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- 2021-10-26 发布
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2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点01 认识一元一次方程和解一元一次方程
知识框架
基础知识点：
知识点1-1.方程和一元一次方程的概念
1）方程：含有未知数的等式。 例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。
如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
例：；；3m-2n=5；3m=5；6x2-12=0
1．（2020·全国初一课时练习）在①；②；③；④；⑤（a，b为常数）中，是方程的为________．（填序号）
【答案】③④
【分析】含有未知数的等式是方程，据此逐项分析，找出满足条件的一项即可选择．
【解析】①，含未知数但不是等式，所以不是方程；
②，是等式但不含未知数，所以不是方程；
③是含有未知数的等式，所以是方程；④是含有未知数的等式，所以是方程；
⑤（a，b为常数），不含有未知数，不是方程．综上，是方程的为③④．故答案为：③④．
【点睛】本题考查方程的定义．注意：方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数的不是方程，含未知数但不是等式的也不是方程．
2．（2020·山西襄汾·期末）在我国，“方程”一词最早出现于下列那本书中（ ）
A．《孙子算经》 B．《九章算术》 C．《张邱建算经》 D．《几何原本》
【答案】B
【分析】根据“方程”一词的来历即可求解．
【解析】解：在我国，“方程”一词最早出现于《九章算术》中．故选：B．
【点睛】本题考查了数学常识，关键是熟悉“方程”一词的来历．
3．（2020·广西平桂·期中）下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义判断选项的正确性．
【解析】A选项错误，不是等式；B选项正确；C选项错误，有两个未知数，不是一元；D选项错误，次数是二次．故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义．
4．（2020·山西初一期中）下列选项中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一元一次方程是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程．
【解析】A、选项中含有两个未知数，本选项错误；
B、选项中含有两个未知数且不是等式，本选项错误；
C、选项中含有一个未知数，最高次数为1，且是等式，本选项正确；
D、选项中不是等式，本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的概念，正确掌握基础概念即可解答．
5．（2020·湖北广水·初一期末）若是一元一次方程，则的值为_____
【答案】-1
【分析】由一元一次方程的定义可知|a|=1且a-1≠0，从而可求得a的值．
【解析】∵（a-1）x|a|+5=0∴|a|=1且a-1≠0，解得：a=-1．故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的未知数的指数为1．
知识点1-2.方程的解与解方程
1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值
解方程：求方程的解的过程
1．（2020·江西南昌·初一期末）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解只有2 C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2
【答案】D
【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【解析】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
2．（2020·全国课时练习）不是下列（ ）方程的解
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把分别代入四个方程，通过判断方程左右两边是否相等来确定解为的方程．
【解析】A、当时，，所以是方程的解；
B、当时，，所以是方程的解；
C、当时，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解；D、当时，，所以不是方程的解．故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3．（2020·福建惠安·期末）已知关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，则a＝_____．
【答案】5
【分析】直接把x的值进而代入求出答案．
【解析】∵关于x的方程4x﹣a＝3的解是x＝2，∴8﹣a＝3，解得：a＝5．故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题的关键．
4．（2020·河北丰南·初一期末）当x＝________时，代数式2x＋3与2－5x的值互为相反数．
【答案】
【分析】直接根据题意列等式计算.
【解析】根据题意可列方程2x＋3=－（2－5x），解得x=.
【点睛】本题考查了学生相反数的知识，两个数互为相反数，则两数的和为零，掌握相反数的这个性质是解决此题的关键.
5．（2020·全国单元测试）已知是方程的解，求关于的方程的解．
【答案】
【分析】先把代入方程得求得，再将代入方程解方程即可．
【解析】把代入方程得解得．
将代入方程中，得，解得．
【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，解含参数问题时一般是代入参数值求解新的方程，注意参数字母和未知数字母的转换.
