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- 2022-03-31 发布
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第一章三角形的证明专题四本章重要考点专练——直角三角形全等的判定(HL)、直角三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质
一、选择题1.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是()A.18°B.36°C.54°D.72°2.将一副直角三角尺如图Z1-14放置.若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为()A.140°B.160°C.170°D.150°DB
3.在△OAB中,∠O=90°,∠A=35°,则∠B=()A.35°B.55°C.65°D.145°4.如图Z1-15,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为()A.4B.6C.4D.8BD
二、填空题5.(2019齐齐哈尔)等腰三角形ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD=AC,则等腰三角形ABC底角的度数为_________________.6.如图Z1-16所示是屋顶的“人”字形钢架,其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD为中柱(即底边的中线),两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF=______m.15°或45°或75°5
7.如图Z1-17,在△ABC中,∠A=60°,BE⊥AC,垂足为点E,CF⊥AB,垂足为点F,BE,CF交于点M.若CM=4,FM=5,则BE等于______.8.如图Z1-18,在△ABC中,AB=AC=15,∠B=30°,点D为AB边上一动点,且AD=AE,BD=DF,要使△DEF与△CEF均为直角三角形,则AD的值为________.125或6
三、解答题9.已知:如图Z1-19,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=15°.过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D,求△ACD的周长.解:∵在△ABC中,AB=AC=2,∠B=15°,∴∠B=∠ACB=15°.∴∠DAC=2∠B=30°.又∵CD⊥BA,∴CD=AC=1.∴根据勾股定理,得AD=.∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=3+.
10.如图Z1-20,AB=AC,D,E是BC上两点,且BD=CE,作GE⊥BC,FD⊥BC,分别与BA,CA的延长线交于点G,F.求证:GE=FD.证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵BD=CE,∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD.∵GE⊥BC,FD⊥BC,∴∠GEB=∠FDC=90°.∴△BEG≌△CDF(ASA).∴GE=FD.
11.如图Z1-21,已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处,此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2h到达小岛C的正南方D点,求船从A到D一共走了多少海里.
解:由题意知,∠CAD=30°,∠CBD=60°,CD⊥BD,∴∠BCD=30°.∴BC=2BD.∵船从B到D走了2h,船速为每小时40海里,∴BD=80(海里).∴BC=160(海里).由∠CBD=60°,得∠ABC=120°.∵∠CAD=30°,∴∠ACB=30°.∴AB=BC.∴AB=160(海里).∵AD=AB+BD,∴AD=160+80=240(海里).因此船从A到D一共走了240海里.
12.如图Z1-22,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,点F在CE上,FD∥CB,且AD=AC.(1)若∠ACE=30°,求∠B的度数;(2)求证:FD=FC.(1)解:∵∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,∴∠B+∠CAB=90°,∠CAB+∠ACE=90°.∴∠B=∠ACE=30°.
(2)证明:连接CD,如答图Z1-3.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC.∵FD∥CB,∴∠B=∠FDA.∴∠FDA=∠ACE.∴∠ADC-∠ADF=∠ACD-∠ACE.∴∠FDC=∠FCD.∴FD=FC.
13.如图Z1-23,在△ABC中,BD是AC边上的中线,∠ABD=30°,∠CBD=90°.求证:AB=2BC.证明:如答图Z1-4,过点A作AM⊥BD,交BD的延长线于点M.
∵在Rt△ABM中,∠ABD=30°,∴AB=2AM.∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD.∵DB⊥BC,∴∠DBC=∠M=90°.∵在△BCD和△MAD中,∠DBC=∠DMA=90°,∠BDC=∠MDA,CD=AD,∴△BCD≌△MAD(AAS).∴AM=BC.∴AB=2BC.
14.如图Z1-24,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E.点D为AB上一点,且AD=AC,CD,BE交于点M.(1)求∠DMB的度数;(2)若CH⊥BE于点H,求证:AB=4MH.
(1)解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE=30°.∵∠A=30°,AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=75°.∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°.
(2)证明:∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC.∵CH⊥BE,∠CBE=30°,∴BC=2CH.∴AB=4CH.在Rt△CHM中,∠CMH=45°,∴CH=MH.∴AB=4MH.
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