人教版八年级数学上册专题训练(七)PPT 18页

第十三章　轴对称 人教版 专题训练(七)　等腰三角形性质和判定的灵活应用 1 ．如图，已知△ ABC 中，∠ ABC ＝∠ ACB ，以点 B 为圆心， BC 长为半径的弧分别交 AC ， AB 于点 D ， E ，连接 BD ， ED. (1) 写出图中所有的等腰三角形； (2) 若∠ AED ＝ 114° ，求∠ ABD 和∠ ACB 的度数． 解： (1) 图中等腰三角形有△ ABC ，△ BCD ，△ BED (2)∵∠AED ＝ 114° ，∴∠ BED ＝ 180° －∠ AED ＝ 66°.∵BD ＝ BE ， ∴∠ BDE ＝∠ BED ＝ 66°.∴∠ABD ＝ 180° －∠ BDE －∠ BED ＝ 48°. 设∠ ACB ＝ x° ，则∠ ABC ＝∠ ACB ＝ x°. ∴∠A ＝ 180° － 2x°.∵BC ＝ BD ，∴∠ BDC ＝∠ ACB ＝ x°. 又∵∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD. ∴x ＝ 180 － 2x ＋ 48 ，解得 x ＝ 76.∴∠ACB ＝ 76°. 答：∠ ABD ＝ 48° ，∠ ACB ＝ 76° 2 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ， DE⊥AB 于点 E ， DF⊥BC 于点 D ，交 AC 于点 F. (1) 若∠ AFD ＝ 155° ，求∠ EDF 的度数； (2) 若点 F 是 AC 的中点，试判断∠ CFD 与∠ B 之间有怎样的数量关系， 并说明理由． 解： (1)∵∠AFD ＝ 155° ， ∴∠ DFC ＝ 25° ， ∵ DF⊥BC ， DE⊥AB ， ∴∠ FDC ＝∠ AED ＝ 90° ， 在 Rt △FDC 中，∴∠ C ＝ 90° － 25° ＝ 65° ， ∵ AB ＝ BC ，∴∠ C ＝∠ A ＝ 65° ， ∴∠ EDF ＝ 360° － 65° － 155° － 90° ＝ 50° 3 ．如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， 点 D 在 BC 上，且 AD ＝ AE. (1) 若∠ BAC ＝ 90° ，∠ BAD ＝ 30° ，求∠ EDC 的度数； (2) 若∠ BAC ＝ a(a>30°) ，∠ BAD ＝ 30° ，求∠ EDC 的度数； (3) 猜想∠ EDC 与∠ BAD 之间的数量关系 ( 不必证明 ). 4 ．如图，已知△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ， CE 是高， BD 与 CE 相交于点 O ，求证： OB ＝ OC. 证明：∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∵ BD ， CE 是△ ABC 的两条高线，∴∠ AEC ＝∠ ADB ＝ 90° ， ∴∠ ABD ＋∠ A ＝ 90° ，∠ ACE ＋∠ A ＝ 90° ， ∴∠ ABD ＝ ACE. ∵∠ ABD ＋∠ CBD ＝∠ ABC ， ∠ ACE ＋∠ BCE ＝∠ ACB ， ∴∠ CBD ＝∠ BCE ，∴ OB ＝ OC 5 ． (1) 如图①，在△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线交于点 O ， 过点 O 作 EF∥BC 交 AB ， AC 于点 E ， F. 试猜想 EF ， BE ， CF 之间有怎样的关系，并说明理由； (2) 如图②，若将图①中∠ ACB 的平分线改为外角∠ ACD 的平分线， 其他条件不变，则 (1) 中的结论还成立吗？请说明理由． 解： (1)EF ＝ BE ＋ CF. 理由：∵ BO 平分∠ ABC ，∴ ∠ EBO ＝∠ OBC ， ∵ EF∥BC ，∴∠ EOB ＝∠ OBC ，∴∠ EBO ＝∠ EOB ， ∴ BE ＝ OE ，同理可证 CF ＝ OF ，∴ EF ＝ OE ＋ OF ＝ BE ＋ CF (2) 不成立，理由：同 (1) 仍可证得 BE ＝ OE ， CF ＝ OF ， ∴ EF ＝ OE － OF ＝ BE － CF 6 ． ( 原创题 ) 如图， AD 是∠ BAC 的平分线，点 E 在 AB 上，且 AE ＝ AC ， EF∥BC 交 AC 于点 F ， AD 与 CE 交于点 G ，与 EF 交于点 H. 