知识点1-3 等式的性质
1）等式两边同加或同减一个数（或式子），等式仍然成立。即： （注：此处字母可表示一个数字，也可表示一个式子）
2）等式两边同乘一个数（或式子），或同除一个不为零的数（式子），等式仍然成立。
即：（此处字母可表示数字，也可表示式子）
例：3x+7=2-2x 3x+7+2x=2-2x+2x 3x+7+2x-7=2-2x+2x-7 5x=-5 5x5=-55 x=-1
3）其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。[来源:Z,xx,k.Com]
1．（2020·全国初一课时练习）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等式的性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；②：等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，对每个式子进行变形即可找出答案．
【解析】A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a−5＝2b；
B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a＋1＝2b＋6；
D、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得；
C、当c＝0时，3ac＝2bc＋5不成立，故C错．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，难度不大，关键是基础知识的掌握．
2．（2020·四川汶川·初一期末）下列变形符合等式基本性质的是（ ）
A．如果那么 B．如果，那么等于
C．如果那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】根据等式的性质，即可得到答案．
【解析】A、如果2x－y＝7，那么y＝2x－7，故A错误；B、k＝0时，两边都除以k无意义，故B错误；
C、如果2x＝5，那么x＝，故C错误；D、两边都乘以－3：，，故D正确；
故选择：D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的性质是解题关键．
3．（2020·全国初一课时练习）如果，那么________．
【答案】x
【分析】根据题意，得第一个等式等号右边为-x+4 ，第二个等式等号右边为4，因为(-x+4)+x=4 ，所以等号两边同时加x．
【解析】两边同时加x，得3x+x=4,故答案为：x
【点睛】本题考查的是等式的性质，熟知等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等是解答此题的关键．
4．（2020·全国初一课时练习）运用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（需检验）；
（6）（需检验）；
（7）（需检验）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）
【分析】（1）两边同时减1即可求解；（2）两边同时加1，再同时除以2即可求解；
（3）两边同时减5，然后两边同时除以-1即可求解；（4）两边同时减去2x，即可求解；
（5）两边同时减1，然后两边同时乘2即可求解，注意检验；
（6）两边同时减去3，然后两边同时除以即可求解，注意检验；
（7）两边同时加，得．两边除以，即可求解，注意检验.
【解析】（1）两边减1，得．（2）两边加1，得，两边除以2，得．
（3）两边减5，得，两边除以-1，得．
（4）两边减2x，得．（5）两边加3，得，两边乘2，得．
检验：当时，左边=5=右边，故是原方程的解．
（6）两边减1，得，两边除以，得．
检验：当时，左边=-5=右边，故是原方程的解．
（7）两边同时加，得．两边除以，得．
检验：当时，左边=-30=右边，故是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
5、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．
(1)若4a＝8a－5，则4a+________＝8a．
(2)若，则x＝________．
(3)，则＝________．
(4)ax+by＝－c，则ax＝－c________．
【答案与解析】
解： (1) 5 ； 根据等式性质1，等式两边同时加上5．
(2) ； 根据等式性质2，等式两边同时除以－6．
(3) 2 ； 根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y) ．
(4) –by； 根据等式性质l，等式两边都加上－by．
【点睛】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
6．（2020·福建南安·初一期中）下列方程的变形，正确的是（ ）
A．由4+x＝5，得x＝5+4 B．由3x＝5，得
C．由x＝0，得x＝4 D．由4+x＝﹣5，得x＝﹣5﹣4
【答案】D
【分析】根据等式的性质两边都加或都减同一个数或等式，结果不变，可判断A、D，根据等式的两边都乘或除以同一个不为0的数或整式，结果不变，可判断B、C．
【解析】解；A、由4+x＝5，得x＝5﹣4，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由3x＝5，得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由x＝0，得x＝0，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由4+x＝﹣5，得x＝﹣5﹣4，原变形正确，故此选项符合题意．故选：D．
【点睛】本体主要考察解一元一次方程，易错点是变形中的符号问题．
知识点1-4 合并同类项解一元一次方程
（1）合并同类项：将同类项合并在一起的过程
方法：1）合并同类项；2）系数化为1
1．（2020·全国初一课时练习）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的步骤求解即可；
【解析】合并同类项，得．系数化为1，得．故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键．
2．（2020·全国初一课时练习）下列各方程合并同类项不正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则逐项判断即得答案．
【解析】解：A、由，得，故本选项合并正确，不符合题意；
B、由，得，故本选项合并正确，不符合题意；
C、由，得，故本选项合并错误，符合题意；
D、由，得，故本选项合并正确，不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握合并同类项的法则是解本题的关键．
3．（2020·全国初一课时练习）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】合并同类项，系数化成1即可．
【解析】解：合并同类项，得，系数化为1，得．故选A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
知识点1-5 移项解一元一次方程
（1）移项
例：2x-3=4x-7
2x-3+3=4x-7+3（左边的﹣3变到右边变成了+3）
2x=4x-4
2x-4x=4x-4-4x（右边的4x变到左边变成了－4x）
-2x=-4
x=
x=2
①我们发现，利用等式两边同加或同减一个数（式子），等式不变的性质，可以将方程化为同类项在同一边的情形（即未知数在一边，数值在另一边）。同时，我们还发现，在这个化简的过程中，实际就是把一项移到了另一边，并变号的过程。
②移项：把等式一边的项变号后移动到另一边的过程。（注：整体移动，整体变号）
（2）解一元一次方程的步骤：①移项（将同类项移动到同一侧）；②合并同类项；③将未知数的系数化为1。
例： 2x-3=4x-7
2x-4x=-7+3 移项
-2x=-4 合并同类项
X=2 未知数系数化为1
1、（2020.成都市初一期中）解下列方程
(1) (2)－5x+6+7x＝1+2x－3+8x
【解析】解：(1)移项，得．
合并，得．
系数化为1，得m＝－10．
(2)移项，得－5x+7x－2x－8x＝1－3－6．
合并，得－8x＝－8．
系数化为1，得x＝1．
【点评】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
2、（2020.江苏省南京市初一期中）解方程：[来源:学科网]
(1)； (2)．
【解析】 解：(1)．
移项，合并得．
系数化为1，得x＝48．
(2)15.4x+32＝－0.6x．
移项，得15.4x+0.6x＝－32．
合并，得16x＝－32．
系数化为1，得x＝－2．
【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
3．（2020·全国初一课时练习）方程的解是 （ ）
A．=2 B．=−2 C．=1 D．=0
【答案】A
【分析】利用等式的性质解方程即可解答.
