)， 即 x 2 －ax＋5＝(x＋5)(x＋1)． 而(x＋5)(x＋1)＝x 2 ＋6x＋5， 所以a＝－6，且另一个因式为x＋1. 考点八 十字相乘法（二次项系数是 1 时） 1 、 不能用乘法公式，用十字相乘法进行分因式分解 1 2 1 3 1 ×3+1 ×2=5 （一次项系数） 解 : 原式 =(x+2)(x+3) 10 、 1 3 1 6 1 ×6+1×3=9( 一次项系数） 解：原式 =(x+3)(x+6) 11 、 1 -2 1 -5 1× （ -5 ） +1× （ -2 ） =-7 （一次项系数） 解：原式 =(x-2)(x-5) 12 、 1 -2 1 -10 1 × （ -1 0 ） +1 ×(-2)=-12( 一次项系数） 解：原式 =(x-2)(x-10) 考点九 十字相乘法（二次项系数不是 1 时） 例 9. 1 2 2 -1 1 × （ -1 ） +2×2=3 （一次项系数） 解：原式 =(x+2)(2x-1) 针对训练 13 、 2 3 3 -1 2 ×(-1)+3×3=7( 一次项系数 ) 解：原式 =(2x+3)(3x-1) 考点十 看错系数型 例 10 ． 两位同学将一个二次三项式因式分解，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，试求原多项式． 解：设原多项式为 ax 2 ＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)． 因为2(x－1)(x－9)＝2(x 2 －10x＋9)＝ 2x 2 －20x＋18， 所以a＝2，c＝18. 又因为2(x－2)(x－4)＝2(x 2 －6x＋8)＝ 2x 2 －12x＋16， 所以b＝－12. 所以原多项式为 2x 2 －12x＋18.