求证： EC 垂直平分 DH. 证明：∵ AE ＝ AC ， AD 是∠ BAC 的平分线，∴ AD 垂直平分 CE ， ∴ CD ＝ DE ，∴∠ DCE ＝∠ DEC.∵EF∥BC ，∴∠ DCE ＝∠ CEF ， ∴∠ CEF ＝∠ DEC ，∵ EG⊥AD ，∴∠ CEF ＋∠ EHG ＝ 90° ， ∠ DEC ＋∠ EDG ＝ 90° ，∴∠ EDG ＝∠ EHG ，∴ ED ＝ EH ， ∴ EG 垂直平分 DH ，即 EC 垂直平分 DH 7 ． ( 衡阳中考 ) 如图，∠ ABC ＝ 90° ， D ， E 分别在 BC ， AC 上， AD⊥DE ， 且 AD ＝ DE ，点 F 是 AE 的中点， FD 与 AB 相交于点 M ，连接 MC. (1) 求证：∠ FMC ＝∠ FCM ； (2)AD 与 MC 垂直吗？请说明理由． 解： (1) 证明：易证△ ADE 是等腰直角三角形．∵ F 是 AE 的中点，∴ DF⊥AE ， DF ＝ AF ＝ EF ，又∵∠ ABC ＝ 90° ，∴∠ DCF ，∠ AMF 都与∠ MAC 互余，∴∠ DCF ＝∠ AMF ，在△ DFC 和△ AFM 中， ∠ DCF ＝∠ AMF ，∠ CFD ＝∠ MFA ， DF ＝ AF ， ∴△ DFC≌△AFM( AAS ) ， ∴ CF ＝ MF ，∠ FMC ＝∠ FCM (2)AD⊥MC ，理由：由 (1) 知，∠ MFC ＝ 90° ， FD ＝ EF ， FM ＝ FC ，∴∠ FDE ＝∠ FED ＝ 45° ，∠ FMC ＝∠ FCM ＝ 45° ，∴∠ FDE ＝∠ FMC ，∴ DE∥CM.∵AD⊥DE ，∴ AD⊥MC 8 ．如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O ，给出下列三个条件：①∠ 1 ＝∠ 2 ；②∠ 3 ＝∠ 4 ；③ BE ＝ CD. (1) 上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC 是等腰三角形； ( 用序号写出所有情形 ) (2) 选择第 (1) 小题中的一种情况，试说明△ ABC 是等腰三角形． 解： (1) 由①③和②③都可以判定△ ABC 是等腰三角形 (2) 以选择①③为例，理由： 证明：在△ BOE 和△ COD 中， ∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ BOE ＝∠ COD ， BE ＝ CD ，∴△ BOE≌△COD( AAS ) ，∴ BO ＝ CO ， ∴∠ OBC ＝∠ OCB.∵∠1 ＋∠ OBC ＝∠ 2 ＋∠ OCB ， 即∠ ABC ＝∠ ACB ，∴ AB ＝ AC ，即△ ABC 是等腰三角形 9 ．如图，在 Rt △ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 90° ， O 为 BC 的中点． (1) 写出点 O 到△ ABC 的三个顶点 A ， B ， C 的距离的大小关系； (2) 若点 M ， N 分别是 AB ， AC 上的点，且 BM ＝ AN ， 试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论． 解： (1)OA ＝ OB ＝ OC (2)△OMN 为等腰直角三角形．证明：连接 AO ，∵ CN ＝ AC － AN ， AM ＝ AB － BM ， AB ＝ AC ， AN ＝ BM ，∴ CN ＝ AM ，易证∠ C ＝∠ OAM ， OA ＝ OC ，∴△ OCN≌△OAM( SAS ).∴OM ＝ ON ，∠ CON ＝∠ AOM. ∵∠ CON ＋∠ NOA ＝ 90° ，∴∠ AOM ＋∠ NOA ＝ 90° ， 即∠ NOM ＝ 90° ，∴△ OMN 是等腰直角三角形