【解析】解： 移项得：合并同类项得： 系数化为1得： 故选：A
【点睛】本题考查解一元一次方程，难度较低，熟练掌握利用等式的性质解一元一次方程是解题关键.
4．（2020·全国初一课时练习）方程移项后正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把3x移到等号左边，-4移到等号右边，注意移项要变号．
【解析】因为，所以．故选D．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，关键是注意移项要变号．
5．（2020·全国初一课时练习）方程2y﹣＝y﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y＝﹣．这个常数应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】设被阴影盖住的一个常数为k，原方程整理得，k=-y+，把代入k=-y+，中得，k=-×()+==3，故选C.
6．（2020·全国初一课时练习）如图所示的是解方程的程序框图．其中，“移项”的依据是________．
【答案】等式的性质1
【分析】根据等式的性质求解即可．
【解析】题图所示为解方程的程序框图．其中，“移项”的依据是等式的性质1．
故答案为：等式的性质1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的问题，掌握解一元一次方程的方法、等式的性质是解题的关键．
知识点1-6去括号
1） 去括号：在解方程的过程中，将方程中含有的括号去掉的过程。
2） 方法：与整式的运算中去括号的过程一样（注：整体去括号）
3） 顺序：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（由内向外，有时为了简化计算，可视情况而定）
4） 去括号原则：括号前是“—”号时，去括号后，括号里面的每一项都要变号。
1、（2020.广东省初一期末）解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【解析】（1）去括号得：
移项合并得：
解得：
（2）去括号得：
移项合并得：
解得：
【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“－”，各项均变号．
2、（2020.湖北省初一期末）解方程：
【解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x－1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x－1)后，把(x－1)视为一个整体运算．
3、（2020.江苏省初一期末）解方程：．
【解析】
解法1：(层层去括号)
去小括号，
去中括号，
去大括号，
移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．
解法2：(层层去分母)
移项，得，
两边都乘2，得，
移项，得，
两边都乘2，得[来源:Zxxk.Com]
移项，得，两边都乘2，得，
移项，得，系数化为1，得x＝30．
【点评】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．
4．（2020·全国单元测试）已知是方程的解，那么关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入中求得，然后把代入关于的方程，进行解方程计算即可．
【解析】把代入，得，把代入关于的方程，
得，可得，故选：B．
【点睛】本题考查方程的解及解一元一次方程，掌握解方程的步骤正确计算是解题关键．
5．（2020·福建漳州·初一期末）解方程：．
【答案】
【分析】方程去括号，移项合并，即可求出解．
【解析】，，．
【点睛】此题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
6．（2020·全国初一课时练习）解方程：．
解：去括号，得________．
移项，得________．
合并同类项，得________．
系数化为1，得________．
通过阅读并填空，可知解含有括号的一元一次方程的步骤是________________________．
【答案】；；；；去括号，移项，合并同类项，系数化为1
【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步解答即可.
【解析】解方程：5x=3(x−4)．
解：去括号，得5x=__3x-12__．
移项，得__5x-3x___=−12．
合并同类项，得__2x=-12__．
系数化为1，得__x=-6__．
通过阅读并填空，可知解含有括号的一元一次方程的步骤是___去括号，移项，合并同类项，系数化为1___．
故答案为：3x−12；5x−3x；2x=−12；x=−6；去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题时需注意解方程过程中每一步的方法指令就是解这类方程的步骤名称．
知识点1-7 去分母
1） 两边同乘最小公倍数，以去分母。
例： =1．
这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使解方程中的计算更简便些。
利用等式性质：等式两边同时乘一个数，结果仍相等。在这个方程中，乘分母的最小公倍数为12，方程两边同乘12，得：
12()=1×12．
3（y+2）﹣2（2y﹣1）＝12，
3y+6﹣4y+2＝12，
﹣y＝4，
y＝﹣4．
1） 步骤：①确定最小公倍数；②两边同乘最小公倍数，去分母。
2） 去分母原则：等式两边同乘分母的最小公倍数，注意必须保证每一项都乘最小公倍数（包括整数项）
1、（2020·河北省初一期末）解方程：．
【解析】
解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，
去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．
移项合并，得24x＝－12，
系数化为1，得．
解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，
移项，得4x＝－2，
系数化为1，得．
【点评】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x．
2．（2020·河北三河·初一期末）解方程：.
【答案】．
分析：按照解一元一次方程的步骤解方程即可.
【解析】去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
把系数化为1，得
点睛：解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
3．（2020·河南偃师·期末）解方程：=1．
【答案】－4
【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．
【解析】去分母得：3（y+2）﹣2（2y﹣1）＝12，
去括号得：3y+6﹣4y+2＝12，
移项、合并得：﹣y＝4，
系数化为1：得y＝﹣4．
【点睛】本题考查解一元一次方程的解法，注意：在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项．
4．（2020·河南内黄·初一期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．方程化成
B．方程去括号，得
C．方程，移项可得
D．方程，未知数的系数化为，得
【答案】C
【分析】各方程变形得到结果，即可做出判断．
【解析】解：A.方程化成，本选项错误；
B. 方程去括号，得,本选项错误；
C. 方程，移项可得,本选项正确；
D．方程，未知数的系数化为，得,本选项错误.故选C.[来源:Z。xx。k.Com]
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解．
5．（2019·北京市昌平区第四中学期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程1．
解：方程两边同时乘以6，得： …………①
去分母，得： …………②
去括号，得：………………③
移项，得： ……………④
合并同类项，得：……………………⑤
系数化1，得：………………………⑥
上述小明的解题过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________．
请帮小明改正错误，写出完整的解题过程．
【答案】①，利用等式的性质时漏乘，完整过程见解析
【分析】根据解一元一次方程的步骤，找出小明错误的步骤，分析原因，写出正确的解题过程即可．
【解析】第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的性质时漏乘，
故答案为：①，利用等式的性质时漏乘；
解方程 ，
解：方程两边同时乘以6，得： ，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得： ，
系数化1，得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2020·河南宛城·期末）把方程去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解一元一次方程去分母的相关要求，结合等式的基本性质2
，对等式两边同时乘以分数的最小公倍数4即可求解.
【解析】等式两边同乘4得：，故选：D.
【点睛】本题主要考查了一元一次方程求解中的去分母，熟练掌握使用等式的基本性质2进行去分母是解决本题的关键.
重难点题型：
题型1 依题意列方程
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
1．（2020·全国单元测试）已知某数的相反数与2的差等于某数，如果设这个数为，那么可得方程为_________．
【答案】
【分析】设这个数为，则它的相反数与2的差为，再根据题意建议等量关系即可．
【解析】解：设这个数为，由题意知：，故填：．
【点睛】本题考查方程的应用，根据题意列出方程式关键．
2．（2020·全国初一课时练习）足球的表面一般是由若干黑色五边形和白色六边形围成的，一个足球的表面共有32个皮块.设白皮有x块，则黑皮有块，每块白皮有六条边，共有6x条边，因为每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有3x条边.要求出白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意利用黑皮的边数相等列出方程即可.
【解析】解：根据黑皮的边数相等，可列方程为：.故选B.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确理解题意在题中找到相等关系的量.
3．（2020·青海中考真题）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.
【解析】解：大量筒中的水的体积为：，小量筒中的水的体积为：，
则可列方程为：.故选A.
【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可.
4．（2020·江苏金湖·初一期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是________.
【答案】9
【分析】根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为x，则长为3x，根据长方形的面积公式即可作答．
【解析】解：因为大长方形的面积是135，所以小长方形的面积是135÷5=27，
设宽为x cm，则长为3x cm，所以,即，
所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是9．故答案为：9．
【点睛】本题考查列方程和等式的性质．在解本题时需注意根据图形可以发现①五个小正方形面积相等且他们面积之和等于大正方形面积；②小长方形的长为宽的3倍．需注意的是最终只需要算出宽的平方即可．
5、根据问题设未知数并列出方程：一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x道题，则有(25－x)道做错或没做的题，依题意有：4x－(25－x)×1＝80．
可以采用列表法探究其解
显然，当x＝21时，4x－(25－x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【点睛】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．
题型2 利用定义求待定字母的值
解题技巧：依据定义，x的次数为1，系数不为0
1．（2020·河北饶阳·初一期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出结论．
【解析】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴解得a=-2故选C．
【点睛】此题考查的是求一元一次方程中的参数问题，掌握一元一次方程的定义是解决此题的关键．
2．（2020·全国课时练习）若方程与方程分别是关于x、y的一元一次方程，则（ ）
A．2 B．0 C．2或0 D．3
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出m和n的值，从而求出结论．
【解析】解：∵方程与方程分别是关于x、y的一元一次方程
∴ 解得： 当m=-1，n=1时，m＋n=0 当m=1，n=1时，m＋n=2
∴2或0故选C．
【点睛】此题考查的是根据一元一次方程，求方程中的参数，掌握一元一次方程的定义是解决此题的关键．
3．（2020·全国初一单元测试）若（m-1）x=6是关于x的一元一次方程，则m的取值为（ ）
A．任何数 B．不等于1的数 C．1 D．不等于1的整数
【答案】B
分析：根据一元一次方程的定义，即可解答．
【解析】∵（m-1）x=6是关于x的一元一次方程，∴m-1≠0，∴m≠1，故选：B．
点睛：本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．
4．（2020·全国初一课时练习）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．
【解析】解：关于的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程为或，解得：或，
当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
5．（2020·全国单元测试）方程是一元一次方程，则_______．
【答案】-2
【分析】根据一元一次方程的定义得出即可
【解析】解：方程是一元一次方程，
所以；解得：m=-2故答案为：-2
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是1；②一次项系数不为0，高于一次的项的系数为0；③是整式方程；④含有一个未知数．
6．（2020·全国初一课时练习）方程是一元一次方程，则________．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义得出，求出即可．
【解析】由题意，得．所以．故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键．
7．（2020·广西田东·初一期末）关于x的一元一次方程的解为x＝1，则m+n的值为( )
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义可知，进而得到m的值，然后将代入方程解出n的值，即可得出答案．
【解析】∵是关于x的一元一次方程 ∴，解得
则方程变形为，将方程的解x＝1代入方程得：
解得∴故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和方程的解，熟练掌握一元一次方程未知数的系数等于1是解题的关键．
题型3 同解问题
解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程、
1．（2020·全国单元测试）若是方程的解，则也是方程（ ）的解．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等式的性质，把各选项分别变形，能得出ax=-6即可得答案．
【解析】A.，两边同时减去-2得ax=-2，故该选项不符合题意，
B.，两边同乘以3，得，故该选项符合题意，
C.，两边同时减去-0.5得ax=，故该选项不符合题意，
D.=，故该选项不符合题意，故选：B．
【点睛】本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学期末）关于y的方程与的解相同，则k的值为（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于k的方程，从而可以求出k的值．
【解析】解第一个方程得：，解第二个方程得：，
∴=，解得：k=2．故选C．
【点睛】本题解决的关键是能够求解关于y的方程，要正确理解方程解的含义．
3．（2020·全国单元测试）若方程与方程的解相同，则_______．
【答案】2
【分析】求出方程的解，把的值代入方程 ，求出解即可．
【解析】解：解方程得，
∵方程与方程的解相同，∴也是方程的解，
把代入方程，得 解之得．故答案为：2．
【点睛】本题考查了同解方程，先求出方程的解，把的值代入方程是解题关键．
4.（2019·全国初一单元测试）如果方程12（x+6）=2 与方程 a（x+3）=12a﹣13x 的解相同，求 a 的值．
【答案】43
【解析】试题分析：先根据一元一次方程的解法解方程，求得的解再代入可求a的值.
试题解析：由①得：x=-2， 代②式得a=43
5．（2020·全国课时练习）若方程与方程的解相同，则_____________．
【答案】
【分析】先求出方程的解，再将其代入方程可得一个关于a的一元一次方程，然后解方程即可得．
【解析】，，，
由题意，是方程的解，则，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
6．（2020·全国课时练习）若方程与方程的解相同，则______________．
【答案】
【分析】先解方程求出x的值，再代入方程可得关于a的一元一次方程，然后解方程即可得．
【解析】，，，，由题意得：是方程的解，
则，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
题型4 利用解的情况求参数的值
解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程
1．（2020·盐城市大丰区小海初级中学初一课时练习）已知关于x的方程2a(x－1)=(5－a)x+3b有无数多个解，那么a2－5+b的值是多少？
【答案】
分析：根据关于x的方程可求出用a、b表示的方程的解，然后根据有无数个解，可知未知数的系数3a-5
和常数2a+3b均为0，求出a、b的值，代入求值即可.
【解析】化简得：2ax-2a=（5-a）x+3b，即：（3a-5）x=2a+3b，
根据题意得：3a-5=0且2a+3b=0，解得：a=，b=-
所以a2－5+b=-5-=．
2．（2020·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________
【答案】
【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b，
根据方程有无数多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案为：-.
3．（2019·江阴市周庄中学初一月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为________.
【答案】-2或-3
【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值.
【解析】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ，
∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3 故答案为：-2或-3
【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含a的方程是解答此题的关键.
4．（2020·重庆初一期末）已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
【答案】D
【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计算即可．
【解析】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解，
∴5a+14b＝0，∴a＝﹣b ∴ab＝﹣b2≤0．故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数为0是解答本题的关键.
5．（2020·全国课时练习）如果方程无解，则__________________．
【答案】3
【分析】根据方程解的定义即可得．
【解析】由题意得：，解得，故答案为：3．
【点睛】本题考查了方程的解，掌握理解方程无解的定义是解题关键．
6．（2020·全国课时练习）当整数k为何值时，方程有正整数解．求出这些解．
【答案】时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时，方程的正整数解为；时方程的正整数解为；时，方程的正整数解为．
【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得．
【解析】，，
因为方程有正整数解，
所以，即，所以，
要使方程有正整数解，则为正整数即可，
因此，k的所有可能取值为，
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为；
当时方程的正整数解为；
当时，方程的正整数解为．
【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键．
7.关于x的方程8x-5+a=bx+12有唯一解，求a、b满足的条件。
【答案】化简得：（8－b）x+（a－17）=0
因为方程有唯一解，则8－b≠0，a－17可为任意值
解得：a为任意值，b≠8
8.已知关于x的方程a（3x-1）=2x-3无解，求a的值。
【答案】化简得：（3a－2）x+（3－a）=0
因为方程无解 所以3a－2=0，且3－a≠0 解得：a=
题型5 解方程（常规型）
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
1．（2020·全国课时练习）解方程：
（1）； （2）
（3）； （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【解析】（1），
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（4），
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
2．（2020·湖南天心·长郡中学期末）解方程
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据一元一次方程求解步骤，（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1；（2）先去分母，再去括号，再次移项合并同类项，最后系数化为1．
【解析】（1）
去括号：
移项：
合并同类项：
系数化为1：
（2）
去分母：
去括号：
移项合并同类项：
系数化为1：
【点睛】本题考查一元一次方程求解，去括号后括号外是负号各项要变号以及去分母后分子是多项式要先添括号是易错点，按照解方程顺序计算是关键点．
3．（2020·全国课时练习）解方程：
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得．
【解析】（1），
两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2），
两边同乘以10去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
4．（2020·湖北黄石·期末）解下列方程（每小题4分，共8分）
(1) 2x﹣（x+10）=6x （2）；
【答案】(1)x=-2 ; (2)x=-2.25
【解析】按照解一元一次方程的步骤进行运算即可.
点睛：解一元一次方程得步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.
5．（2020·河北文安·初一期末）解方程：（1） （2）
【答案】（1）0.5；（2）-1.5
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：（1）去括号得：10+4x-12=2x-1，
移项合并得：2x=1，
解得：x=0.5；
（2）去分母得：4x-2-10x-1=6，
移项合并得：-6x=9，
解得：x=-1.5．
【点睛】此题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
6．（2020·内蒙古海勃湾·初一期末）（1）解方程 （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此求出方程的解即可．
【解析】解:（1）去分母,可得:,
去括号,可得:,
移项,可得:,
合并同类项,可得:,
系数化为1,可得:;
（2）去分母,可得:,
去括号,可得:,
移项,可得:,
合并同类项,可得:,
系数化为1,可得:．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法,要熟练掌握,解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
7．（2019·广东郁南·初一期末）解方程：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解析】解：（1）移项得：
合并同类项得：
将系数化为1得：
∴原方程的解是
（2）去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
∴原方程的解是.
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
8．（2020·全国初一课时练习）解方程：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解．
【解析】（1）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】考查一元一次方程的求解方法，掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1步骤是正确求解的前提．
9．（2020·全国初一课时练习）解方程：．
【答案】
【分析】本题首先去括号，继而移项、合并同类项求解即可．
【解析】去括号得：，
合并同类项得：，
去分母得：．
【点睛】本题考查一元一次方程的求解，计算时按照运算法则去括号、合并同类项，计算注意仔细即可．
题型6 解分子分母中含有小数系数的方程
解题技巧：此类题型，需要运用分数的基本性质，首先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数。然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
1．（2020·全国单元测试）解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用分数的基本性质把方程左边的分子，分母中的小数化为整数，从而可得答案．
【解析】解：，
所以A正确，B,C,D错误；故选A．
【点睛】本题考查的是分数的基本性质与等式的基本性质，掌握以上性质是解题的关键．
2、（2020·江苏省初一期末）解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】
解法1：将分母化为整数得：
约分，得：8x－3－25x+4＝12－10x
移项，合并得：．[来源:学科网]
解法2：方程两边同乘以1，去分母得： 8x－3－25x+4＝12－10x
移项，合并得：．
【点评】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．
3．（2020·河北路南·初三学业考试）阅读下列解方程的过程，此过程从上一步到所给步有的产生了错误，则其中没有错误的（ ）
解方程：
①；
②；
③；
④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B[来源:Zxxk.Com]
【分析】利用分数的基本性质可判断①，利用等式的基本性质可判断②，
利用去括号的法则可判断③，利用移项，合并同类项可判断④．
【解析】解：
故第①错误，
①；
故第②正确，[来源:学科网ZXXK]
②；
故第③错误，
③；
故第④错误．故选B．
【点睛】本题考查的是解一元一次方程的基本步骤，掌握解方程时每一步的注意事项是解题的关键．
4．（2020·全国初一课时练习）解方程：．
【答案】
【分析】根据题意依次进行分子、分母同乘10和去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可求解．
【解析】解：分子、分母同乘10，得．
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
5．（2020·全国初一课时练习）解方程：．
【答案】
【分析】根据题意依次去分母、去括号、移项及合并同类项以及系数化为1即可求解．
【解析】解：原方程去分母可化为．
去括号，得．
移项及合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
6．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）
【答案】
【分析】此题考查一元一次方程的解法，根据方程依次去分母，去括号，合并同类项求解即可．
【解析】去分母，可得：6（4x﹣1．5）﹣150（0．5x﹣0．3）=2
去括号，可得：24x﹣9﹣75x+45=2
移项，合并同类项，可得：51x=34
解得x= ．
【点睛】此题考查一元一次方程的解法，难度一般．
7、解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】原方程可以化成：．
去分母，得：30x－7(17－20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：．
【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数，要区分开．
题型7含参数的一元一次方程
解题技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
1．（2020·全国课时练习）解关于x的方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得．
【解析】（1），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
系数化为1，得；
（2），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
2、解关于的方程：
【答案与解析】
解：原方程可化为：[来源:学&科&网Z&X&X&K]
当，即时，方程有唯一解为：；
当，即时，方程无解．
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．
3．（2019·上海黄浦·）解关于的方程：．
【答案】当，；当，原方程无解．
【分析】分两种情况求解：当时和当时．
【解析】∵，∴，∴，
当，；
当，原方程无解．
【点睛】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方程有唯一解x=，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解．
4．（2019·上海金山·初二期中）解关于的方程：．
【答案】，；，无解
【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，化未知数系数为1．注意未知数系数有可能为零，要分类讨论．
【解析】解：，，，
当时，，
当时，方程无解，
所以，当时，原方程的根是；
当时，原方程无解．
【点睛】本题考查了含字母系数的一元一次方程；解题的关键是注意对未知数的系数分类讨论．
5．（2020·上海市南汇第四中学初二月考）
【答案】当a=3时，方程无解；当a≠3时，x=
【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后对a的不同取值分类求解即可．
【解析】∵，∴ax-a=3x+3，∴ax-3x=3+a，∴(a-3)x=a+3，
∴当a=3时，方程无解；
当a≠3时，x=．
【点睛】本题考查了含参一元一次方程的解法，对参数分类讨论是解答本题的关键．
6．（2020·上海市静安区实验中学初二期中）解关于x的方程：
【答案】当时，方程的根是；
当，方程没有实数根.
【分析】先解方程得到x用a表示出来，再分a=1，a≠1两种情况讨论即可.
【解析】解：，，，
当时，；
当时，方程无实数解
∴当时，方程的根是；
当，方程没有实数根.
【点睛】本题主要考查解方程，解此题的关键在于根据题意分情况进行讨论.
题型8整体考虑
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
1、解方程：
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x－1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x－1)后，把(x－1)视为一个整体运算．
2．（2020·全国初一课时练习）一元一次方程（x+1）–x–1=2017的解是x=__________．
【答案】﹣2019
【分析】把方程变形，提取出公因式求解即可.
【解析】
故答案为
【点睛】考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键.
3．（2020·全国初一课时练习）已知关于的一元二次方程的解为，那么关于的一元二次方程的解=______．
【答案】-1
【分析】对原方程进行变形可以得出一个等式：，此时 ，与所求方程进行比较【解析】【详解】
解：根据题意可得：
对原方程进行变形：
，
，
，
再把代入上式得出：，故答案为：.
【点睛】本题考查一元一次方程的解，解题关键在于对等式的变形.
4．（2020·全国初一课时练习）解方程．
【答案】
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将y系数化为1即可求出解．
【解析】解：原方程可化为，即．
将看作一个整体进行合并，得，所以，移项，得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
5.解方程：3（x+1）
【答案】3（x+1）+=2（x－1）+
3（x+1）=2（x－1）
x=－5
6.解方程：
【答案】
（）（x+2）=0
x=－2
题型9含绝对值的一元一次方程
解题技巧：解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
此类问题一般先把方程化为的形式，分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：或.
1、解方程|x|－2＝0
【解析】解：原方程可化为：
当x≥0时，得x=2，
当x＜0时，得－x=2，即，x＝－2．
所以原方程的解是x＝2或x＝－2．
【点评】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．
2、解方程：3|2x|－2＝0
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．
【解析】解：原方程可化为：
当x≥0时，得，解得：，
当x＜0时，得，解得：，
所以原方程的解是x＝或x＝．
【点评】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解．
3．（2020·全国单元测试）方程的解是_______．
【答案】
【分析】解一元一次方程，准确利用绝对值的性质分类讨论即可；
【解析】当时，，得；
当时，，得．故答案是．
【点睛】本题主要考查了求解一元一次方程，准确利用绝对值的性质是解题的关键．
4．（2020·全国课时练习）先看例子，再解类似的题目：
例：解方程：．
解法一：当时，原方程化为，解方程，得；当时，原方程化为，解方程，得．所以方程的解为或．
解法二：移项，得，合并同类项，得，由绝对值的意义知，．所以原方程的解为
或．
问题：用你发现的规律解方程．
【答案】
【分析】解法一：讨论x≥0与x＜0时两种情况，即可求出解；
解法二：方程变形后，利用绝对值的代数意义化简，即可求出解．
【解析】解法一：当时，原方程化为，解得，
当时，原方程化为，解得．
综上，x=±5.
解法二：移项得并合并同类项得，∴.
【点睛】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程，弄清题中的阅读材料中的解法是解本题的关键．
5．（2020·全国）（1）若|x+5|=2，则x= ；（2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为 ，当取此最小值时，x的取值范围是 ；（3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9．
【答案】（1）﹣3或﹣7;（2）4，﹣3≤x≤1;（3）x=﹣16或x=．
分析：（1）解绝对值方程.(2)数形结合，利用绝对值的意义在数轴上求最小值.
(3)分类讨论，化简绝对值，解绝对值方程.
【解析】解：（1）∵|x+5|=2，∴x+5=2或x+5=﹣2，
解得：x=﹣3或x=﹣7．
（2）由数形结合得，
代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为1﹣（﹣3）=4，当取此最小值时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．
（3）当x≤﹣2时，原方程可化为：﹣2x﹣4+x﹣3=9，解得：x=﹣16，
当x≥3时，原方程可化为：2x+4﹣x+3=9，解得：x=2与x≥3不符；
当﹣2＜x＜3时，原方程可化为：2x+4+x﹣3=9，解得：x=．
综上所述，方程的解为：x=﹣16或x=．
故答案为：﹣3或﹣7；4，﹣3≤x≤1．
点睛：(1)
含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的关键是先去绝对值，然后根据一元一次方程的求解方法求解．=a,则利用绝对值的性质x=.
(2)解绝对值问题，要“找零点，分段，分类讨论”，也就是令绝对值内为0，然后分别分段讨论，去绝对值利用公式x=,具体问题，往往把x看做一个式子.
6．（2020·全国单元测试）若，则关于的方程的解是什么？
【答案】当时，；当时，
【分析】本题分别将代入关于的方程，继而根据绝对值运算规则求解该方程．
【解析】∵，∴．
当时， 则有，可得，即；
当时，则有，可得，即；
综上：当时，；时，．
【点睛】本题考查一元一次方程与绝对值的综合，解题关键在于对绝对值概念以及性质的理解，其次注意计算仔细即可．
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